Geometrische Reihen – Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in gemeine Brüche

Geometrische Reihen – Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in gemeine Brüche Übung

• Beschreibe, wie du einen periodischen Dezimalbruch in eine unendliche Summe umwandelst.

  Tipps

  Die Periodenlänge eines Bruches ist die Anzahl der Ziffern, die unter dem Periodenstrich stehen, sich also immer wiederholen.

  Potenzen mit negativen Exponenten kannst du folgendermaßen ausrechnen:

  $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Wir betrachten einmal den periodischen Dezimalbruch $0,\overline{137}$. Dieser hat die Periodenlänge $3$. Diese Periodenlänge setzen wir als negativen Exponenten der Zahl $10$ ein und erhalten $10^{-3}$ oder $\dfrac{1}{1000}$.“

  • Potenzen mit negativen Exponenten berechnest du mithilfe der Relation $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$. Folglich ist $10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$. Wofür wir diesen Bruch brauchen, wird später klar.

  „Das schreiben wir dann in Klammern in jeden Summanden der Summe, mit der wir den Dezimalbruch darstellen wollen. Davor schreiben wir als Faktor jeweils den zu untersuchenden Dezimalbruch ohne Periodenstrich, also hier $0,137$. Unsere Summe sieht bisher so aus:

  $0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)+...$“

  • Nun haben wir eine Summe aus unendlich vielen Summanden gebastelt, die aber noch nicht alle den richtigen Wert haben.

  „Nun wollen wir noch dafür sorgen, dass jede Zahl an die richtige Nachkommastelle befördert wird. Dafür geben wir den Termen in Klammern aufsteigende Exponenten, beginnend mit $0$. Den Bruch im ersten Summanden nehmen wir also hoch $0$, den zweiten hoch $1$ und so weiter.“

  • Eine beliebige Zahl hoch $0$ ergibt immer $1$, also ist der erste Summand $0,137\cdot 1 = 0,137$. Der zweite Summand ergibt sich zu $0,137\cdot\frac{1}{1000}=0,000\hspace{0.8pt}137$. Addieren wir diese beiden Summanden, erhalten wir als Zwischenergebnis $0,137\hspace{0.8pt}137$. Der dritte Summand $0,137\cdot\frac{1}{1\hspace{0.8pt}000\hspace{0.8pt}000}=0,000\hspace{0.8pt}000\hspace{0.8pt}137$ ergänzt das Ergebnis um weitere drei Nachkommastellen und so weiter. Dieser Vorgang wird jetzt unendlich oft wiederholt.

  „Damit haben wir den periodischen Dezimalbruch als unendliche Summe, also als eine sogenannte Reihe, dargestellt:

  $0,\overline{137}=0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^0+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^1+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^2+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^3+...$“

  • Beachte: Eine unendliche Summe meint nicht eine Summe mit dem „Wert unendlich“, sondern eine Summe mit unendlich vielen Summanden, die, wie wir gerade gesehen haben, durchaus einen endlichen Wert annehmen (konvergieren) können. Eine solche Summe mit unendlich vielen Summanden bezeichnet man auch als Reihe.

• Vervollständige die Darstellung periodischer Dezimalbrüche als geometrische Reihe.

  Tipps

  Wenn $x$ die Periodenlänge der Zahl ist, die du als unendliche Summe darstellen willst, dann steht in jedem Summanden in Klammern der Bruch $10^{-x}$.

  Die Bedeutung des Summenzeichens kannst du dir anhand folgender Beispiele klarmachen:

  $\sum\limits_{k=1}^{10} k = 1+2+3+...+9+10$

  $\sum\limits_{k=1}^{3}x^k = x^1+x^2+x^3$

  Für eine geometrische Reihe mit $0<q<1$ gilt:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k=\dfrac{a}{1-q}$

  Lösung

  Den gegebenen periodischen Dezimalbruch wandelst du folgendermaßen in einen echten Bruch um:

  1. Du schreibst den Dezimalbruch ohne Periodenstrich auf. Dann zählst du die Anzahl der sich wiederholenden Stellen $x$. Den Dezimalbruch ohne Periodenstrich multiplizierst du dann mit dem Faktor $10^{-x}$, hier ist das $\frac{1}{1000}$. Anschließend schreibst du diesen Term einige Male auf, aber erhöhst bei jedem Term die Potenz des Bruches $\frac{1}{1000}$ um $1$.
  2. Nun hast du eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Da es etwas umständlich wäre, jeden einzeln aufzuschreiben, nutzen wir dafür das Summenzeichen. Der Index, der sich in jedem Summanden um $1$ erhöht, nennen wir hier $k$; $k$ läuft also von $0$ bis unendlich ($\infty$).
  3. Das Ergebnis der unendlichen Summe können wir nun mit der geometrischen Summenformel berechnen.

  Die geometrische Summenformel lautet:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k=\dfrac{a}{1-q}$ (Bedingung: $|q|<1$)

  Hier ist $a=0,137$ und $q=\frac{1}{1000}$. Damit kannst du die Lücken folgendermaßen füllen:

  $\begin{array}{ll} 0,\overline{137} &\overset{(1)}{=}0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^0+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^1+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^2+...\\ &\overset{(2)}{=}\sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^k\\ &\overset{(3)}{=}\dfrac{137}{999} \end{array}$

• Berechne die Ergebnisse der folgenden geometrischen Reihen mithilfe der Summenformel.

  Tipps

  Die geometrische Summenformel lautet:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a\cdot q^k=\dfrac{a}{1-q}$

  Lösung

  Geometrische Reihen sind Reihen der Form

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k$.

  Solange $|q|<1$ gilt, lässt sich für diese Summen $-$ bemerkenswerterweise, da sie ja unendlich viele Summanden besitzen $-$ ein genaues Ergebnis angeben. Es gilt:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k=\dfrac{a}{1-q}$

  Damit erhalten wir hier die folgenden Ergebnisse:

  • $\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k$: $a=1$, $q=\dfrac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{a}{1-q}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
  • $\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,24\cdot0,98^k$: $a=0,24$, $q=0,98 \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{a}{1-q}=\dfrac{0,24}{1-0,98}=12$
  • $\sum\limits_{k=0}^{\infty}2\cdot (-0,5)^k$: $a=2$, $q=(-0,5) \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{a}{1-q}=\dfrac{2}{1-(-0,5)}=\dfrac{4}{3}$
  • $\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k$: $a=1$, $q=\dfrac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{a}{1-q}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$

• Berechne die zu den gegebenen periodischen Dezimalbrüchen gehörigen vollständig gekürzten Brüche.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Anzahl $x$ der Ziffern, die sich immer wiederholen. In jedem Summanden der Reihe steht der Term $10^{-x}$.

  Sieh dir den folgenden periodischen Dezimalbruch an:

  $\begin{array}{ll} 0,\overline{137}&=0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^0+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^1+0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^2+...\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,137\cdot\left(\dfrac{1}{1000}\right)^k\\ &=\dfrac{0,137}{1-\frac{1}{1000}}\\ &=\dfrac{137}{999} \end{array}$

  Die allgemeine Formel für den Wert einer geometrischen Reihe lautet:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k=\dfrac{a}{1-q}$

  Dabei muss $|q|<1$ sein.

  Lösung

  Wir betrachten zuerst den Bruch $0,\overline{27}$. Dieser hat $2$ Nachkommastellen. Das bedeutet, dass in jedem Summanden der Term $10^{(-2)}=\frac{1}{100}$ vorkommen wird. Wir schreiben also die Zahl ohne Periodenstrich auf und multiplizieren sie mit $\left(\frac{1}{100}\right)^k$. Das machen wir unendlich oft und erhöhen die Potenz $k$ jedes Mal um $1$:

  $0,\overline{27}=0,27\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^0+0,27\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^1+0,27\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^2+...$

  Das können wir mithilfe des Summenzeichens schreiben als:

  $0,\overline{27}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,27\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^k$

  Damit steht rechts eine geometrische Reihe, deren Wert wir exakt berechnen können. Dafür nutzen wir die geometrische Summenformel:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k=\dfrac{a}{1-q}$

  Damit erhalten wir:

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}0,27\cdot\left(\dfrac{1}{100}\right)^k=\dfrac{0,27}{1-\frac{1}{100}}=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$

  Genauso können wir auch für die beiden anderen periodischen Dezimalbrüche vorgehen. Hier erhalten wir:

  • $0,\overline{189}=\dfrac{7}{37}$

  • $0,\overline{36}=\dfrac{4}{11}$

• Beschreibe die Vorgehensweise beim Umformen eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch.

  Tipps

  Erst wird der periodische Dezimalbruch als Summe geschrieben, dann wieder zu einem gewöhnlichen Bruch zusammengefasst.

  Am Ende des Prozesses berechnest du den gewöhnlichen Bruch mithilfe der geometrischen Summenformel.

  Lösung

  Das Umformen eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch läuft folgendermaßen ab:

  1. Zunächst zählst du die Anzahl $x$ an Ziffern unter dem Periodenstrich.
  2. Nun schreibst du einige Summanden auf. In jedem schreibst du den Dezimalbruch ohne Periodenstrich. Diese Zahl nennen wir $a$.
  3. Diese multiplizierst du in jedem Summanden mit dem Faktor $q=10^{-x}$, also $\frac{1}{10^x}$, in aufsteigender Potenz. Also im ersten Faktor mit $\left(\frac{1}{10^x}\right)^0$, im zweiten mit $\left(\frac{1}{10^x}\right)^1$, und so weiter.
  4. So erhältst du eine Summe mit unendlich vielen Summanden, eine sogenannte Reihe. Diese schreibst du nun mit dem Summenzeichen als $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k$
  5. Diese geometrische Reihe lässt sich berechnen zu $\dfrac{a}{1-q}$. Nun kannst du gegebenenfalls noch kürzen, dann hast du den zum periodischen Dezimalbruch zugehörigen gewöhnlichen Bruch gefunden.

• Gib die gesuchte Streckenlänge als Dezimalbruch an.

  Tipps

  Stelle die geometrische Reihe auf, die das Problem beschreibt. Hast du diese gefunden, kannst du ihren Wert mit der Summenformel

  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}aq^k=\dfrac{a}{1-q}$

  berechnen.

  Die Feder beginnt mit der Auslenkung $10\,\text{cm}$, welche bereits ein Teil der insgesamten Wegstrecke darstellt.

  Beachte, dass die Schwingung eine Auf- und Abbewegung ist.

  Lösung

  Die Feder beginnt mit der Auslenkung $10\,\text{cm}$. Diese Wegstrecke legt sie bis zum Gleichgewicht zurück. Da sie dann aber eine gewisse Geschwindigkeit hat, schwingt sie über die Gleichgewichtslage hinaus. Bis sie wieder zum Stehen kommt, hat sie noch einmal $\frac{9}{10}$ der ursprünglichen Auslenkung zurückgelegt, insgesamt jetzt also $10\,\text{cm}+10\,\text{cm}\cdot\frac{9}{10}$. Auf dem Weg zurück zur Gleichgewichtslage legt sie nun noch einmal $10\,\text{cm}\cdot\frac{9}{10}$ zurück, insgesamt jetzt also $10\,\text{cm}+2\cdot 10\,\text{cm}\cdot\frac{9}{10}$. Auch hier schwingt sie wieder weiter, allerdings jetzt nur noch bis auf $10\,\text{cm}\cdot\left(\frac{9}{10}\right)^2$, die sie ebenfalls zweimal zurücklegt.

  Nach jeder Durchquerung der Gleichgewichtslage wird die maximale Auslenkung also mit dem Faktor $\frac{9}{10}$ multipliziert und diese Strecke zweimal zur bereits zurückgelegten addiert. Damit erhalten wir für die Strecke $s$ die folgende Summe:

  $s=10\,\text{cm}+2\cdot 10\,\text{cm}\cdot\left(\dfrac{9}{10}\right)+2\cdot 10\,\text{cm}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^2+2\cdot 10\,\text{cm}\cdot\left(\dfrac{9}{10}\right)^3+...$

  Die ersten $10\,\text{cm}$ betrachten wir nun separat, da sie nur einmal zurückgelegt werden. Die restlichen Terme können wir aber zu einer Reihe zusammenfassen:

  $s=10\,\text{cm}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}20\,\text{cm}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^k$

  Beachte, dass hier die Summe nicht bei $k=0$ beginnt, sondern bei $k=1$. Das ist aber kein Problem, da wir den Term kennen, der für $k=0$ auftreten würde (nämlich $20\,\text{cm}\cdot\left(\frac{9}{10}\right)^0=20\,\text{cm}$). Diesen können wir also von der normalen geometrischen Reihe abziehen. Damit lautet die Rechnung:

  $s=10\,\text{cm}-20\,\text{cm}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}20\,\text{cm}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^k$

  Hier steht nun eine normale geometrische Reihe, die wir auswerten können. Es gilt $a=20\,\text{cm}$ und $q=\dfrac{9}{10}$. Damit gilt:

  $s=10\,\text{cm}-20\,\text{cm}+\dfrac{20\,\text{cm}}{1-\frac{9}{10}}=10\,\text{cm}-20\,\text{cm}+200\,\text{cm}=1,9\,\text{m}$

  Die Feder legt also während ihrer gesamten Schwingung insgesamt $1,9\,\text{m}$ zurück.