Ortslinie und Ortskurve bei ganzrationalen Funktionen

In diesem Video möchte ich etwas über Kurvenscharen erzählen, und zwar erst mal von Kurvenscharen von ganz rationalen Funktionen und über Ortskurven von gewissen speziellen Punkten. Was ist eigentlich eine Kurvenschar? Nehmen wir zum Beispiel mal die Geraden der Gestalt y=m×x, die gehen also alle durch den Ursprung und m sagt uns immer, wie groß die Steigung der Gerade ist. Für m=1 sieht das so aus, für m=2 so und für m=½ sieht die Gerade so aus. Wir lassen also gewissermaßen den Parameter m offen, um zu sehen, wie sich die Kurve in Abhängigkeit der Änderung des Parameters ändert. In dem Video Variable versus Parameter habe ich darüber auch schon was erzählt, da kann man eigentlich auch schon ein bisschen was über Kurvenscharen lernen. Hier handelt es sich also um eine Geradenschar. Betrachten wir jetzt mal die Parabelschar fa(x)=a×x², das sind also alles Parabeln und der Parameter a beschreibt die Stauchung bzw. Streckung der Parabel. Eine Kurvenschar ist also sozusagen eine Familie von Kurven, die sich alle nur in einer signifikanten Größe unterscheiden. Der Parameter kann auch an mehreren Stellen des Funktionsterms vorkommen. Wie zum Beispiel hier bei ya=ax+1÷a. Für a=1 haben wir die Funktion y=x+1, für a=2 2x+½ und für a=4 4x+¼. Häufig muss man zu einer Kurvenschar auch eine ganze Kurvendiskussion machen. Und weil das häufig schwerfällt, möchte ich jetzt mal an diesem Beispiel hier das Vorführen; fa(x)=½x hoch4-ax² und der Parameter a ist größer 0. Für die Werte a=1, a=2, a=½ und a=3 habe ich die Kurven hier mal eingezeichnet. Sodass man ein Gefühl dafür bekommt, wie die ganze Kurvenschar aussieht. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen für jede der Kurven, denn es sind ja Polynome und jede der Kurven ist symmetrisch zur Y-Achse, denn sie hat ja nur positive Exponenten. Da hat also der Parameter gar keinen Einfluss. Für die Nullstellen setzen wir den Funktionsterm gleich 0 und rechnen ganz normal mit dem a weiter, als wäre es eine Zahl. Hier kann man x² ausklammern, das heißt, man hat schon mal eine doppelte Nullstelle bei 0. Dann setzt man den restlichen Term=0, da ergibt sich ½x²=a, also x²=2a und somit x=+-\sqrt(2a). Das sind also die anderen beiden Nullstellen. Bei der Kurve für a=½ haben wir die Nullstellen bei -1 und 1. Und wenn wir in den Term hier für a ½ einsetzen, kriegen wir also +-\sqrt(1), also +-1 und das sind genau die beiden Nullstellen. Jetzt bestimmen wir die ersten 3 Ableitungen und lassen auch hier das a einmal stehen. Also f(x)=2x³-2ax und f``(x)=6x²-2a. f```=12x. Für die Extremstellen setzen wir die erste Ableitung=0, dann können wir durch 2 teilen und dann x ausklammern. Das heißt, die erste potenzielle Extremstelle ist schon mal x1=0. Wenn der restliche Faktor 0 werden soll, muss x²=a sein, also x=+-\sqrt(a). Jetzt machen wir noch in der zweiten Ableitung die Probe. Zuerst für 0, da kommt -2a raus, und weil a positiv ist, ist das kleiner 0. Da haben wir also ein Maximum und das sehen wir auch hier in der Zeichnung. Wenn wir die anderen beiden Stellen einsetzen, ergibt sich 6a-2a=4a>0 also sind es Minima. Setzen wir für a mal den Wert 1 ein, müssten also die Minima an den Stellen + und -1 sein. Und an der blauen Kurve können wir das sogar bestätigen. Jetzt brauchen wir noch die zweite Koordinate, also f(+-\sqrt(a))=½(+-\sqrt(a))hoch 4-a(+-\sqrt(a))². \sqrt(a)hoch4=a² und \sqrt(a)²=a, sodass sich am Schluss -½a² ergibt. Wir haben also ein Maximum bei 00 und ein Minimum bei jeweils +-\sqrt(a-½a²). Ich brauche also nur für jede Kurve das entsprechende a in diese Formel einsetzen und kriege dann die minimale Funktion raus. Für die Wendepunkte setzen wir die zweite Ableitung gleich 0. Da ergibt sich x²-a/3=0, also x=+-\sqrt(a/3). Das setzen wir dann schnell noch in die dritte Ableitung ein. Das ist einmal positiv, einmal negativ, also ungleich 0, also haben wir tatsächlich Wendepunkte. Von denen brauchen wir jetzt noch die Y-Werte. Wir setzen also wieder die Funktion ein, da kriegt man ½\sqrt(a/3)hoch4-a×\sqrt(a/3)². Das ergibt ½×a²/9-a×a/3 und das ergibt dann zusammengefasst -5/18a². Die Wendepunkte haben also jeweils die Koordinaten +-\sqrt(a/3-5/18a²). Das ist jetzt die Ortskurve der Minima. Also die Minima haben ja alle die Koordinaten +-\sqrt(a-½a²). Und wenn wir für jedes reelle a diese beiden Koordinaten eintragen und die Punkte verbinden zu einer Kurve ergibt sich diese Ortskurve der Minima. Das kann man auch in der Zeichnung schön sehen, man verbindet einfach jeweils die Minima miteinander. Und wir möchten jetzt gerne wissen, welchen Funktionsterm diese Kurve als y in Abhängigkeit von x hat. Also welche Rechnungen muss man durchführen, um von \sqrt(a) auf -½a² zu kommen. Zuerst quadriert man, um überhaupt erst mal wieder auf a zukommen und den Rest gibt einem schon der Term ganz hinten vor. Man quadriert noch mal und erhält a² und dann × man noch mit -½. Wenn ich also für \sqrt(a) x einsetze, ergibt quadrieren x²,  nochmaliges quadrieren x hoch4 und × mit -½, -½x hoch4. Und das ist dann y. Die Ortskurve der Minima hat also den Funktionsterm y=-½x hoch4. Jetzt noch zur Ortskurve der Wendepunkte. Wir schreiben wieder x für die erste Koordinate und y für die zweite. Wie kommt man von +-\sqrt(a/3) auf -5/18a². Quadrieren ergibt schon mal a/3, nochmaliges quadrieren a²/9 und dann braucht man bloß noch mit -5/2 zu multiplizieren. So kommt man also von x auf x² auf x hoch4, auf -5/2x hoch4. Die Ortskurve der Wendepunkte hat also den Funktionsterm y=-5/2x hoch4. Okay. Jetzt habt Ihr mal gesehen, wie man mit Kurvenscharen rechnen kann und wie man so eine Ortskurve ausrechnet. Das wars.