Integrale ausrechnen – Einführung

Hallo, nachdem es in den letzten beiden Videos dieser Reihe sehr theoretisch zuging, wollen wir jetzt endlich mal ein paar Integrale ausrechnen. Das ist die Formel aus dem Hauptsatz, die werden wir jetzt jedes Mal benutzen und als kleinen Zwischenschritt schreiben wir da so eine Kiste. In die Kiste schreiben wir die Stammfunktion in Abhängigkeit von x und an den rechten Rand der Kiste schreiben wir oben die obere Grenze und unten die untere. Und dann setzen wir eben die obere Grenze erst ein in die Stammfunktion und ziehen dann davon die untere Grenze, in die Stammfunktion eingesetzt, ab. Unsere erste Aufgabe ist das Integral von 0 bis 2 von x² dx. Als Vorschlag für eine Stammfunktion geb ich hier mal x³, denn da wird ja beim Ableiten aus der x³ ein x². Nur leider steht da noch der Faktor 3 davor. Aber wenn wir mit 1/3 multiplizieren würden, dann würde sich das ja wieder aufheben. Also multiplizieren wir auch F(x) mit 1/3 und dann haut es hin, dann ist die Ableitung x². Wir machen also den Kasten auf, schreiben 1/3 x³ rein und Kasten zu und die Grenzen dran. Dann setzen wir für x zuerst 2 ein und dann 0, ziehen das voneinander ab und das ergibt dann 8/3. Mehr ist das eigentlich nicht. Als Nächstes nehmen wir das  Integral von e^x dx von 0 bis ln 5. So, da e^x sich selber als Ableitung hat, hat es auch sich selber als Stammfunktion, ist also besonders einfach die Stammfunktion, da können wir also schreiben [e^x] ln 5 und unten 0, dann setzen wir ln 5 ein, minus e⁰, das ergibt dann also 5 - 1 und das ist 4. Als Nächstes nehmen wir das Integral von der kontanten Funktion 3 dx in den allgemeinen Grenzen von a bis b. Und da machen wir uns mal eine Skizze, denn da kann man sich schon vorher überlegen, was denn eigentlich für eine Fläche rauskommen muss. Das ist nämlich ein Rechteck mit der Breite b - a und der Höhe 3. So, welche Funktion hat als Ableitung 3, na, das ist 3x. Die Stammfunktion ist also 3x. Also [3x] unten das a, oben das b. Dann setzen wir ein, also 3b - 3a. Da können wir die 3 ausklammern, und dann kommt auch wirklich das Gleiche raus, wie was wir uns an der Zeichnung überlegt haben. So, als Letztes nehmen wir noch das Integral von -4 bis 1 von (-x) dx. Auch hier machen wir noch mal eine Skizze, da liegt nämlich ein Teil der Fläche oberhalb der x-Achse und der andere unterhalb. Gemeint ist hier die Fläche mit dem blauen Punkt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Von beiden können wir den Flächeninhalt elementar bestimmen. A1 = 4 × 4/2, also 8 und A2 ist ½. Und ich möchte daran mal demonstrieren, dass das Integral wirklich die obere Fläche addiert und die untere subtrahiert. So, Stammfunktion könnte - x² sein. Das gibt beim Ableiten aber -2x, also nehme wird noch ½, damit die Stammfunktion stimmt. Schreiben wir also - ½ x² in die Klammer, unten die -4, oben die 1, und dann setzen wir ein - ½ ×1² - (- c (-4)²). Da sollte man aufmerksam sein, bei so einem Integral, da kann man sich manchmal schon ein bisschen verrechnen mit den ganzen Minuszeichen. So was kommt raus? - ½ - 16/2, also - 8 wird subtrahiert, also +8. Und tatsächlich wird also 8 addiert und  ½ abgezogen. Kommt also 7,5 raus, obwohl die Fläche insgesamt 8,5 ist. Ja, das war's erst mal wieder, und das nächste Mal lernen wir systematisch ein paar Stammfunktionen kennen.