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Die Winkelhalbierende 08:08 min

Textversion des Videos

Transkript Die Winkelhalbierende

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über die Winkelhalbierende. Dazu werde ich dir folgende Fragen beantworten: 1. Was ist die Winkelhalbierende? Und 2. Wie konstruiert man die Winkelhalbierende? Die Konstruktion der Winkelhalbierenden erfolgt dabei nur mit Zirkel und Lineal. Beginnen wir mit Frage 1: Was ist die Winkelhalbierende? Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der durch den Scheitelpunkt S verläuft und den Winkel, der von 2 Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert. Versuchen wir eine Skizze zu dieser Definition zu zeichnen. Wir zeichnen uns 2 Schenkel p und q, die den Winkel ? einschließen. Die Schenkel schneiden sich im Punkt S, den sogenannten Scheitelpunkt. Der Winkel ? wird durch einen Strahl halbiert. Hier wird auch der Name deutlich, das ist die Winkelhalbierende w. Sie halbiert den Winkel ?. Es handelt sich um einen Strahl, da die Winkelhalbierende einen Anfangspunkt besitzt, nämlich S, aber keinen Endpunkt. Diese Definition ist sehr anschaulich, da sie die wesentlichen Eigenschaften einer Winkelhalbierenden zusammenfasst. Es gibt allerdings noch eine weitere Definition für die Winkelhalbierende, die einem bereits Hinweise für die Konstruktion der Winkelhalbierenden liefert. Sie lautet: Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, die von den 2 Schenkeln des Winkels immer den gleichen Abstand haben. Was heißt das? Hier steht, dass wir 2 Schenkel gegeben haben, das sind bei uns p und q. Sie schneiden sich im Scheitelpunkt S. Diese Schenkel haben den gleichen Abstand zu einer Menge aller Punkte. Welche Punkte sind damit eigentlich gemeint? Das sind die Punkte, die die Winkelhalbierende bilden. Die Winkelhalbierende besteht nämlich aus unendlich vielen Punkten, die so dicht beieinanderliegen, dass es aussieht, als hätte man eine Linie. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt y, dieser Punkt hat zu den Schenkeln p und q den gleichen Abstand. Nennen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln t und u. Damit gilt: ty=uy. Der Abstand wird dabei im rechten Winkel gemessen, da sich die kürzeste Entfernung durch eine senkrechte Strecke ermitteln lässt. Wenn wir noch mal nachmessen, sehen wir, dass die Abstände tatsächlich gleich groß sind, nämlich 5,5 cm. Versuchen wir es noch mal mit einem anderen Punkt. Nehmen wir zum Beispiel x. Dann nennen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln r und q. Diese Abstände sind auch gleich, messen wir einfach nach und wir sehen, dass sie tatsächlich gleich sind, nämlich 4 cm. Diese Eigenschaft können wir für die Konstruktion nutzen. Beim Konstruieren der Winkelhalbierende finden wir zuerst die Punkte auf den Schenkeln und von dort dann die Punkte auf der Winkelhalbierenden. Beginnen wir noch mal von vorn und fertigen eine saubere Konstruktion mit Konstruktionsbeschreibung an. Wir kommen also zu Frage 2: Wie konstruiert man die Winkelhalbierende? Zuerst zeichnen wir einen Schenkel p, der im Scheitelpunkt S beginnt. Wir wählen uns dann einen Winkel ? von 50 Grad und tragen diesen an den Schenkel p an. Wir erhalten damit den Schenkel q. Das ist unsere Grundfigur, nun konstruieren wir die Winkelhalbierende. Dazu spannen wir den Zirkel mit einer beliebigen Länge, nennen wir sie r. Diese Länge sollte allerdings nicht zu groß sein, da wir sonst beim weiteren Zeichnen aus dem Zeichenbereich gelangen könnten. Wir stechen mit der Zirkelspitze in den Scheitelpunkt S ein und zeichnen einen Kreisbogen mit dem Radius R um den Punkt S. Dabei schneiden wir die Schenkel p und q. Nennen wir diese Schnittpunkte einfach t und u. Nun wenden wir die Eigenschaft an, die du eben kennengelernt hast. So haben die Punkte t und u zu einem Punkt auf der Winkelhalbierenden den gleichen Abstand. Diese Eigenschaft können wir wieder mit dem Zirkel umsetzen. Wir nehmen dazu wieder eine beliebige Zirkelspanne und zeichnen jeweils einen Kreisbogen um t und u, mit demselben Radius L, also der gleichen Zirkelspanne. Die Kreisbögen schneiden sich in einem Punkt, nennen wir ihn v. Diese beiden Kreisbögen dürfen nicht zu klein sein, da man sonst keinen Schnittpunkt erhält, aber auch nicht zu groß, da man sonst außerhalb des Zeichenblattes zeichnet. Beachte dabei besonders: Die Zirkelspannen müssen identisch sein. Nun müssen wir noch den Scheitelpunkt mit dem Punkt v verbinden und erhalten die Winkelhalbierende w. Wir messen mal nach, ob die Winkelhalbierende wirklich den Winkel ? halbiert. Da wir einen Winkel von 50 Grad gewählt haben, muss dieser halbe Winkel nun 25 Grad betragen. Und tatsächlich, er beträgt 25 Grad, wir haben also alles richtig gemacht.  Blicken wir noch ein mal zurück und formulieren die Konstruktionsbeschreibung. Zuerst haben wir die Grundfigur konstruiert. Sie setzt sich aus den Schenkeln p und q, dem Scheitelpunkt S und den Winkel ? zusammen. Danach zeichnen wir einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt S mit einem beliebigen Radius R. Anschließend kennzeichnen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln, zum Beispiel mit t und u. Dann zeichnen wir jeweils einen Kreisbogen um t und u mit dem gleichen Radius, zum Beispiel L. Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist zum Beispiel v. Diesen Punkt v verbinden wir mit dem Scheitelpunkt S, um die Winkelhalbierende zu erhalten.  Heute hast du viel über die Winkelhalbierende gelernt. Du kennst jetzt deren Eigenschaften, die du aus den Definitionen entnehmen kannst. So ist die Winkelhalbierende ein Strahl, der einen Winkel, der von 2 Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert. Weiterhin ist sie die Menge aller Punkte, die von 2 Schenkeln eines Winkels den gleichen Abstand haben. Aus der letzten Definition haben wir uns hergeleitet, wie man die Winkelhalbierende konstruiert. Dazu haben wir uns eine Konstruktionsbeschreibung erarbeitet. Und nun sage ich bye bye und bis zum nächsten Mal.  

70 Kommentare
  1. Default

    ich habe alle aufgaben richtig...yeah

    Von Silke Hieronimus, vor etwa einem Monat
  2. Default

    Super hat mir sehr geholfen! :-)

    Von Girma Azeb, vor 3 Monaten
  3. Default

    Hat mir sehr geholfen: )

    Von Sarah H., vor 4 Monaten
  4. Jeanne

    Hallo Wadi Raid,
    zeichnet ihr in deinem Unterricht die Winkelhalbierende immer als Gerade? Üblicherweise ist die Winkelhalbierende tatsächlich ein Strahl, der im Scheitel beginnt.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 5 Monaten
  5. Default

    Aber sonst :D :D :D

    Von Wadi Raid, vor 5 Monaten
  1. Default

    Da ist ein Fehler beim Zeichnen passiert :
    der Strahl ist eine Gerade und endet nicht
    im Scheitel

    Von Wadi Raid, vor 5 Monaten
  2. Default

    Gg

    Von Ba Frings, vor 6 Monaten
  3. Jeanne

    Hallo Martinadiefenbacher,
    schau noch einmal ganz genau hin. Es gibt einen kleinen, feinen Unterschied zwischen den Antworten. :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  4. Default

    bei Aufgabe fünf ist zweimal die selbe Amtwort

    Von Deleted User 654292, vor 7 Monaten
  5. Default

    bruh

    Von Jonas D., vor etwa einem Jahr
  6. Default

    echt gut erklärt aber
    etwas profossioneler bitte mit animation z.b
    bild qualität
    wer das auch so findet ein daumen hoch

    Von Chehata, vor etwa einem Jahr
  7. Lr108427 2014108 181057346952

    Alle Aufgaben ohne einen Fehler gemeistert

    ihr könnt echt gut erklären

    :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :)

    Von H҉̀͝a͜͟͡c̡͡k͏̧҉̛e̴̶̡͡͡d̕͟ ͢é̢r̷̨͏r̶̶̢͡ò̴̕͜r̸̵̨, vor etwa einem Jahr
  8. Default

    Super:)

    Von Emir!, vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    Danke hab es jetzt sofort verstanden:) XD

    Von Fratzi1009, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Manchmal hast du einbisschen genuschelt, da habe ich nichts verstanden, ansonsten war es super!

    Von Xhaiqua, vor mehr als einem Jahr
  11. Default

    Gut erklärt!
    Nur wir haben nicht Strahl gelernt sondern einen anderen Begriff... Danke :-)

    Von Miss.E. ., vor mehr als einem Jahr
  12. Default

    Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen

    Von Markovetsbuttig, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    *bringen

    Von Markovetsbuttig, vor mehr als einem Jahr
  14. Default

    Frag mich nicht wieso
    Auf jeden Fall beachten sie was ich gleich darunter geschrieben habe der tipp würde uns das nächste Mal zum Ausflippen nehmen!!!!!
    DANKE

    Von Markovetsbuttig, vor mehr als einem Jahr
  15. Default

    Meine Mutter und ich haben noch nie so viel gelacht da die Begriffe Schenkel und Strahl etwas falsh verstanden worden sind
    Das nächste Mal will meine überallesgeliebte Mutter ein Video mit Flanken

    Von Markovetsbuttig, vor mehr als einem Jahr
  16. Default

    l

    o

    l

    Von Melaku1970, vor mehr als einem Jahr
  17. Default

    l

    o

    l

    Von Melaku1970, vor mehr als einem Jahr
  18. Default

    Sehr hilfreich
    Dankeschön ;)

    Von Nicole 49, vor fast 2 Jahren
  19. Default

    echt gut

    Von Steven L., vor etwa 2 Jahren
  20. Default

    Hallo,
    Echt gutes Video.
    Nur zu Verständigung "stechen" (Minute 5) gibt es Fachsprachlich nicht!

    Von Samerker, vor etwa 2 Jahren
  21. Default

    gutes Video :D !

    Von Alex Ageland, vor etwa 2 Jahren
  22. Bilder jonas ipod 038

    Ich habe es kapiert, echt suuuupi. :-) ;-)

    Von Jonas Nelly b., vor etwa 2 Jahren
  23. Default

    Ein hilfreiches Video:)

    Von Jannani1, vor etwa 2 Jahren
  24. Default

    Vielen Dank Video hat mir sehr geholfen:)

    Von Mattis S., vor mehr als 2 Jahren
  25. Default

    Indem du oben auf übung klickst @Von barsanarif

    Von Mattis S., vor mehr als 2 Jahren
  26. Default

    Echt toll . Dankeschön!

    Von 5lions, vor mehr als 2 Jahren
  27. Default

    Echt toll, ich habs verstanden :D

    Von Ullrichs, vor mehr als 2 Jahren
  28. Default

    Wie kann man noch mal die Übungen machen zum Video ?

    Von Barsanarif, vor mehr als 2 Jahren
  29. Default

    Danke! Man versteht es echt super!

    Von Marlon B., vor mehr als 2 Jahren
  30. Default

    echt toll!!

    Von Ilker C., vor mehr als 2 Jahren
  31. Default

    sie machen es wirklich gut , weil man alles versteht

    Von N Bury, vor etwa 3 Jahren
  32. Default

    viele dank
    habe es verstanden !

    Von Hanneshillmann, vor etwa 3 Jahren
  33. Default

    Hallo Mandy,
    es wäre schön, wenn du hier auch den Ausdruck Winkelsymmetrale erwähnen würdest. Wir haben ziemlich lange gesucht um dieses Video zu finden, weil wir bei uns in der Schule nur Winkelsymmetrale benutzen. Ich dachte schon ich finde gar nichts.
    LG Jojo

    Von Jtkierstein, vor etwa 3 Jahren
  34. Default

    Ezz! War Mega hilfreich Ezz gedreckt

    Von Hk0, vor mehr als 3 Jahren
  35. Default

    :,D

    Von S Lukas, vor mehr als 3 Jahren
  36. Default

    Das Video ist echt super! Jetzt habe ich es verstanden. Danke ;)

    Von Julina J., vor etwa 4 Jahren
  37. Default

    Dankeschön,ich hab es jetzt einfach perfekt verstanden dankee :)

    Von Hama97, vor mehr als 4 Jahren
  38. Keep calm and love emi 3 4

    danke schön ich habe es verstanden :)

    Von Richard Wagner7, vor mehr als 4 Jahren
  39. Default

    :D

    Von Oldionabdija, vor mehr als 4 Jahren
  40. Default

    :)

    Von Oldionabdija, vor mehr als 4 Jahren
  41. Default

    Ich hab`s wieder verstanden.
    Vielen Dank.

    Von Oldionabdija, vor mehr als 4 Jahren
  42. Default

    Cool danke

    Von Oldionabdija, vor mehr als 4 Jahren
  43. Default

    danke

    Von Dreschner, vor mehr als 4 Jahren
  44. Default

    Das Video ist richtig, richtig genial!!! Hab´s jetzt verstanden, dankeschön!!!

    Von Sonnenschein2001, vor fast 5 Jahren
  45. Default

    Hat mir sehr weiter geholfen

    Von valentin t., vor etwa 5 Jahren
  46. Default

    sehr gut

    Von Malexoae, vor etwa 5 Jahren
  47. Default

    Vielen Dank, super gut erklärt.

    Von Kevin Schatz, vor etwa 5 Jahren
  48. Default

    Super erklärt das muss man verstehen.

    Von Andrew3000, vor etwa 5 Jahren
  49. Default

    Super erklärt, danke!

    Von Astrid 3, vor etwa 5 Jahren
  50. Default

    danke das Video hat mir sehr geholfen:)

    Von Ariane Klass, vor mehr als 5 Jahren
  51. Img 1366

    Das Video hat mir sehr weitergeholfen.

    Von Greenhill21, vor mehr als 5 Jahren
  52. Default

    Aha,jetzt hab ich's verstanden!!!

    Von Herrderringe, vor mehr als 5 Jahren
  53. Default

    jetzt hab ich es kapiert...

    Von Lordik, vor fast 6 Jahren
  54. Default

    hat weitergeholfen

    Von Telefon, vor fast 6 Jahren
  55. Default

    hat weitergeholfen

    Von Telefon, vor fast 6 Jahren
  56. Default

    Echt Super!!!;)

    Von Evangelia C., vor fast 6 Jahren
  57. Default

    cooles vid hat mir echt geholfen

    Von Rothfuss N, vor etwa 6 Jahren
  58. Default

    Ich hab mrgen Schularbeit,und das Video hat mir sehr geholfen,DANKE

    Von Donya M., vor etwa 6 Jahren
  59. Default

    Sehr gut erklärt

    Von R G Birghan, vor etwa 6 Jahren
  60. Default

    Sehr gut erklärt!!Hat mir sehr geholfen!Danke!!

    Von Deleted User 39595, vor mehr als 6 Jahren
  61. Default

    Gut und verständlich erklärt worden!
    Hat mir geholfen!

    Von Spatz007, vor mehr als 6 Jahren
  62. Default

    Echt cool hat mir auch geholfen

    Von Minchenmaus1983, vor mehr als 6 Jahren
  63. Default

    Danke hilft mir richtig !

    Von Mgb, vor mehr als 6 Jahren
  64. Big1

    hab es jetzt verstanden

    Von Lancelot D., vor mehr als 6 Jahren
  65. Default

    Danke hilft mir richtig !

    Von Ellakatana, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Die Winkelhalbierende Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Winkelhalbierende kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere, was eine Winkelhalbierende ist.

    Tipps

    Achte auf den Namen: Die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$ ist hier blau eingezeichnet.

    Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist die Länge des Lotes von diesem Punkt auf die Gerade. Dies kannst du hier erkennen.

    Blau eingezeichnet siehst du die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.

    Beachte:

    • Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt.
    • Ein Strahl hat einen Anfangspunkt aber keinen Endpunkt.
    • Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.
    Lösung

    Wie der Name bereits vermuten lässt, halbiert die Winkelhalbierende einen Winkel.

    Schaue dir dieses Bild an. Von dem Scheitelpunkt $S$ gehen zwei Schenkel $p$ und $q$ ab. Diese schließen den Winkel $\alpha$ ein. Die Winkelhalbierende ist der Strahl, der diesen Winkel halbiert.

    Eine andere Definition kann verwendet werden, um die Winkelhalbierende zu konstruieren:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Dies ist in diesem Bild am Beispiel der beiden Punkte $X$ und $Y$ auf der Winkelhalbierenden zu erkennen.

  • Bestimme die gleich großen Abstände.

    Tipps

    Berücksichtige diese Definition einer Mittelsenkrechten:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Übertrage das obige Bild in dein Heft und miss die Längen.

    Es sind nur zwei Gleichungen richtig.

    Lösung

    Die Winkelhalbierende kann auch so definiert werden:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Diese Definition wird verwendet, um eine Winkelhalbierende zu konstruieren.

    In diesem Bild kannst da am Beispiel der beiden Punkte $X$ und $Y$ erkennen, dass die Abstände zu den beiden Schenkeln gleich groß sind:

    • $\left|\overline{TY}\right|=\left|\overline{UY}\right|$
    • $\left|\overline{QX}\right|=\left|\overline{RX}\right|$
  • Beschreibe, wie eine Winkelhalbierende konstruiert wird.

    Tipps

    Beachte die Definition einer Winkelhalbierenden:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Alle Punkte auf dem Kreis um den Punkt $M$ mit dem Radius $r$ haben den gleichen Abstand zu $M$.

    Lösung

    Hier kannst du die Konstruktion Schritt für Schritt sehen.

    1. Du zeichnest ausgehend von dem Scheitelpunkt $S$ einen Schenkel $p$.
    2. An diesem Schenkel trägst du den Winkel $\alpha$ ab. So erhältst du den zweiten Schenkel $q$.
    3. Zeichne einen Kreis mit $S$ als Mittelpunkt. Wähle den Radius nicht zu groß, da ansonsten deine Zeichnung vielleicht zu groß wird.
    4. Dieser Kreis schneidet die beiden Schenkel in den Punkten $U$ und $T$.
    5. Zeichne nun um jeden dieser beiden Schnittpunkte einen Kreis. Diese beiden Kreise müssen den gleichen Radius haben.
    6. Ein Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei der Punkt $V$. Dieser Punkt hat zu beiden Punkten den gleichen Abstand.
    7. Zuletzt zeichnest du von $S$ aus einen Strahl über $V$ hinaus. Dies ist die gesuchte Winkelhalbierende.
    Fertig ist die Winkelhalbierende!

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

    Beachte die Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck.

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Gerade, welche diese Strecke im rechten Winkel genau in der Mitte der Strecke schneidet.

    Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke.

    Lösung

    Hier siehst du ein gleichseitiges Dreieck. In diesem sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$. Wird ein solcher Winkel halbiert, entstehen zwei kongruente Dreiecke, deren Winkel $30^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$ betragen.

    Das bedeutet, dass die Winkelhalbierende im rechten Winkel die gegenüberliegende Seite halbiert. Sie ist also auch eine Mittelsenkrechte. Auf dieser liegt auch die Höhe.

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck gilt dies nur für den Winkel, welcher von den beiden gleichgroßen Schenkeln eingeschlossen wird.

  • Prüfe, an welcher Stelle die Winkelhalbierende falsch konstruiert wurde.

    Tipps

    Beachte, dass jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden zu den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat.

    Wenn du einen Kreis um einen Mittelpunkt zeichnest, hat jeder Punkt auf dem Kreisrand zu diesem Mittelpunkt den gleichen Abstand.

    Beachte: Der Schnittpunkt der beiden Kreise muss zu beiden Punkten den gleichen Abstand haben.

    Lösung

    Ein kleiner Fehler mit einer sehr großen Wirkung: Allerdings ist dieser Fehler sicherlich nicht so klein.

    Paul hat leider die Radien der beiden Kreise um die Punkte $U$ und $T$ auf den Schenkeln verschieden groß gewählt. Deshalb hat der Schnittpunkt $V$ auch nicht den gleichen Abstand zu $U$ wie zu $T$.

    Achte also unbedingt darauf, dass dieser Radius bei beiden Kreisen gleich groß ist.

  • Weise nach, dass die Konstruktion zur Halbierung des Winkels führt.

    Tipps

    Es wird der folgende Kongruenzsatz verwendet: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Die beiden Punkte $U$ und $T$ liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $S$.

    Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, stimmen sie auch in den einander entsprechenden Winkeln überein.

    Umgekehrt gilt dies nicht. Denn die Dreiecke können auch ähnlich (aber nicht kongruent) sein.

    Wenn die Summe zweier identischer Winkel gleich einem anderen Winkel $\beta$ ist, sind die beiden identischen Winkel gerade halb so groß wie der Winkel $\beta$.

    Lösung

    Werfen wir einmal gemeinsam einen Blick auf die Argumentation:

    • Da die beiden Punkte $U$ und $T$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $S$ liegen, gilt $\left|\overline{SU}\right|=\left|\overline{ST}\right|$.
    • Auf der Winkelhalbieren liegende Punkte haben zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand. Somit ist $\left|\overline{TY}\right|=\left|\overline{UY}\right|$.
    • Die beiden Dreiecke $\Delta STY$ sowie $\Delta SUY$ haben die Seite $\overline{SY}$ gemeinsam.
    • Gesamt gilt also, dass die beiden Dreiecke in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
    • Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke kongruent und stimmen also auch in ihren drei Winkeln überein.
    • Insbesondere ist $\angle(TSY)=\angle(USY)$.
    Nun sind wir fast fertig: Es gilt $\angle(TSY)+\angle(USY)=2\angle(TSY)=\alpha$.

    Division durch $2$ führt zu

    $\angle(TSY)=\angle(USY)=\frac{\alpha}2$.

    Der blaue Strahl halbiert also tatsächlich den Winkel $\alpha$.