Zweistufige Zufallsversuche – Definition
Zufallsversuche sind vorhersehbare Experimente mit bekannten möglichen Ergebnissen. Entdecke zweistufige Zufallsversuche mit dem Urnenmodell und Baumdiagrammen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
- Zweistufige Zufallsversuche – Mathematik
- Zufallsversuche – Definition
- Zweistufiger Zufallsversuch – Definition
- Zweistufige Zufallsversuche – Beispiele
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Grundlagen zum Thema Zweistufige Zufallsversuche – Definition
Zweistufige Zufallsversuche – Mathematik
Heute lernst du, was genau ein Zufallsversuch ist. Anhand des sogenannten Urnenmodells wirst du erfahren, was mit einem zweistufigen Zufallsversuch gemeint ist und wie man diesen in einem Baumdiagramm darstellen kann.
Zufallsversuche – Definition
Wir sprechen in der Mathematik von einem Zufallsexperiment oder Zufallsversuch, wenn die folgenden Merkmale erfüllt sind:
- Alle möglichen Ausgänge des Experiments sind bekannt.
- Der Ausgang des Experiments ist nicht vorhersehbar.
- Das Experiment kann beliebig oft wiederholt werden.
- Es herrschen immer die gleichen Bedingungen.
Demnach ist zum Beispiel das Ziehen von farbigen Bällen aus einem Säckchen ein Zufallsversuch:
- Wir wissen, welche Bälle sich in dem Säckchen befinden.
- Der Ball wird blind gezogen, welche Farbe er haben wird, ist vorab nicht bekannt.
- Wir können beliebig oft aus dem Säckchen ziehen.
- Wenn sich dieselben Bälle im Säckchen befinden, dann sind die Bedingungen identisch.
Für Zufallsversuche verwenden wir gerne ein sogenanntes Urnenmodell: Das bedeutet, wir gehen davon aus, dass Kugeln aus einer Urne entnommen werden. Dabei macht es aus mathematischer Sicht keinen Unterschied, ob wir Kugeln aus einer Urne oder Bälle aus einem Säckchen ziehen, solange alle Voraussetzungen für einen Zufallsversuch erfüllt sind.
Was genau es mit zweistufigen Zufallsversuchen auf sich hat, wird im Folgenden einfach erklärt.
Zweistufiger Zufallsversuch – Definition
Was ist ein zweistufiger Zufallsversuch? Ein Zufallsversuch kann aus mehreren Teilvorgängen bestehen. Setzt sich ein Zufallsversuch aus genau zwei Teilvorgängen zusammen, dann sprechen wir von einem zweistufigen Zufallsversuch. Die Teilvorgänge müssen dabei selbst Zufallsversuche sein.
Für die Darstellung von zweistufigen Zufallsversuchen verwenden wir häufig Baumdiagramme. Dabei steht jede Ebene des Baums für einen der Teilversuche. Im folgenden Bild siehst du ein Baumdiagramm für das Zufallsexperiment Zweimaliges Ziehen aus einer Urne.
In der Urne befinden sich eine rote, eine grüne und eine blaue Kugel. Beim ersten Zug können wir eine der drei Farben ziehen, für den zweiten Zug dann nur noch eine der beiden verbleibenden Kugeln. Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält alle möglichen Farbkombinationen, die sich ergeben können. Jedes Ergebnis besteht aus zwei Teilergebnissen.
Wir sprechen in der Mathematik von einem zweistufigen Zufallsexperiment oder zweistufigen Zufallsversuch, wenn die folgenden Merkmale erfüllt sind:
- Zufallsversuch, der aus zwei Teilvorgängen besteht
- Ergebnis besteht aus zwei Teilergebnissen.
- Teilversuche sind selbst Ergebnisse eines einstufigen Zufallsversuchs.
- Mit Baumdiagramm darstellbar
Zweistufige Zufallsversuche – Beispiele
Immer wenn wir zwei Zufallsversuche hintereinander ausführen, sprechen wir von einem zweistufigen Zufallsexperiment. Die Teilversuche können auch gänzlich unabhängig voneinander sein.
Zum Beispiel können wir, nachdem wir eine der drei farbigen Kugel aus einer Urne gezogen haben, eine Münze werfen. Da sowohl das Ziehen aus einer Urne als auch das Werfen einer Münze Zufallsversuche sind, haben wir, wenn wir beide Experimente hintereinander durchführen, einen zweistufigen Zufallsversuch. In der folgenden Abbildung siehst du das zugehörige Baumdiagramm und die Ergebnismenge $\Omega$.
Die Ergebnisse setzen sich aus den Ergebnissen der einzelnen Teilversuche zusammen.
In diesem Video zu zweistufigen Zufallsexperimenten ...
... wiederholen wir zunächst, was ein Zufallsversuch ist. Anschließend wird anhand des Urnenmodells genau erklärt, was ein zweistufiger Zufallsversuch ist und wie du ihn mit einem Baumdiagramm darstellen kannst.
Auf dieser Seite findest du zudem interaktive Übungen mit Lösungen sowie ein Arbeitsblatt mit Aufgaben zu zweistufigen Zufallsexperimenten.
Transkript Zweistufige Zufallsversuche – Definition
Das ist Flopsy. Sein neuestes Kunststück ist das Jonglieren von Bällen. Dazu holt er die bunten Bälle aus seiner Tasche. Erst den roten und dann den grünen. Doch Moment mal! Gestern hat er doch erst den roten und dann den blauen Ball gezogen. Flopsy fragt sich, warum er nicht immer den grünen Ball als zweites zieht. Dazu beschäftigen wir uns mit zweistufigen Zufallsversuchen. Zufallsversuche können immer in das sogenannte Urnenmodell übertragen werden. Ob wir Bälle aus einer Tasche oder Kugeln aus einer Urne ziehen, ist aber eigentlich egal. Aber ist das Ziehen der bunten Kugeln aus einer Urne überhaupt ein Zufallsversuch? Schauen wir uns dazu noch einmal die Merkmale eines Zufallsversuches an. Bei einem Zufallsversuch sind uns alle möglichen Ausgänge bekannt. Wir wissen, dass wir entweder die rote die blaue oder die grüne Kugel ziehen werden. Wir kennen also alle möglichen Ausgänge. Wir wissen aber nicht, welche Kugel wir ziehen werden. Der tatsächliche Ausgang des Zufallsversuches ist für uns also nicht vorhersehbar. Legen wir die Kugeln nach jedem Ziehen in die Urne wieder zurück, könnten wir den Versuch auch beliebig oft wiederholen. Verwenden wir immer die gleichen Kugeln, herrschen außerdem immer gleiche Bedingungen. Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist also ein Zufallsversuch. Doch was ist ein zweistufiger Zufallsversuch? Ein Zufallsversuch kann auch aus mehreren Teilvorgängen bestehen. Besteht der Zufallsversuch aus genau zwei Teilvorgängen, handelt es sich somit um einen zweistufigen Zufallsversuch. Das zweimalige Ziehen von Kugeln aus einer Urne kann man deshalb als zweistufigen Zufallsversuch auffassen. Diesen Vorgang können wir in einem Baumdiagramm beschreiben. Dabei zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis des ersten Schrittes von der Urne ausgehend einen Ast. An das Ende von jedem Ast kommt ein Knoten für jedes dieser Teilergebnisse. Im ersten Schritt können wir eine rote eine grüne oder eine blaue Kugel ziehen. Ist eine Kugel im ersten Schritt gezogen worden, gibt es im zweiten Schritt nur noch die Möglichkeit, eine der beiden übrigen Kugeln zu ziehen. Ausgehend vom ersten Schritt, zeichnen wir wieder für jedes mögliche Ergebnis im zweiten Schritt einen Ast. Diese Teilergebnisse kommen wieder an das Ende der Äste. Das gesamte Ergebnis eines Zuges besteht somit aus zwei Teilergebnissen. In diesem Fall ist ein Ergebnis ein Paar von zwei farbigen Kugeln. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie beinhaltet alle möglichen Ergebnisse dieses zweistufigen Zufallsversuches, also alle Paarungen von unterschiedlich gefärbten Kugeln. Wir sehen: Bei einem zweistufigen Zufallsversuch besteht das Ergebnis aus zwei Teilergebnissen. Dennoch kann man jedes Teilergebnis für sich schon als das Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuchs auffassen. Oder anders gesagt: Zwei hintereinander ausgeführte einstufige Zufallsversuche ergeben einen zweistufigen Zufallsversuch. Doch wie würde sich unser Baumdiagramm ändern, wenn wir noch eine rote, ein grüne und eine blaue Kugel in die Urne legen würden? Im ersten Schritt können wir wieder eine der drei Farben ziehen. Doch was bleibt im zweiten Schritt übrig? Da wir jede Kugel zweimal in der Urne haben, ist es möglich, dieselbe Farbe zweimal hintereinander zu ziehen. Im zweiten Schritt haben wir also wieder jeweils drei Möglichkeiten. Wir erhalten diese Ergebnisse. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie enthält entsprechend drei Ergebnisse mehr als die Ergebnismenge des vorherigen Versuches. Dabei handelt es sich um die drei Ergebnisse, die wir erhalten können, wenn wir zweimal hintereinander dieselbe Farbe ziehen. Wir wissen nun, dass ein zweistufiger Zufallsversuch aus zwei Schritten besteht. Diese Teilschritte können aber auch unabhängig voneinander sein. Zum Beispiel können wir im ersten Schritt wieder Kugeln aus einer Urne ziehen und im zweiten Schritt eine Münze werfen. Je nachdem, was wir werfen, ergänzen wir unser Baumdiagramm dann mit Sofa oder Zahl. Die beiden Teilschritte müssen also nichts miteinander zu tun haben, solange sie für sich genommen die Merkmale eines Zufallsversuches erfüllen. Da das Ziehen von Kugeln aus einer Urne und der Münzwurf jeweils ein Zufallsversuch sind, bilden sie zusammengefasst einen zweistufigen Zufallsversuch. Fassen wir das kurz zusammen: Ein zweistufiger Zufallsversuch ist ein Zufallsversuch, der aus zwei Teilvorgängen besteht. Die Teilvorgänge selbst können dabei unabhängige Zufallsversuche sein. Das Ergebnis eines zweistufigen Zufallsversuches besteht aus ZWEI Teilergebnissen. Dabei können die Teilergebnisse selbst als Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuches aufgefasst werden. Außerdem sind zweistufige Zufallsversuche über Baumdiagramme darstellbar. Jetzt, wo Flopsy alles über zweistufige Zufallsversuche weiß, kann er sich endlich auf seinen Auftritt konzentrieren. Da muss er wohl noch etwas üben.
Zweistufige Zufallsversuche – Definition Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.
TippsEin Zufallsversuch ist ein Experiment, mit dem man die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens zufälliger Ereignisse bestimmen möchte.
Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Bei Zufallsversuchen sind nicht alle möglichen Ausgänge bekannt.“
- In einem Zufallsversuch müssen alle möglichen Ausgänge bekannt sein. Andernfalls ist es per Definition kein Zufallsversuch.
- Weder die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse eines zwei- oder mehrstufigen Zufallsversuchs, noch die einzelnen Zufallsversuche selbst müssen voneinander abhängig sein. Du kannst aus zwei unterschiedlichen Zufallsversuchen (z.B. das Werfen einer Münze und das Ziehen von Kugeln aus einer Urne) ein zweistufiges Zufallsexperiment konstruieren.
„Der Ausgang eines Zufallsversuchs kann nicht vorhergesagt werden.“
- Das ist eine Eigenschaft von Zufallsversuchen.
- Dieser Zufallsversuch wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.
-
Beschreibe diesen zweistufigen Zufallsversuch.
TippsBaumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments.
Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch zwei Kugeln in Flopsis Tasche.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Beim Ziehen von zwei Bällen aus Flopsis Tasche handelt es sich um einen zweistufigen Zufallsversuch. Diesen stellt er in einem Baumdiagramm dar. Bei jedem der zwei Züge zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast. Beim ersten Zug gibt es drei verschiedene Kugeln.“
- Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments. Bei der ersten Ziehung gibt es noch drei Möglichkeiten, denn er hat drei verschiedene Kugeln in seiner Tasche.
- In der zweiten Stufe gibt es nur noch zwei Kugeln zur Auswahl. Eine Kugel wurde schon im ersten Durchgang gezogen. Deshalb gibt es nur noch je zwei Äste im Baumdiagramm.
- Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält hier alle Paarungen von unterschiedlich farbigen Kugeln.
-
Ermittle, ob es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt.
TippsJeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:
- Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
- Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
- Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
LösungJeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:
- Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
- Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
- Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
„Siegfrieds Klassenlehrer teilt seine Klasse in zwei Gruppen ein. Die Gruppenzugehörigkeit entscheidet sich anhand der Körpergröße. Diese zwei Gruppen werden anschließend nochmal in verschiedene Gruppen eingeteilt. Dabei entscheidet die Augenfarbe. Siegfried möchte wissen, in welche Gruppen er eingeteilt wird. Er ist $1,80$ Meter groß und hat braune Augen.“
- Da Siegfried vorher über den Ausgang des Experiments Bescheid weiß, handelt es sich nicht um ein Zufallsexperiment.
- Hierbei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.
- Das ist kein Zufallsexperiment, da die möglichen Ergebnisse nicht genau bekannt sind. Alles mögliche könnte am neuen Wohnort passieren.
„Clara wirft eine Münze zweimal hintereinander und beobachtet, ob sie auf Kopf oder Zahl landet.“
„Tony konstruiert ein Experiment aus einem einmaligen Münzwurf und dem einmaligen Ziehen von Dinosaurierfiguren aus einem Sack. Er weiß genau, wie viele Dinosaurier zur Auswahl stehen.“
- Diese Experimente erfüllen die Voraussetzungen für Zufallsexperimente.
-
Entscheide, um welches Zufallsexperiment es sich handelt.
TippsDie Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.
Sind drei verschiedene Kugeln in der Urne, gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Ziehung musst du dir überlegen, welche Kugeln jetzt noch in der Urne sind.
LösungDie Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.
- Bei jeweils einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Stufe gibt es jeweils nur noch zwei Möglichkeiten. Denn egal welche Kugel im ersten Durchgang gezogen wurde, sind im zweiten Durchgang nur noch zwei unterschiedliche Kugeln übrig.
- Bei zwei blauen, drei grünen und einer rote Kugel gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine rote Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
- Bei einer blauen, zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine blaue Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine rote oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
- Bei den zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es in beiden Durchgängen je zwei Möglichkeiten.
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Gib die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsversuchs an.
TippsUm die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen.
Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt.
LösungUm die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen. Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt. Damit erhältst du das hier abgebildete Baumdiagramm.
-
Erschließe die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsexperimenten.
TippsÜberlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt. Teile anschließend die Anzahl der zu deinem Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Gesamtanzahl.
LösungFolgende Wahrscheinlichkeitszuordnungen sind falsch:
„Familie Meyer entscheidet, wer diese Woche das Klo putzen muss. Dazu ziehen sie Streichhölzer. Es gibt drei lange und ein kürzeres Streichholz. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer das kürzere Streichholz zieht, ist $\frac{1}{3}$.“
- Hier gibt es insgesamt $4$ mögliche Ereignisse ($3$ lange plus $1$ kurzes Streichholz). Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer das Kürzere zieht, gleich $\frac{1}{4}$.
- Bei dieser Lotterie gibt es $49$ verschiedene Möglichkeiten, von denen genau eine gezogen wird. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{49}$.
„In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, ist $\frac{2}{5}$.“
- Hier gibt es insgesamt $5$ Möglichkeiten ($2$ rote plus $3$ blaue Kugeln), von denen zwei zum Ereignis gehören ($2$ rote Kugeln).
- Hier gibt es zwei Möglichkeiten ($2$ Seiten), von denen genau eine zutrifft.
- Hier gibt es insgesamt $6$ Möglichkeiten (die Zahlen von $1$ bis $6$), von denen $3$ zutreffen ($2$, $4$, $6$). Diese Wahrscheinlichkeit kannst du kürzen zu: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
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Sehr schönes Video ;-)
Sehr gutes Video der Sprecher erklärt super. 🙂
Naja, bei der Münze ist es möglich, dass sie auf der Kante liegenbleibt
mep mep mep mep memmemep 😔
Gut erklärt