Stammfunktionen der Exponentialfunktion, Sinusfunktion und Cosinusfunktion

Hallo, in diesem Video bestimmen wir die Stammfunktionen von e^x, a^x, sinx und cosx und berechnen gleich noch ein paar Flächen dazu. Wir machen uns wieder eine kleine Übersicht: Von links nach rechts wird immer integriert, also wenn links die Funktion steht, steht rechts ihre Stammfunktion. Und von rechts nach links wird abgeleitet.   Die Funktion e^x ist die Dankbarste aller Funktionen, die hat nämlich sich selber als Ableitung, also hat sie auch sich selber als Stammfunktion. Das kann man sich wirklich kann einfach merken. Die Funktion a^x, also für eine allgemeine Basis "a", hat die Ableitung ln aa^x. Warum das so ist, könnt ihr in einem anderen Video von mir sehen. Das heißt, das Integral von ln aa^x dx = a^x. Und da darf ich jetzt die konstante Zahl ln a aus dem Integral rausziehen nach der Faktorregel und dann brauch ich nur noch durch ln a teilen, dann fällt nämlich links ln a weg. Und die Stammfunktion von a^x ist dann also 1/ln a * a^x + c. Als Beispiel für eine Flächenberechnung nehmen wir jetzt einmal die Funktion "1/2^x + x". Deren Graph sieht in etwa so aus. Und wir wollen wissen, welche Fläche sie mit der x-Achse zwischen -3 und 0 einschließt. Und das machen wir jetzt eben mit einem Integral der gegebenen Funktion. A = | Integral von -3 bis 0 von der Funktion (1/2^x + x) dx | Den Betrag mache ich deswegen, weil es sich hier um eine Fläche handelt. Wir sehen zwar, dass die Funktion nur im Positiven verläuft, also könnte ich mir das auch sparen, aber bei Flächen würde ich allgemein sagen: Sicher ist sicher, lieber Betragstriche drumrum machen. Jetzt wenden wir für das Integral die Summenregel an, schreiben also zwei einzelne Integrale und dann schreiben wir die Stammfunktion von 1/2^x auf. Nach unserer Regel von gerade ist das 1/2^x * 1 / ln der Basis, also 1 / ln 1/2, und das Ganze in den Grenzen von -3 bis 0. Die schreiben wir noch einmal an die eckigen Klammern dran. + Stammfunktion von x, das ist nach der Potenzregel 1/2 x², eckige Klammer drum und wieder die Grenzen ranschreiben. Jetzt setzen wir die Grenzen ein: 1/ ln1/2 * 1/2⁰ - 1/ ln1/2 * 1/2^-3 Also immer die obere Grenze minus die Untere. Und dann + 1/20² - 1/2(-3)² und die Betragstriche bleiben außen herum. Das ist 1/ ln1/2 * 1 - 1/ ln1/2 * 8 + 0 - 9/2 Da können wir 1/ ln1/2 noch ausklammern, das ist dann also 1/ ln1/2 * (-7) - 9/2 Und das ergibt ungefähr 5,6 Flächeneinheiten.

Bei den Ableitungen von Sinus und Cosinus, da kommt man leicht mit dem Minus durcheinander. Man weiß nur Sinus hat irgendwie Cosinus als Ableitung und Cosinus als Sinus, aber wann das Minus da hinkommt, ist nicht ganz klar. Deswegen versuche ich jetzt einmal zu erklären, wie ich mir das merke und vielleicht hilft euch das ja. Also der Sinus war zuerst da, denn der Cosinus ist ja nur der Cosinus. Also der Sinus ist sozusagen der wahre Sinus. Deswegen hat der die beste Ableitung bekommen, nämlich ohne Minus, also ganz sauber Sinus' = Cosinus. Und eigentlich ist das wirklich das Einzige, was man sich merken muss, weil alles andere sich daraus ergibt. Der Cosinus hat dann eben den Sinus als Ableitung bekommen, aber für den war eben nur noch die Version mit dem Minus übrig. Will ich die Ableitung von - Sinus wissen, brauche ich eigentlich in der ersten Zeile überall nur ein Minus dazumachen, also - Cosinus. Und für die Ableitung von - Cosinus muss ich in der zweiten Zeile nur überall ein Minus dazumachen, da habe ich also - - sin x, also sin x. Und daraus ergibt sich dann gleich Integral von Sinus ist - Cosinus und Integral von Cosinus ist Sinus. Und die anderen beiden ergeben sich dann auch gleich wieder daraus.   Den Merkkasten schreiben wir uns jetzt noch einmal oben in die Ecke. "Der Sinus war zuerst da", also kriegt der als Ableitung Cosinus und der Cosinus nur - Sinus.   Das ist der Graph des Sinus zwischen -4 und pi und wir wollen jetzt einmal die rote Fläche bestimmen. Dabei besteht die Gesamtfläche aus diesen beiden Teilflächen, die sind aber gleich groß. Also reicht es, wenn ich 2 * die zweite Fläche zum Beispiel berechne. Ich habe also 2 * | Integral von 0 bis pi von sinx dx | Jetzt habe ich hier Sinus als Integrant, aber aus den beiden Regeln da oben geht nur die Stammfunktion von - Sinus hervor. Das ist aber nicht schlimm, weil dann mache ich vor die Stammfunktion einfach noch ein Minus und dann habe ich eben die Stammfunktion. Ist also 2 * | [ - cos x] von 0 bis pi | Jetzt werden die Grenzen eingesetzt. Da haben wir also - cos pi - (- cos 0) | Also auch hier muss man mit dem Minus aufpassen. = 2 * Cosinus pi ist -1, also entsteht vorne eine 1, Cosinus 0 ist 1, also haben wir --1, also +1. Also kommt insgesamt raus: 4 Flächeneinheiten Jetzt kennen wir eigentlich schon alle Grundintegrale und beim nächsten Mal werden wir üben, wie man dann wirklich auch schwierigere Flächen ausrechnet.