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Permutation – Einführung

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Permutation – Einführung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse - 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Permutation – Einführung

Inhalt

Was sind Permutationen?

In Mathe kommen Permutationen zum Beispiel in der Kombinatorik vor. Sie werden auch in der Stochastik verwendet, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Permutationen sind Vertauschungen von Objekten. Das können z.B. Ziffern oder Zahlen sein – wie die Augenzahlen beim Würfeln oder Positionen in einer Reihenfolge. Man nennt dann auch jede solche Reihenfolge eine Permutation.

Permutationen – Definition

Setzen wir sieben Objekte in eine Reihe nebeneinander, so erhalten wir eine Reihenfolge oder Anordnung der Objekte. Vertauschen wir zwei Objekte, so ändert sich die Reihenfolge. Wir nennen jede Vertauschung eine Permutation der Objekte. Da durch jede Vertauschung eine neue Reihenfolge entsteht, nennt man manchmal auch die Reihenfolge oder Anordnung selbst Permutation.

Permutation, Anordnung, Umordnung, Reihenfolge, Vertauschung

Berechnet wird in Mathe meistens die Anzahl aller Permutationen – also die Anzahl aller möglichen, verschiedenen Vertauschungen bzw. aller möglichen verschiedenen Reihenfolgen. Setzen wir $7$ Plüschtiere in eine Reihe, so haben wir für die erste Position $7$ Tiere zur Auswahl. Ist die erste Position besetzt, so bleiben für die zweite Position nur noch $6$ Tiere zur Auswahl. Für die beiden ersten Positionen zusammen haben wir dann schon $7 \cdot 6 = 42$ verschiedene Möglichkeiten, die Plüschtiere zu setzen. Weiter geht's: Für die dritte Position sind nur noch $5$ Tiere zur Auswahl, für die vierte Position nur noch $4$. Für die fünfte Position bleiben $3$ Tiere, für die sechste Position $2$ Tiere. Das letzte verbleibende Plüschtier muss auf die einzige noch freie Position. Wir haben also für das siebte Plüschtier keine Wahl mehr, sondern nur noch $1$ Möglichkeit.

Die Anzahl aller Möglichkeiten, die Plüschtiere in eine Reihe zu setzen, ist das Produkt der Anzahlen der Möglichkeiten für die einzelnen Positionen, also $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$. Wir schreiben das so:

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Das Ausrufezeichen heißt in Mathe „Fakultät“. Die Zahl $7!$ – sprich: „$7$ Fakultät“ – ist also die Anzahl aller verschiedenen Anordnungen von $7$ Objekten – z.B. Plüschtieren – in einer Reihe. In diesem Fall gibt es also $5040$ verschiedene Möglichkeiten, die Plüschtiere zu sortieren.

Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ ist $n!$ die Anzahl der Permutationen von $n$ Objekten. Als Formel sieht das so aus:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Man sagt auch, $n!$ ist die Anzahl der Permutationen einer $n$-elementigen Menge.

Permutationen – Beispiele

Die Anzahl $n!$ der Permutationen von $n$ Elementen kommt in verschiedenen Situationen vor: Zieht man $7$ Objekte aus einer Box – in der Stochastik sagt man auch: aus einer Urne – so gibt es für die erste Ziehung $7$ Möglichkeiten. Legt man das gezogene Objekt nicht in die Box zurück, so gibt es für die zweite Ziehung nur noch $6$ Möglichkeiten, denn es befinden sich nur noch $6$ Objekte in der Box. Für die dritte Ziehung gibt es dann nur noch $5$ Möglichkeiten und so weiter. Die Anzahl aller verschiedenen möglichen Ziehungen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge ist dann:

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Eine Permutation der $7$ Objekte kommt also auch beim Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zustande.

Verteilt man $7$ Objekte auf $7$ Boxen so, dass jede Box genau ein Objekt erhält, so gibt es wieder $7!$ verschiedene solche Verteilungen: Denn für das erste Objekt hat man $7$ Boxen zur Auswahl, für das zweite nur noch $6$, für das dritte $5$ usw. Die Anordnung der Auswahl der Boxen ist also wieder eine Permutation.

Permutationen – Zusammenfassung

In diesem Video wird der Begriff der Permutation verständlich erklärt. Du erfährst, wie man die Anzahl von Permutationen ausrechnet, und was das mit Anordnungen, Reihenfolgen und dem Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zu tun hat.

Transkript Permutation – Einführung

Hallo! In der elementaren Kombinatorik beschäftigt man sich auch mit Permutationen. Ich habe hier 7 Plüschhunde sitzen, die jeweils Weihnachtsmannmützen aufhaben, und die haben eine bestimmte Reihenfolge. Also eine Aufgabe wie aus dem Leben gegriffen. Wenn ich jetzt 2 vertausche, dann haben die eine andere Reihenfolge. Und jede dieser Reihenfolgen nennt sich jetzt eine Permutation oder auch eine Anordnung. Die Frage ist jetzt: Wie viele Permutationen gibt es? Auf wie viele Arten kann ich diese 7 Plüschhunde mit Weihnachtsmannmützen anordnen? Das stellt man sich folgendermaßen vor: Man stellt sich erst 7 Positionen vor, hier symbolisiert durch die Zahlen von 1 bis 7. Die sind vielleicht ein bisschen klein geschrieben, aber ich glaube, du kennst die Zahlen von 1 bis 7 schon und ich muss es nicht wieder erklären. Jetzt habe ich für das 1. Plüschhündchen 7 Möglichkeiten, das irgendwo hinzutun. Das kommt jetzt auf die 6. Für den 2. Plüschhund hier habe ich nur noch 6 Möglichkeiten. Ich stelle den hier hin. Für den 3. habe ich nur noch 5 Möglichkeiten, weil nur noch 5 Plätze frei sind. Für den nächsten habe ich noch 4 Möglichkeiten, 3 Möglichkeiten, 2 Möglichkeiten, und der kommt nur noch hier hin, weil nur noch diese eine Lücke frei ist. Es waren also insgesamt 7×6×5×4×3×2×1 Möglichkeiten und dafür gibt es einen speziellen Ausdruck in der Mathematik, das nennt sich nämlich 7!. Das ist Ausrufezeichen, 7 Fakultät wird das gelesen und bedeutet 7×6×5×4×3×2×1. Dann haben wir auch eine Definition für n!, das ist dann n×(n-1)×(n-2)×...×1. Das wäre die ganz korrekte Schreibweise. So ist n! definiert und das ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge. Auch das kann man sich mit mehreren Grundsituationen vorstellen. Ich könnte zum Beispiel hier einen Behälter nehmen und ich könnte jetzt also hier 7 Zettel reinwerfen und alle der Reihe nach ziehen. Dann habe ich für den 1. Zettel 7 Möglichkeiten, ihn zu ziehen, für den 2. Zettel habe ich noch 6 Möglichkeiten, für den 3. 5, für den 4. 4 Möglichkeiten, 3, 2, 1 Möglichkeiten. Also: Auch so kann man eine Permutation, eine Anordnung von 7 Elementen erlangen, indem man nämlich 7 Mal zieht und die Zettel dabei selbstverständlich nicht zurücklegt. Dann gibt es auch noch das Verteilen auf Boxen. Dann brauche ich auch 7 Boxen dafür. Wenn ich also 7 Gegenstände auf 7 Boxen verteile und dabei aber noch die Bedingung haben möchte, dass in jede Box nur 1 Zettel kommt, dann ist das auch eine Permutation, die dadurch erreicht wird. Ich fange jetzt mit der 1 an. Diese 1 kann ich in eine Box tun und die 2 auch, z. B. in diese hier. Und in jede Box kommt nur 1 Zettel. Die 3, 4, 5, 6 und 7. Und das ist jetzt eine Anordnung, die ich hier bekommen habe. Wichtig ist bei dem Verteilen auf Boxen, dass ich wirklich die Zettel der Reihenfolge nach hineinlege - ich habe ja mit der 1 angefangen und mit der 2 weitergemacht, dann die 3 reingelegt und dann die 4. Wenn man das auch noch vertauscht, dann ist es ein anderer Zufallsversuch. Jetzt ist also hier eine Anordnung entstanden: 3, 1, 5, 7, 2, 6 und die 4. Das ist eine Anordnung, es gibt insgesamt 7! dieser Anordnungen, denn ich hatte ja für die 1 7 Möglichkeiten, für die 2 hatte ich noch 6 Möglichkeiten, weil noch 6 Boxen frei waren und so weiter. Also so kann man sich das vorstellen, das ist eine der Grundsituationen, wie gesagt, Permutationen. Man kann viele Zufallsversuche so modellieren und da Permutationen wiedererkennen. Viel Spaß damit! Tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Hallo Vincent B., es sieht fast so aus, aber wenn du genau hinschaust, findest du einen Unterschied. Eine der beiden Aussagen ist richtig, die andere falsch. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor fast 2 Jahren
  2. in der zweiten aufgabe ist eine Antwort Möglichkeit doppelt gegeben :)

    Von Vincent B., vor fast 2 Jahren
  3. Hat mir super geholfen, top Lehrer!!!

    Von Paddy.H7, vor etwa 9 Jahren
  4. genialer Kerl- einfach gut erklärt^^ un gleichzeitig noch en bisschen Weihnachtsfeeling vermittelt saugued!!!13!

    Von Jackx, vor fast 10 Jahren

Permutation – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Permutation – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Permutationen.

    Tipps

    Anna feiert mit ihren Freundinnen Kami und Wilma. Die drei möchten ein Selfie machen, dafür stellen sie sich in einer Reihe auf. Es gibt die folgenden Möglichkeiten:

    • Anna, Kami, Wilma
    • Anna, Wilma, Kami
    • Wilma, Anna, Kami
    • Wilma, Kami, Anna
    • Kami, Wilma, Anna
    • Kami, Anna, Wilma

    Wenn noch eine Freundin hinzukommt, kann die Position ganz links von jeder der $4$ Freundinnen eingenommen werden. Für die verbleibenden Postionen gibt es $6$ Möglichkeiten (siehe voriger Tipp!).

    Die Anzahl aller möglichen Anordnungen dieser $5$ Kugeln in einer Reihe beträgt

    $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$.

    Lösung

    Wenn man sieben Plüschhunde in einer Reihe aufstellen möchte, kann man sich fragen, wie viele verschiedene Anordnungen es gibt.

    Für das erste Hündchen gibt es $7$ verschiedene Positionen. Ist das Hündchen auf eine Position gestellt, verbleiben für das zweite Hündchen nur noch $6$ verschiedene Positionen, dann für das dritte noch $5$, für das vierte $4$, für das fünfte $3$, für das sechste $2$ und für das siebte Hündchen bleibt nur noch eine Position.

    Alle diese Anzahlen müssen multipliziert werden zu

    $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$.

    Dies ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten, alle sieben Hündchen auf den $7$ Positionen zu verteilen.

  • Gib an, was die Fakultät einer natürlichen Zahl ist.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für eine Fakultät. Überprüfe anhand dessen die obigen Aussagen.

    Hier siehst du alle Möglichkeiten, drei Kugeln in einer Reihe anzuordnen.

    Die Berechnung von $3!$ siehst du hier.

    Lösung

    Die Anzahl aller Möglichkeiten, $7$ Plüschhündchen mit Weihnachtsmützen in einer Reihe anzuordnen, kann als Produkt berechnet werden: $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$. Dieses Produkt kann auch kürzer geschrieben werden:

    $7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$.

    Dabei steht das Ausrufezeichen für die Fakultät. Ganz allgemein ist die Fakultät einer natürlichen Zahl ein Produkt: Es werden alle natürlichen Zahlen von dieser Zahl an bis zur $1$ abwärts miteinander multipliziert.

    Es ist also $n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1$.

    $n!$ gibt die Anzahl aller Permutationen einer $n$-elementigen Menge an.

  • Bestimme jeweils die Anzahl der Permutationen.

    Tipps

    Du hast eine Fakultät-Taste an deinem Taschenrechner; diese erkennst du an dem Ausrufezeichen.

    Es ist zum Beispiel $4!=24$.

    Die Anzahl aller Permutationen einer $n$-elementigen Menge ist gegeben durch $n!$.

    Wichtig bei den Permutationen ist, dass kein Element mehrmals vorkommen kann.

    Lösung

    Wenn man wissen will, wie viele Permutationen einer $n$-elementigen Menge es gibt, verwendet man die Fakultät, also $n!$.

    • Es soll die Anzahl aller möglichen Permutationen von $5$ Zahlen bestimmt werden. Diese Anzahl ist gegeben durch $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$.
    • Die Anzahl aller Permutationen von $11$ Personen einer Fußballmannschaft ist gegeben durch $11!=39916800$. Es wäre ziemlich aufwändig, alle Zahlen von $11$ bis $1$ abwärts zu multiplizieren. Dafür gibt es die !- (Fakultät-) Taste auf dem Taschenrechner.
    • Die Anzahl der möglichen Reihenfolgen für die Dinosaurier ist $6!=720$. Von dem Zahlenbeispiel ist bereits bekannt, dass $5!=120$ ist. Damit kann $6!$ wie folgt berechnet werden: $6!=6\cdot 5!=6\cdot 120=720$. Natürlich geht auch dies mit dem Taschenrechner. Aber man kann diesen auch mal in der Schublade lassen.
  • Ermittle die Anzahl der verschiedenen Permutationen.

    Tipps

    Primzahlen sind alle Zahlen größer als $1$, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.

    Die Anzahl aller Permutationen einer $n$-elementigen Menge ist $n!$.

    Beachte bei der Aufteilung der Zahlen in Gruppen, dass auch die Gruppen in verschiedenen Reihenfolgen auftreten können.

    Durch $3$ teilbar sind die $3$ und die $6$.

    Lösung

    Im Folgenden werden für die siebenstelligen Zahlen nur die hier abgebildeten Ziffern $1$-$7$ verwendet. Jede Ziffer darf nur einmal verwendet werden.

    Wenn man die Anzahl aller Permutationen aus diesen $7$ Ziffern ermitteln möchte, muss man die Fakultät berechnen: $7!=5040$.

    Die Anzahl aller Permutationen der Primzahlen, $2$, $3$, $5$ und $7$, beträgt $4!=24$.

    Es gibt insgesamt $4!\cdot3!=24\cdot 6=144$ verschiedene siebenstellige Zahlen, die an den ersten $4$ Stellen Primzahlen haben und an den letzen $3$ Stellen die übrigen Ziffern.

    Die Anzahl der siebenstelligen Zahlen, in denen sowohl die Primzahlen als auch die übrigen Zahlen beieinander stehen, ist das Doppelte von $144$, also $288$. Warum? Es gibt $2$ Möglichkeiten, wie die jeweiligen Gruppen hintereinander stehen können. Wenn die Zahl mit den Primzahlen beginnt und mit den übrigen Ziffern endet, erhält man $144$ Zahlen. Ebenso viele Zahlen erhält man, wenn man mit den übrigen Ziffern beginnt und die letzten Stellen die Primzahlen sind.

    Die Anzahl aller Möglichkeiten, dass die durch $3$ teilbaren Zahlen, also $3$ und $6$, beieinander stehen und alle übrigen Ziffern auch, beträgt

    $2!\cdot 2!\cdot 5!=480$.

  • Beschreibe, was eine Permutation ist.

    Tipps

    Das Wort „Permutation“ leitet sich vom lateinischen „permutare“ für vertauschen ab.

    Hier siehst du Zeile für Zeile alle möglichen Permutationen der $3$ abgebildeten Kugeln.

    Lösung

    „Permutation“ ist abgeleitet vom lateinischen „permutare“ für vertauschen.

    Wenn man $3$ Kugeln, $1$ gelbe, $1$ rote und $1$ blaue, in eine Reihe legt, gibt es $6$ Möglichkeiten, diese anzuordnen. Diese sind hier abgebildet.

    Permutationen sind also mögliche Anordnungen dieser Kugeln. Man könnte auch sagen, sie sind die verschiedenen Reihenfolgen dieser Kugeln.

    Permutationen kommen häufig im Bereich der Kombinatorik, dem stochastischen Abzählen, vor.

  • Entscheide jeweils, wie viele verschiedene Zahlen es gibt.

    Tipps

    Du kannst diese Aufgabe bearbeiten, indem du dir einen Behälter vorstellst, in welchem sich $7$ Kugeln mit den Ziffern von $1$ bis $7$ befinden.

    Eine zweistellige Zahl entspricht dem zweimaligen Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge.

    Wenn die Reihenfolge nicht beachtet werden soll (das bedeutet, $123$ und $132$ sind nicht verschieden), muss die Anzahl noch durch die Anzahl aller Permutationen der $3$ Ziffern dividiert werden.

    Wenn du aus einer Menge mit $5$ Elementen $3$ entnimmst, gibt es dafür $5\cdot 4\cdot 3=60$ Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.

    Wird die Reihenfolge nicht berücksichtigt, muss diese Anzahl durch die Anzahl der Permutationen der $3$ Elemente dividiert werden:

    $\frac{60}6=10$.

    Lösung

    In einem Behälter befinden sich $7$ Kugeln mit den Ziffern von $1$ bis $7$. Man kann Permutationen auch verstehen als Ziehen aller Elemente aus diesem Behälter (ohne Zurücklegen!) unter Berücksichtigung der Reihenfolge.

    Wenn man nicht alle Kugeln zieht, verändert sich entsprechend die Anzahl:

    • Wenn nur $2$ Kugeln gezogen werden (dies entspricht den zweistelligen Zahlen), erhält man $7\cdot 6=42$ Möglichkeiten.
    • Wenn nur $3$ Kugeln gezogen werden (dies entspricht den dreistelligen Zahlen), erhält man $7\cdot 6\cdot 5=210$ Möglichkeiten.
    • Wenn nur $4$ Kugeln gezogen werden (dies entspricht den vierstelligen Zahlen), erhält man $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$ Möglichkeiten.
    • Wenn nur $5$ Kugeln gezogen werden (dies entspricht den fünfstelligen Zahlen), erhält man $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520$ Möglichkeiten.
    Wenn man nochmal die Anzahl der dreistelligen Zahlen anschaut, $210$, tritt jede Kombination von $3$ gleichen Ziffern aufgrund der Anordnung $3!=6$mal auf. Wenn die Reihenfolge also nicht berücksichtigt wird, muss die Anzahl durch die Anzahl der Permutationen der $3$ Ziffern dividiert werden

    $\frac{210}6=35$.

    Dies ist ein Beispiel für eine $3$-elementige Teilmenge dieser Zahlen. Bei Mengen ist die Reihenfolge nicht von Bedeutung.

    Ganz allgemein ist die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge ($k\le n$) gegeben durch den Binomialkoeffizienten

    $\left(\begin{array}{c} n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$.

    Also kann die letzte Anzahl auch so berechnet werden:

    $\left(\begin{array}{c} 7\\3\end{array}\right)=\frac{7!}{3!\cdot (7-3)!}=\frac{5040}{6\cdot 24}=35$.

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