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Das Distributivgesetz

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Team Digital
Das Distributivgesetz
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse - Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Das Distributivgesetz

Distributivgesetz – Definition

Das Distributivgesetz ist eine Rechenregel und wird auch Verteilungsgesetz genannt. Das Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausklammern bzw. Ausmultiplizieren und dient zum Vereinfachen von Termen und Gleichungen.

Das Distributivgesetz besagt: Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.

Mathematisch bedeutet das:
$c\cdot (a + b)=c\cdot a+c\cdot b $

Für $a$, $b$ und $c$ können beliebige Zahlen eingesetzt werden.

Das bedeutet: Durch Anwendung des Distributivgesetzes kann ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt.

Varianten des Distributivgesetzes

Wir haben die Definition des Distributivgesetzes kennengelernt und wollen nun die wichtigsten Fälle betrachten, in denen das Distributivgesetz ebenfalls gilt.

Distributivgesetz bei Differenzen

Den Term $a \cdot (b - c)$ können wir schreiben als $a \cdot (b + (-c))$. Hier gilt wieder:
$a \cdot (b + (-c)) = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c$

Das Distributivgesetz kann also auch bei einer Differenz in der Klammer angewendet werden.

Linksdistributive und rechtsdistributive Verknüpfung

Wir haben das Distributivgesetz so formuliert, dass ein Faktor $a$ von links an die Klammer ${(b + c)}$ multipliziert wird. Die Umformung des Term ${a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}$ bezeichnen wir daher als linksdistributive Verknüpfung. Da die Faktoren eines Produkts beliebig vertauscht werden können, ohne das Ergebnis zu ändern (Kommutativgesetz), können wir auf beiden Seiten der Gleichung umformen:

$\begin{array}{cccccl} a & \cdot & (b + c) &=& a \cdot b &+& a \cdot c & \vert \text{Kommutativgesetzt} \\ (b + c) & \cdot & a &=& b \cdot a &+& c \cdot a \end{array}$

Wir erhalten die Umformung als rechtsdistributive Verknüpfung ${(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a}$, bei der ein Faktor von recht an die Klammer multipliziert wird. Auch hier gilt also das Distributivgesetz.

Distributivgesetz bei der Division

Auch ein Term der Form $(b + c) : a$ oder $(b - c) : a$ kann mit dem Distributivgesetz umgeformt werden. Es gilt:
$(b + c) : a = b : a + c : a~$ bzw. $~(b - c) : a = b : a - c : a$

Da die Division von zwei Zahlen im allgemeinen aber nicht kommutativ ist ($8 : 4 = 2 \neq 4 : 8$) kann ein Term der Form ${a : (b + c)}$ nicht mit dem Distributivgesetz umgeformt werden. Dies wird an einem einfachen Beispiel deutlich:

$12 : (2 + 4) = 12 : 6 = 2$, aber $12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9 \neq 2$

Achtung: Das Distributivgesetz gilt nur, wenn in der Klammer eine Summe oder eine Differenz steht. Es kann nicht angewendet werden, wenn sich in der Klammer eine Punktrechnung, also eine Multiplikation oder Division, befindet.

Distributivgesetz – Beispiele

Wir wollen nun einige Beispiele für das Distributivgesetz betrachten.

Beispiel 1

$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5$

Die beiden Seiten der Gleichung werden im Folgenden einzeln betrachtet:

  • linke Seite: $~3\cdot(4+5)=3\cdot9=27$
  • rechte Seite: $~3\cdot4+3\cdot5=12+15=27$

Also gilt:

$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5=27$

Beispiel 2
Kemal und Antje wollen sich eine Spielekonsole kaufen und sparen dazu zusammen. Antje hat in den letzten vier Monaten jeweils $5\,€$ zurückgelegt, bei Kemal waren es je $6\,€$.
Mathematisch können wir das wie folgt formulieren:

$4\cdot5\,€ + 4\cdot6\,€$

Wenn die beiden das gesparte Geld jeden Monat auf ein gemeinsames Konto einzahlen, dann können wir dies mit folgendem Term beschreiben:

$4\cdot(5\,€ + 6\,€)$

Das Ergebnis ist natürlich in beiden Fällen gleich:

$\begin{array}{ccc} 4\cdot5\,€ + 4\cdot6\,€ &=& 4\cdot(5\,€ + 6\,€) \\ 20\,€ + 24\,€ &=& 4\cdot (11\,€) \\ 44\,€ &=& 44\,€ \end{array}$

Weitere Beispiele

  • $({-}12) \cdot (3 + ({-}4)) = ({-}12) \cdot 3 + ({-}12) \cdot ({-}4) = -36 + 48 = 12$
  • $(40 - 4) \cdot ({-}5) = 40 \cdot ({-}5) - 4 \cdot ({-}5) = -200 + 20 = -180$
  • $15 \cdot\left(\frac13-\frac34\right)=\frac{15}{3}-\frac{45}{4}=5-\frac{45}{4}=\frac{20}{4}-\frac{45}{4}=-\frac{25}{4}$

Distributivgesetz – Übung

Mit den folgenden Aufgaben kannst du das Distributivgesetz selbst üben.

Multipliziere mit Hilfe des Distributivgesetzes aus und berechne: $3\cdot(12+9)$
Olga bekommt jeden Monat 25 € Taschengeld und ihr jüngerer Bruder Anton erhält 15 €. Wie viel Taschengeld müssen die Eltern nach einem Jahr insgesamt zahlen?

Distributivgesetz – Anwendung

Das Distributivgesetz hat verschiedene Anwendungen. Du kannst damit:

  • ein Produkt als Summe schreiben (ausmultiplizieren).
  • komplizierte Produkte im Kopf berechnen.
  • eine Summe als Produkt schreiben (ausklammern).
  • Terme mit Variablen umformen.
  • Bruchterme kürzen.

Produkte mit dem Distributivgesetz berechnen

Durch geschickte Anwendung des Distributivgesetzes kannst du Produkte einfach im Kopf berechnen.

Beispielsweise ist:
$7 \cdot 13 = 7 \cdot (10 + 3) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 70 + 21 = 91$
Oder:
$3 \cdot 99 = 3 \cdot (100 - 1) = 3 \cdot 100 - 3 \cdot 1 = 300 - 3 = 297$

Distributivgesetz mit Variablen

Das Distributivgesetz kann auch bei Termen mit Variablen angewendet werden:
$x \cdot (3y + 4z) = x \cdot 3y + x \cdot 4z = 3xy + 4xz$

Besteht die Summe (oder Differenz) aus mehreren Summanden, funktioniert das Ausmultiplizieren genauso:
$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

Beispiele:

  • $8 \cdot (2r - 3s) = 16r – 24s$
  • $4a \cdot (5x + 6y - 7z) = 20ax + 24ay - 28az$

Distributivgesetz rückwärts anwenden

Da beide Seiten beim Distributivgesetz gleichwertig sind gilt auch:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Dieser Vorgang wird ausklammern genannt, da wir einen Faktor aus der Summe in der Klammer ziehen. Auf diese Weise wird aus einer Summe ein Produkt.

Das Ausklammern brauchst du beispielsweise, um einen Bruchterm kürzen zu können. Das Kürzen ist nur dann möglich, wenn du Zähler und Nenner als Produkt mit einem identischen Faktor schreiben kannst:

$\dfrac{36-81x}{-27-54x}=\dfrac{\not{\!9}\cdot(4-9x)}{\not{\!9}\cdot(-3-6x)}=\dfrac{4-9x}{-3-6x}$

Spezialfall – der Faktor $-1$

Ein Sonderfall des Ausmultiplizierens ist das Auflösen eines Minuszeichens vor einer Klammer, denn das Minuszeichen ist ja nichts anderes als die Multiplikation mit $(–1)$. Du löst eine solche Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, auf, indem du jedes Glied in der Klammer mit $(–1)$ multiplizierst:

  • $-(3 - 5) = ({-}1) \cdot (3 - 5) = ({-}1) \cdot 3 - ({-}1) \cdot 5 = -3 - ({-}5) = -3 + 5 = 2$
  • $-(3x + 5y) = ({-}1) \cdot (3x + 5y) = ({-}1) \cdot 3x + ({-}1) \cdot 5y = -3x - 5y$

Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz – Unterschied

Beim Rechnen müssen wir gewisse Regeln beachten:

  • Erste multiplizieren und dividieren, dann addieren und subtrahieren (Punkt vor Strich)
  • Klammern zuerst
  • Von links nach rechts rechnen

Rechengesetze können dir dabei helfen geschickt zu rechnen, indem sie dir unter bestimmten Voraussetzungen erlauben, von der normalen Reihenfolge abzuweichen.

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) gelten für Terme, in denen nur addiert oder nur multipliziert wird.
Mit dem Distributivgesetz kannst du hingegen Terme umformen, in denen eine Summe mit einem Faktor multipliziert wird.

Distributivgesetz – Zusammenfassung

  • Das Distributivgesetz lautet:
    $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  • Es gilt für einen Faktor $a$ und beliebig viele Summanden $b, c,$ ...
    Dabei können $a, b$ und $c$ Zahlen, Variablen und Terme sein.
  • Mit dem Distributivgesetz kann ein Produkt mit einer Klammer als Summe geschrieben werden.
  • Das Distributivgesetz kann auch rückwärts angewendet werden, dabei wird eine Summe als Produkt geschrieben.

Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren

Distributivgesetz – Übersicht

Distributivgesetz
Multiplikation mit einer Summe ${a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}~$ und
${(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a}$
Multiplikation mit einer Differenz ${a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c}~$ und
${(b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a}$
Division mit einer Summe ${(a + b ) : c = a : c + b : c}$
Division mit einer Differenz ${(a - b) : c = a : c - b : c}$

Häufige gestellte Fragen zum Thema Distributivgesetz

Was ist das Distributivgesetz?
Wie lautet das Distributivgesetz?
Was sind die drei Rechengesetze?
Wann ist das Distributivgesetz nicht erlaubt?
Welche Rechengesetze gibt es bei der Multiplikation?
Wo wendet man das Distributivgesetz an?

Transkript Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen wird. Und nach unserem Ausflug zum Eiswagen kannst du dir das Gesetz bestimmt merken und es selbst anwenden. Das sind Anton und Bella. Beide lieben Eis über alles. Heute ist es besonders sonnig und damit das perfekte Wetter für eine kalte Erfrischung. Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat 3 Kugeln in seiner Waffel. Dies kannst du mathematisch ausdrücken: Die drei Kugeln Eis stehen für die Zahl 3, Anton steht für die Zahl 1. Drei mal eins ist drei. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Deshalb kannst du den Ausdruck drei mal eins auch in diesem Fall verwenden. Nun treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten. Die Anzahl der Eiskugeln kannst du nun so ausdrücken: Drei mal eins plus drei mal eins, das sind sechs Kugeln Eis. Springen wir zum Anfang der Geschichte zurück. Das sind Anton und Bella. Dieses Mal treffen sie sich zuerst ohne Eis. Das ergibt die Summe Anton plus Bella. Zusammen kaufen sie für jeden drei Kugeln Eis. Mathematisch heißt das: 3 mal die Summe von eins plus eins. Zusammen haben die beiden also 6 Kugeln Eis. Aber...ist das nicht das gleiche Ergebnis wie vorhin? Ja: denn es ist egal, ob sich Anton und Bella zuerst ein Eis kaufen und dann treffen oder ob sie sich erst treffen und dann gemeinsam ein Eis kaufen. Das Ergebnis ist das Gleiche. Setzen wir einmal Variablen in die Gleichung ein: A für Anton, B für Bella und C für die Eiskugeln pro Waffel. Nun multiplizieren wir aus: C mal A plus C mal B. Das ist das Distributivgesetz. Lass uns das Gesetz einmal mit anderen Zahlen ausprobieren: 3 mal die Summe aus 4 und 5. Du kannst die 3 mit jedem Summanden einzeln multiplizieren und die Produkte dann addieren: drei mal vier [pause] plus drei mal fünf ist gleich 27. Oder du rechnest zuerst die Klammer aus und multiplizierst die Summe mit 3: drei mal die Summe aus 4 plus 5 ist gleich 3 mal 9. Auch hier kommst du auf 27. Setze verschiedene Zahlen A, B und C ein und probiere es selbst einmal aus. Merke: Das Distributivgesetz besagt: Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden. C mal die Summe von A und B ist das gleiche wie C mal A plus C mal B. Denke an Anton und Bella, wenn dir das Distributivgesetz das nächste Mal begegnet!

56 Kommentare
56 Kommentare
  1. Toll, aber ich brauche Video für zwei Klammern haben zu können den Distributivgesetz anzuwenden zu können. Also Klammernterme multiplizieren. Dieses Video war halt nur für mich Wiederholung.

    Von Sofatutorstern, vor etwa einem Monat
  2. Hallo Melissa, du hast vollkommen recht! Wir haben den Fehler korrigiert. Danke und liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Lukas Peitz, vor 2 Monaten
  3. Hallo, müsste der Term oben in der Übersicht (gleich über den Fragen) zum Distributivgesetz bei der Division nicht anders aufgeschrieben werden?

    Von Melissa, vor 3 Monaten
  4. Cooles Video aber du redest so schnell

    Von Fabio, vor 11 Monaten
  5. Jetzt habe ich lust auf eis

    Von Lea, vor 12 Monaten
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Das Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Anzahl der Eiskugeln auf zwei Weisen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Die beiden Fälle aus der Aufgabenstellung stellen je eine Seite des Distributivgesetzes dar.

    Laut dem Distributivgesetz liefern beide mathematischen Ausdrücke dasselbe Ergebnis.

    Lösung

    Fall 1

    Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat drei Kugeln in seiner Waffel. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Anschließend treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anzahl der Eiskugeln von Anton: $3\cdot 1$
    • Anzahl der Eiskugeln von Bella: $3\cdot 1$
    • Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln von Anton $+$ Anzahl der Eiskugeln von Bella
    Somit erhalten wir:

    $~ 3\cdot 1+3\cdot 1 = 6$

    Fall 2

    Anton und Bella treffen sich zuerst ohne Eis. Anschließend kaufen sie gemeinsam für jede*n je drei Kugeln Eis.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anton und Bella treffen sich: $1+1$
    • Anzahl der Eiskugeln je Person: $3$
    • Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln je Person $\cdot$ Anzahl der Personen
    Somit erhalten wir:

    $~ 3\cdot (1+1)=6$

  • Stelle das Distributivgesetz für die gegebenen Parameter auf.

    Tipps

    Es gilt:

    • Klammer- vor Punktrechnung
    • Punkt- vor Strichrechnung

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $a=2,\ b=4,\ c=6$

    • linke Seite: $6\cdot (2+3)=6\cdot 5=30$
    • rechte Seite: $6\cdot 2+6\cdot 3=12+18=30$
    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • $a=4$
    • $b=5$
    • $c=3$
    Diese Parameter werden in das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ eingesetzt. Wir wollen zeigen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung dasselbe Ergebnis liefern.

    Linke Seite

    Die linke Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot (4+ 5)=3\cdot 9=27$

    Rechte Seite

    Die rechte Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot 4+ 3\cdot 5= 12+ 15=27$

  • Ermittle den jeweiligen Term nach Anwendung des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Die Parameter $a$, $b$ und $c$ kannst du durch Zahlen ersetzen.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $7\cdot (2+3)=7\cdot 2+7\cdot 3$

    Lösung

    In dieser Aufgabe wenden wir das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ auf die gegebenen Beispiele an.

    1. Beispiel

    $4\cdot (5+6)=4\cdot 5+4\cdot 6$

    Zum Überprüfen werden wir für dieses Beispiel die linke und rechte Seite der Gleichung berechnen.

    • linke Seite: $4\cdot (5+6)=4\cdot 11=44$
    • rechte Seite: $4\cdot 5+4\cdot 6=20+24=44$
    2. Beispiel

    $5\cdot (4+6)=5\cdot 4+5\cdot 6$

    3. Beispiel

    $6\cdot (5+4)=6\cdot 5+6\cdot 4$

    4. Beispiel

    $4\cdot (4+5)=4\cdot 4+4\cdot 5$

  • Ermittle die Lösungen mithilfe des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Multipliziere zunächst die Klammern aus. Wende dafür das Distributivgesetz an:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$

    Gehe wie folgt vor:

    $3\cdot (7+8)=3\cdot 7+3\cdot 8$

    Nach dem Auflösen der Klammern gilt für die weitere Rechnung Punkt- vor Strichrechnung.

    Lösung

    Beim Lösen der vorgegebenen Aufgaben werden wir zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an. Anschließend rechnen wir den Term aus, indem wir die Punktrechnung vor der Strichrechnung durchführen.
    Im Folgenden wird die Zwischenrechnung, die in der Aufgabe nicht gefordert ist, zum besseren Verständnis ebenfalls aufgeführt.

    Wir erhalten diese Rechnungen:

    1. Beispiel

    $6 \cdot (10 + 2)=6\cdot 10+6\cdot 2=60+12=72$

    2. Beispiel

    $8 \cdot (11 + 1)=8\cdot 11+8\cdot 1=88+8=96$

    3. Beispiel

    $3 \cdot (14 + 3)=3\cdot 14+3\cdot 3=42+9=51$

  • Beschreibe das Distributivgesetz.

    Tipps

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 3=9$

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 1+3\cdot 2=3+6=9$

    Es spielt keine Rolle, ob man erst die Summe und dann das Produkt oder erst die Produkte und dann die Summe bildet.

    Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Faktoren.

    Eine Summe ist das Ergebnis der Addition von Summanden.

    Lösung

    Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir in verschiedenen Bereichen der Mathematik begegnet.

    Das Distributivgesetz lautet $c\cdot (a+b)=ca+cb$ und besagt:

    Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.

    Etwas weniger mathematisch ausgedrückt:

    Es ist egal, ob:

    • du zuerst die Zahlen in der Klammer addierst und dann das Ergebnis mit der Zahl vor der Klammer multiplizierst oder ob
    • du die Zahl vor der Klammer mit den Zahlen in der Klammer einzeln multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
  • Bestimme die fehlende Seite des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Um die linke Seite des Distributivgesetzes zu erhalten, musst du den Faktor, der auf der rechten Seite der Gleichung zweimal vorkommt, ausklammern.

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    • $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$
    • $(3+4)\cdot 2=3\cdot 2+4\cdot 2$
    Lösung

    Bisher haben wir uns an dem Distributivgesetz in der Form $c\cdot (a+b)=ca+cb$ orientiert.

    Mithilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation (das sollst du hier in der Aufgabe nicht anwenden) können wir den Ausdruck auch anders darstellen. Es gilt:

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Für die vorgegebenen Aufgaben erhalten wir folgende Terme:

    1. Aufgabe

    $5\cdot (3+8)=5\cdot 3+5\cdot 8$

    2. Aufgabe

    $6\cdot (7+3)=6\cdot 7+6\cdot 3$

    3. Aufgabe

    $(2+1)\cdot 7=2\cdot 7+1\cdot 7$

    4. Aufgabe

    $3\cdot (5+3)=3\cdot 5+3\cdot 3$