Stochastische Unabhängigkeit – Definition

Hallo, was ist die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse eines Zufallsversuchs. Das ist jetzt das Thema. Dazu brauchen wir einen Zufallsversuch mit zwei Ereignissen, A und B genannt. Und wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit von A, also P(A/B) = P(A), dann sagt man, dass A, das Ereignis A vom Ereignis B unabhängig ist. Das Ganze kann man auch mit B und A machen, sieht dann so aus. Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A könnte genauso groß sein wie die Wahrscheinlichkeit von B selber. Und das liest man dann P von B unter der Bedingung A gleich P von B. Wenn das so ist, sagt man, B ist unabhängig von A. Jetzt kann man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit hier einsetzen für P(A) unter der Bedingung B, die Definition ist dann P von A geschnitten B geteilt durch P(B) und rechte Seite der Gleichung bleibt unverändert, also hier P(A). Das geht hier auch. Wir können die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetzen für P von unter der Bedingung A und das ist P von B geschnitten A geteilt durch P(A). Ja, kleiner Hinweis noch, P von B geschnitten A ist das gleiche wie P von A geschnitten B, weil ja B geschnitten A dasselbe ist wie A geschnitten B, und das Ganze ist hier = B. Jetzt kann man diese Gleichung hier mit P(A) multiplizieren und man kann diese Gleichung mit P(B) multiplizieren. In beiden Fällen erhält man diese Gleichung hier. P(A geschnitten B) = P(A) × P(B). Also die Wahrscheinlichkeit des Schnittes von A und B ist so groß wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Normalerweise nimmt man diese Gleichung als Definition der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse. Warum? Zum einen, weil man hier die Voraussetzung braucht, oder wenn man es so definiert, braucht man die Voraussetzung, dass P(A) ? 0 und hier, dass P(B) ? 0. Das ist hier nicht nötig. Außerdem gilt, wenn B unabhängig von A ist, dann ist auch A unabhängig von B. Ja, das sieht man einfach daran, dass wir hier beide Mal auf diese Gleichung kommen, und hier kann man ja P(A) und P(B) austauschen, ebenso wie A und B hier in der Schnittbildung. Das heißt also, es können nur zwei Ereignisse voneinander unabhängig sein. Und das ist immer symmetrisch, also wenn A von B unabhängig ist, dann ist auch B von A unabhängig. Und das macht diese Gleichung eben etwas besser deutlich als die anderen Beiden. Allerdings, wenn man das so jetzt zum ersten Mal sieht, also nur diese Gleichungen und da steht dann dabei, dass es sich hier um die stochastische Unabhängigkeit handelt, dann kann man schon den Eindruck haben, dass das doch eigentlich mit Unabhängigkeit gar nichts zu tun hat. Ja, das ist durchaus richtig. Das, was hier steht, ist zwar mathematisch korrekt, ist aber intuitiv vielleicht nicht so gut nachvollziehbar, man sieht nicht genau, wo da die Bedingung dabei ist. Aber ich glaube, wenn man sich vor Augen hält, dass ja das, was hier steht, ja letzten Endes das Gleiche ist wie das, was hier steht, dann sollte das kein Problem sein. Dann kann man das hier auch als Definition anerkennen. Kleine Anmerkung noch dazu: Es geht hier nicht um die stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsversuche. Auch das kann man definieren. Hier geht es aber um die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse. Es geht auch, dass man die stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen definiert. Auch hier geht es nicht darum. Es geht nicht um die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen, sondern um die Unabhängigkeit zweier Ereignisse ein und desselben Zufallsversuchs. Noch eine Anmerkung: Wenn du das in der Literatur nachliest, wirst du feststellen, dass häufig als erstes Beispiel dann ein Zufallsversuch kommt, der aus zwei Teilen besteht, und es werden zwei Ereignisse definiert, die sich auf die jeweiligen Teile des Zufallsversuchs beziehen. Das verstärkt meiner Meinung nach die Ansicht, dass die Unabhängigkeit zweier Ereignisse etwas mit zwei verschiedenen Vorgängen zu tun haben, quasi mit zwei Zufallsversuchen, mit zwei Aktionen, die durchgeführt werden, die zeitlich nacheinander erfolgen oder die kausal voneinander abhängig sind. In aller Deutlichkeit möchte ich das hier sagen, das ist nicht der Fall. Es kann natürlich passieren, dass wir einen Zufallsversuch haben, der aus zwei Teilen besteht, und wir können auch Ereignisse definieren, die sich auf die jeweiligen Teile beziehen. Das muss aber nicht so sein. Es geht letzten Endes um einen einzigen Zufallsversuch, und wir haben einfach zwei Mengen von Ergebnissen, mit A und B bezeichnet, und die können voneinander unabhängig sein, ohne dass zwei verschiedene Aktionen in Erscheinung treten. Ja, soweit, so gut. Das ist der formale Teil mit Anmerkungen. Beispiele und so was kommen im nächsten Film. Bis dann. Tschüss.