Ebenengleichungen in Parameterform – Erklärung 06:20 min

Hallo, es geht um Parameterform, es geht um Ebenen in Parameterform. Es gibt ja grundsätzlich 3 Möglichkeiten Ebenen darzustellen. In Parameterform, in Koordinatenform und in normaler Form. Hier kommt jetzt die Parameterform. Schauen wir uns das ganze Mal an. Die ebene Parameterform, hier die Ebene besteht also aus allen Vektoren x, die folgende Form haben, Vektor p +λ× Vektor U+μ× Vektor V. λ und μ sind einfach griechische Buchstaben. Man kann auch andere Buchstaben verwenden. Es gibt auch zig verschiedene Darstellungen davon. Auch mit anderen Variablen. Ich hoffe, du kannst das dann für deinen Fall entsprechend übertragen. Ich zeige hier nur eine Version, weil es sonst zu durcheinander geht. Dann brauchen wir noch ein paar Bezeichnungen, bevor ich zur Anschauung was sage. Der erste Vektor hier, der Vektor p, das ist der Stützvektor. Dann haben wir die Vektoren u und v, das sind die beiden Richtungsvektoren. U und v müssen jeweils ≠0 sein, denn sonst hat man überhaupt keine Richtung vorgegeben. Da zeig ich gleich noch was in dem Vektorraum dazu. Die beiden Zahlen hier λ und μ sind die beiden Parameter. Wir können uns jetzt rein formal die ganze Ebene jetzt so vorstellen, immer wenn man für λ und μ irgendwelche Zahlen einsetzt, erhält man durch den Term Vektor p +λ× Vektor U+μ× Vektor V Punkte, die alle auf einer bestimmten Ebene liegen. Das heißt also rein Formal gesehen, wenn du 2 Richtungsvektoren hast und 1 Stützvektor, dann brauchst du die quasi nur noch hintereinander schreiben. Vor die beiden Richtungsvektoren kommt jeweils eine Variable für eine Zahl. λ und μ zum Beispiel. Das Ganze =x setzen und fertig ist die Darstellung einer Ebene in Parameterform. Jetzt ist natürlich noch interessant, wie kann man sich das vorstellen? Dann nehmen wir mal einen Vektorraum. Hier dieses dreidimensionale Koordinatensystem. X, y, z, bzw. x1, x2, x3. Und da zeig ich zunächst einmal einen Stützvektor. Der ist hier zum Beispiel. Der geht hier irgendwo hin. Vom 0-Punkt bis hier ist der Stützvektor. Und dann werden ja 2 Richtungsvektoren addiert. Der eine könnte hier langgehen, oder ich nehme ihn mal etwas nach unten. Da geht der eine hin, da der andere. Die beiden Richtungsvektoren, so kann man sich das vorstellen. Und warum gibt das jetzt eine Ebene? Wir haben ja gesehen, der Richtungsvektor U zum Beispiel, der wird jetzt mit einer Zahl λ multipliziert. Die könne jetzt etwas kleiner als 1 sein. Und dann würde der Vektor nur noch so groß sein. Das ist jetzt λ mal Vektor U. Das ist der Stützvektor p.  Und wir könnten diesen Vektor V jetzt mit einer Zahl μ multiplizieren, die ist vielleicht etwas größer als 1. Und wenn das alles jetzt addiert wird, dann haben wir p+λ×u+μ×v. Und dann bekommen wir hier diesen Punkt. Das ist dann ein bestimmtes x dieser Ebene. Und ich glaub, man kann sich das jetzt vorstellen, wenn man μ verkleinert, dann wird μ×v auch kleiner. Dann bekommen wir lauter Vektoren, die auf einer Geraden liegen. Und wenn jetzt u mit Zahlen multipliziert wird, die zum Beispiel noch kleiner sind als das λ, was wir uns gerade vorgestellt haben, dann wandert dieser Vektor V immer weiter an den Stützvektor heran. Und dann können wir diesen Vektor V auch immer wieder mit verschiedenen Zahlen multiplizieren und bekommen lauter Punkte, die hier liegen. Und vielleicht kannst du dir das auch so vorstellen, dass dann so eine Ebene entsteht. Also alle Punkte, die man durch diese Rechnungen bekommt, liegen in einer Ebene, die jetzt ungefähr hier ist. Wenn die beiden Vektoren so aussehen, ein Stützvektor, noch ein Stützvektor, dann entsteht diese Ebene, in der man für λ und μ alle möglichen Zahlen einsetzt. Weil man eben durch diese Addition von Stützvektor und λ mal Richtungsvektor und μ mal anderer Richtungsvektor nur Punkte erhält, die sich in dieser Ebene befinden. Ja, das ist einfach so die Definition und die Anschauung zur Parameterform. Das war's an dieser Stelle, tschüss.