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Potenzschreibweise – Aufgabe (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Potenzschreibweise – Aufgabe (1)
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Potenzschreibweise – Aufgabe (1)

Wie du bestimmt schon festgestellt hast, hat die Mathematik eine ganz eigene Sprache. Sie beinhaltet sehr viele spezifische Fachbegriffe, mit denen sich Mathematiker untereinander schnell und präzise austauschen können. Das machst auch du! Zum Beispiel, wenn du mit deinem Klassenkameraden oder deiner Klassenkameradin über den Zähler und Nenner oder das Addieren und Subtrahieren sprichst. Zur Mathematik gehört aber genauso auch eine ganz spezielle Schreibweise. Wie in der Sprache soll alles möglichst knapp und präzise dargestellt werden. Dieses Prinzip findet auch bei der Darstellung langer Zahlen wie 266536,75 Anwendung. Dabei helfen die Zehnerpotenzen. Im Video zeige ich dir, wie!

Transkript Potenzschreibweise – Aufgabe (1)

Hallo, hier kommt eine Aufgabe, eine kleine Übungsaufgabe zur wissenschaftlichen Schreibweise. Und dazu möchte ich einmal eine Zahl vorgeben, die nicht in wissenschaftlicher Schreibweise ist und wir überlegen uns dann, wie man zu dieser wissenschaftlichen Schreibweise kommt. Dazu nehme ich einfach einmal ein paar Karten hier, um eine Ziffernfolge zu erzeugen. Es ist ja immer nicht so einfach, für mich zumindest, Zahlen auszudenken. Hier kann ich einfach irgendetwas nehmen, die sind vorher durchgemischt worden. Wenn nicht, wäre es auch egal. Schon wieder eine 6, das hätte ich mir niemals ausdenken können, sowas. Ja, einen haben wir noch, jetzt das ist die Ziffernfolge und ich möchte mal hier ein Komma hinsetzen. Das ist also nicht die wissenschaftliche Schreibweise, wie kommen wir jetzt also zu dieser Schreibweise? Da kannst du dir also folgendes zu überlegen: Die wissenschaftliche Schreibweise sieht ja so aus, dass wir hier eine 2 am Anfang haben, dann kommt ein Komma und dann kommen die restlichen Ziffern dahinter. Die muss ich jetzt nur abschreiben. Ja, und dann kommt noch hier ×10^ ja, wie viel denn eigentlich? Und um auf diese Zahl zu kommen, das ist im Prinzip das A und O an dieser wissenschaftlichen Schreibweise, an dieser Übersetzung hier, da kann ich mir vorstellen, wie oft muss ich denn bei dieser Zahl das Komma verschieben, um auf diese zu kommen? Wir wissen ja, wenn wir mir 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma nach rechts, also ist es einmal verschieben, zweimal, dreimal, viermal, fünfmal müssen wir das Komma verschieben, um zu dieser Zahl zu kommen. Das bedeutet, ich rechne einfach mal 105 und damit ist die Aufgabe gelöst. Ja, ich glaube mehr ist gar nicht dazu zu sagen. Es ist eben so kurz. Und dann sage ich am besten auch nichts dazu. In den nächsten Filmen kommt noch etwas mit mehreren Nullen dann, wo man mit 10^-irgendwas rechnen muss, aber das wirst du dann sehen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. das bücherregal nerft

    Von Schwartze4, vor fast 6 Jahren
  2. GUUT erklärt!!!!!
    ♥ =)

    Von Zamelie506, vor mehr als 8 Jahren

Potenzschreibweise – Aufgabe (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzschreibweise – Aufgabe (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer wissenschaftlichen Schreibweise versteht.

    Tipps

    $456,78$ lässt sich in wissenschaftlicher Weise wie folgt schreiben

    $456,78=4,5678\cdot 10^2$.

    Beachte: Vor dem Komma steht nur auf der Einerposition etwas.

    Mache dir nochmal das Stellensystem von Zahlen klar:

    ... Zehner Einer, Zehntel Hundertstel Tausendstel ....

    Lösung

    Was ist eine wissenschaftliche Schreibweise?

    Mithilfe der wissenschaftlichen Schreibweise kann man jede beliebige Zahl in der Form

    $a,bcd...\cdot 10^?$

    schreiben. Das bedeutet:

    • Vor dem Komma steht eine Zahl,
    • hinter dem Komma eine oder mehrere Zahlen,
    • gefolgt von einem Multiplikationszeichen sowie
    • einer Zehnerpotenz.
    Die Zahl $266536,75$ ist noch nicht in wissenschaftlicher Schreibweise.

  • Stelle die Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dar.

    Tipps

    Allgemein sieht die wissenschaftliche Schreibweise wie folgt aus

    $a,bcd...\cdot 10^?$.

    Was ist $a$? $a$ ist die führende Position der darzustellenden Zahl.

    Hinter $a$ folgt ein Komma und dann schreibst du alle folgenden Zahlen ab.

    Den Exponenten kannst du dir über das Verschieben des Kommas klarmachen oder die Anzahl der Stellen hinter der führenden $2$ bis zum Komma zählen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe soll Schritt für Schritt geklärt werden, wie eine gegebene Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden kann:

    $a,bcd...\cdot 10^?$.

    Die obige Zahl $266536,75$ soll in wissenschaftlicher Schreibweise aufgeschrieben werden:

    1. Zunächst schaut man sich die führende $2$ an, diese gehört an die Stelle von $a$, also vor das Komma: $2,$
    2. Danach folgen die weiteren Zahlen: $2,6653675$.
    3. Nun kommt ein Multiplikationszeichen: $2,718\cdot$,
    4. gefolgt von einer Zehnerpotenz: $2,718\cdot 10^?$.
    5. Um den Exponenten zu bestimmen, zählt man, um wie viele Stellen das Komma von $266536,75$ ausgehend nach links verschoben werden muss, um zu $2,6653675$ zu gelangen. Dies sind fünf Stellen: $2,6653675\cdot 10^5$.
    Dies ist die gesuchte Darstellung:

    $266536,75=2,6653675\cdot 10^5$.

  • Erkläre das Vorgehen bei der wissenschaftlichen Darstellung einer Zahl.

    Tipps

    Mache dir das Stellensystem der Dezimalzahlen klar. Am Beispiel

    $12,3$:

    • die $1$ steht auf der Zehnerposition,
    • die $2$ auf der Einer und
    • die $3$ auf der Zehntelposition.

    Es ist

    • $10^0=1$
    • $10^1=10$
    • $10^2=100$
    • ...
    • $10^{-1}=0,1$
    • $10^{-2}=0,01$
    • ....

    Somit ist $12,3=1,234\cdot 10^1$ in der wissenschaftlichen Schreibweise.

    Lösung

    Man kann ganz allgemein feststellen, dass das Bestimmen des Faktors vor dem Multiplikationszeichen durch Hinsehen zu erledigen ist:

    • $134000=1,34\cdot 10^?$
    • $0,000034723=3,4723\cdot 10^?$
    • $48457,23=4,845723\cdot 10^?$
    Man schreibt die erste Zahl vor (bei großen Zahlen) oder hinter (bei kleinen Zahlen) ungleich $0$ vor das Komma in der wissenschaftlichen Schreibweise. Hinter dem Komma folgen die übrigen Zahlen in der entsprechenden Reihenfolge.

    Wichtig ist dabei zu beachten, dass die Zahl vor dem Komma einstellig ist.

    Der Exponent in der Zehnerpotenz ist da schon etwas komplizierter.

    Dabei kann man sich Folgendes merken:

    Jede Dezimalzahl besitzt Zahlen vor und hinter dem Komma:

    • die vor dem Komma sind von rechts nach links Einer, Zehner, Hunderter, ...
    • die hinter dem Komma von links nach rechts Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...
    Dies kann man mit den Zehnerpotenzen verknüpfen:
    • $10^0=1$ - dies entspricht den Einern,
    • $10^1=10$ - dies entspricht den Zehnern,
    • $10^2=100$ - dies entspricht den Hundertern,
    • ...
    • $10^{-1}=0,1$ - dies entspricht den Zehnteln,
    • $10^{-2}=0,01$ - dies entspricht den Hundertsteln,
    • ...
    Damit ist klar, dass der Exponent der Zehnerpotenz zum einen ganzzahlig ist und zum anderen
    • positiv bei großen Zahlen sowie
    • negativ bei kleinen Zahlen.

  • Ermittle zu jeder der gegebenen Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise.

    Tipps

    Beachte, dass die Zahl vor dem Multiplikationszeichen vor dem Komma nur eine Einerposition hat.

    $123=12,3\cdot 10^1$ ist keine wissenschaftliche Schreibweise.

    $123=1,23\cdot 10^2$ ist eine wissenschaftliche Schreibweise.

    Die wissenschaftliche Schreibweise ist eindeutig.

    Lösung

    Wenn man eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise aufschreiben will, muss man sich klarmachen,

    • welche Zahl vor dem Multiplikationszeichen steht und
    • welchen Exponenten die Zehnerpotenz hinter dem Multiplikationszeichen hat.
    Die Bestimmung dieses Exponenten ist dabei der eigentliche Punkt bei der Darstellung einer Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise.

    $\mathbf{213500=2,135\cdot 10^?}$

    Die Zahl vor dem Multiplikationszeichen ergibt sich immer als

    • die führende Zahl, hier $2$,
    • dann ein Komma und
    • dann alle Zahlen hinter der führenden $1$ bis gegebenenfalls nur noch Nullen folgen. Diese werden nicht mehr aufgeschrieben:
    $2,135$.

    Dann kommt $\cdot 10^?$.

    Was gehört in den Exponenten?

    Um von $213500,0$ zu $2,135$ zu gelangen, muss das Komma um fünf Stellen nach links verschoben werden. Diese $5$ gehört als positiver Wert, da es sich um eine große Zahl handelt, in den Exponenten:

    $213500=2,135\cdot 10^5$.

    $\mathbf{15379000=1,5379\cdot 10^?}$

    Die Zahl vor dem Komma dürfte klar sein.

    Auch hier kann man sich wieder die Verschiebung des Kommas klarmachen: von $15379000,0$ zu $1,5379$. Dies sind sieben Stellen. Somit ist

    $1537900=1,5379\cdot 10^7$.

  • Gib an, wie man sich klarmachen kann, welche Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise in den Exponenten gehört.

    Tipps

    $12340000=1,234\cdot 10^7$.

    Dies ist ein Beispiel für eine wissenschaftliche Schreibweise einer großen Zahl.

    $0,0001234=1,234\cdot 10^{-4}$.

    Dies ist ein Beispiel für die wissenschaftliche Schreibweise einer kleinen Zahl.

    Du kannst jede Zahl ohne Komma auch mit Komma schreiben:

    $123=123,0$.

    Lösung

    Tatsächlich ist die Bestimmung der Zahl im Exponenten der wesentliche Punkt bei der Darstellung einer Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise.

    Entweder stellt man große oder kleine Zahlen, jeweils an einem Beispiel, wissenschaftlich dar:

    Große Zahlen

    $12340000=1,234\cdot 10^?$.

    Die Zahl vor dem Multiplikationszeichen ergibt sich immer als

    • die führende Zahl, hier $1$,
    • dann ein Komma und
    • dann alle Zahlen hinter der führenden $1$, bis gegebenenfalls nur noch Nullen folgen. Diese werden nicht mehr aufgeschrieben.
    Dann kommt $\cdot 10^?$.

    Nur: Was gehört in den Exponenten?

    • Entweder macht man sich dies über die Verschiebung des Kommas von $12340000,0$ zu $1,234$ klar. Das Komma wird um sieben Stellen nach links verschoben.
    • Oder man schaut sich an, wie viele Zahlen hinter der führenden $1$, gegebenenfalls bis zu einem Komma, folgen: Dies sind sieben.
    Diese $7$ gehört als positiver Wert, da es sich um eine große Zahl handelt, in den Exponenten:

    $12340000=1,234\cdot 10^7$.

    Kleine Zahlen

    $0,0001234=1,234\cdot 10^?$.

    Die Zahl vor dem Multiplikationszeichen ergibt sich ähnlich wie bei den großen Zahlen als

    • die führende Zahl ungleich $0$, hier $1$,
    • dann ein Komma und
    • dann alle Zahlen hinter der führenden $1$ .
    Dann kommt $\cdot 10^?$.

    Nur: Was gehört in den Exponenten?

    • Entweder macht man sich dies über die Verschiebung des Kommas von $0,0001234$ zu $1,234$ klar. Das Komma wird um vier Stellen nach rechts verschoben.
    • Oder man schaut sich an, an der wievielten Stelle hinter dem Komma die führende $1$ steht: Dies ist die vierte.
    Diese $4$ gehört als negativer Wert, da es sich um eine kleine Zahl handelt, in den Exponenten:

    $0,0001234=1,234\cdot 10^{-4}$.

  • Wende jeweils die wissenschaftliche Schreibweise an.

    Tipps

    Beachte: Bei der wissenschaftlichen Schreibweise ist die Zahl vor dem Komma einstellig und ungleich $0$.

    $123=12,3\cdot 10^1$ ist keine wissenschaftliche Schreibweise.

    $12,345\cdot 10^3$ ist keine wissenschaftliche Schreibweise. Sie kann jedoch in eine wissenschaftliche Schreibweise überführt werden:

    $12,345\cdot 10^3=1,2345\cdot 10^4$.

    Auf der rechten Seite findest du die wissenschaftliche Schreibweise.

    Multipliziere gegebenenfalls mit der Zehnerpotenz und forme dann in wissenschaftliche Schreibweise um.

    Lösung

    Jede beliebige Zahl kann in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden. Damit umgeht man die Schreibweise:

    • $0,0...0abc$ bei sehr kleinen Zahlen und
    • $abc0...0$ bei sehr großen Zahlen.
    Die wissenschaftliche Schreibweise lautet dann

    $a,bc...\cdot 10^?$.

    Die Bedeutung von $a$, $b$, $c$ ergibt sich durch den Abgleich mit der allgemeinen Darstellung:

    • $a$ ist die führende Zahl ungleich $0$, ob vor (bei großen Zahlen) oder hinter (bei kleinen Zahlen) dem Komma.
    • Die darauf folgenden Zahlen sind $b$, $c$, ...
    Jedoch ist nicht jede Schreibweise in der Form $a,bc...\cdot 10^?$ eine wissenschaftliche Schreibweise. Es muss gelten, dass $a$ eine einstellige Zahl ungleich $0$ ist.

    1. $0,314\cdot 10^{-4}=3,14\cdot 10^{-5}$.
    2. $0,314\cdot 10^{6}=3,14\cdot 10^{5}$.
    3. $271,8\cdot 10^{-4}=2,718\cdot 10^{-2}$.
    4. $0,0002718\cdot 10^{-2}=2,718\cdot 10^{-6}$.
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