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Winkel im Bogenmaß – Erklärung

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Ø 4.0 / 9 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Winkel im Bogenmaß – Erklärung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Winkel im Bogenmaß – Erklärung

Heute wollen wir einmal ein weniger beliebtes Thema besprechen. Dieses Gebiet in der Mathematik wird allerdings zu Unrecht gehasst, denn es ist relativ einfach. Ich möchte dir den Winkel im Bogenmaß vorstellen. Im Video werde ich dich auf anschauliche Weise an das Thema heranführen. Dazu trage ich den Radius eines Kreises auf einem Papierstreifen ab. kannst Du Dir ganz einfach Winkel im Bogenmaß vorstellen. Dabei werden wir gemeinsam entdecken, in welchem Zusammenhang eigentlich der Radius zum Winkel steht. Weiter geht es dann im Video „Winkel im Bogenmaß als Vielfache von Pi “.

Transkript Winkel im Bogenmaß – Erklärung

Hallo Kommen wir zu einem viel gehassten Gebiet in der Mathematik, und zwar winkelmessen im Bogenmaß. Dieses Gebiet in der Mathematik wird zu unrecht gehasst, denn es ist ja relativ einfach. Und zwar kannst Du Dir Folgendes vorstellen, hier ist nochmal die Kreisumfangsformel, nochmal zur Erinnerung, der Umfang ist 2 × Pi × r, also das 2 mal Pi-fache des Radius. Und ich habe hier, weil das 2 mal Pi-fache ungefähr 6,28 ist, habe ich hier 1,2,3,4,5,6,28 mal den Radius dieses Kreises hier eingetragen und Du siehst es geht dann einmal ganz herum, das 6,28-fache führt ganz herum. Hier der Beweis. Also das brauchen wir jetzt nicht mehr. Du kannst dir ja auch folgendes Vorstellen: Was passiert wenn man den Radius nicht 6,28 mal um den Kreis herum legt, sondern nur 1 mal. Dann kommt man von diesem Anfangspunkt aus gesehen, habe ich da mal einfach so festgelegt, dann komme ich bis hier hin. Das kann ich mal hier durch diesen roten Balken eintragen. Ja Mensch, da ist ja ein Winkel entstanden! Das ist ein Winkel und dieser Winkel gehört zu dem Kreisbogen, der so lange ist wie der Radius hier. Das ist der Winkel dazu. Ich mess den jetzt mal wacker nach. Der Winkel ist ca 57,3 Grad. Ich habe das heimlich nachgerechnet. Also egal, wenn man den Radius jetzt einmal hier am Kreis entlang legt, dann kommt man zu einem Winkel, der ungefähr 57,3 Grad ist. Das möchte ich jetzt mal eben aufschreiben, 57,3 Grad, das entspricht der Kreisbogenlänge eines Radiusses. Also man kann hier sagen, ich schreib das mal in Klammern, entspricht 1 r, 1 Mal Radius. Ja deshalb ist das so, das gilt ja für alle Kreise, auch für kleinere Kreise. Wenn ich jetzt hier mal den Radius nehme, das ist der Radius, hier habe ich noch einen kleinen Balken vorbereitet. Wenn ich diesen Radius jetzt 1 Mal hier rumlege, bis hier hin, dann komme ich zu diesem Winkel. Zu dem da. Wenn Du das jetzt mal vergleichst, also die sehen genauso groß aus. Also wenn man den Radius in diesem kleinen Kreis hier auch einmal hier entlang legt, dann kommt man zu dem gleichen Winkel. Deshalb geht es nur darum wie oft passt in diesen Kreisbogen der Radius hinein, nicht wie lange ist der Kreisbogen tatsächlich, wie viele Zentimeter sind das. Was ich jetzt noch machen kann, zum Beispiel, ich gucke mir mal an, was passiert, wenn ich diesen Kreisbogen, ist, es überhaupt richtig, wenn ich diesen Papierstreifen mit 2 Mal dem Radius hier drum herum lege, dann komme ich bis hier hin. Was erwartest Du, wie groß der Winkel ist? Ja, wahrscheinlich das Doppelte dieses Winkels hier und das ist, ich brauche es schon gar nicht mehr nachmessen, mache es aber trotzdem, das kommt auch ungefähr hin, 114,6 Grad. Das heißt entspricht ungefähr, das ist nicht ganz exakt, also 114,6 Grad ist ungefähr das 2-fache des Radius, das schreibe ich hier noch mal hin, entspricht 2r. Und so kann das jetzt munter weitergehen. Ich kann auch hier das 3-fache des Radius nehmen, da müsste ich dann fast zur Hälfte rum kommen, nicht wahr, das ist bis hier, das ist das 3-fache des Radius. Das ist dann 171,9 Grad, also fast die 180 Grad. Ich schreib das auch noch mal eben auf hier, 171,9 Grad ist ungefähr, entspricht also der 3-fachen Radiuslänge. Ja und so geht das immer weiter. Hier ist dann die 4-fache, 5-fache, 6-fache und dann bin ich ganz rum, Radiuslänge. Das bedeutet also, immer wenn wir einen Kreisbogen haben, einen bestimmten, dann können wir uns überlegen, wie oft passt der Radius in diesen Kreisbogen und entsprechend bekommen wir dann einen Winkel dazu. Zu jedem Winkel, den ich mir hier irgendwie ausdenken kann, das mache ich mal in Rot, also ich nehme mir irgendeinen Winkel, den zum Beispiel, hier diesen roten Winkel, der interessiert mich. Und wenn ich diesen roten Winkel eingezeichnet habe, dann gibt es dazu auch eine Länge des Kreisbogens. Ich kann dann sagen, das ist ungefähr das 2,15-fache des Radius, also mehr als das Doppelte des Radius. Das ist dieser Kreisbogen hier, der da drum führt. Ja und so haben wir also die Winkelmessung im Bogenmaß. Ich kann die Winkel immer in Grad angeben, oder ich kann sagen, wie oft der Radius in den entsprechenden Kreisbogen reinpasst. Das ist alles. Bis bald. Tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Gute Erklärung !

    Von Yoon Sojina, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Ananya,
    du kannst die Geschwindigkeit unserer Videos selbst anpassen. Dafür klickst du einfach auf das kleine Tacho-Symbol unten rechts im Videofenster.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Jonas D., vor fast 2 Jahren
  3. zu schnell

    Von Ananya, vor fast 2 Jahren
  4. Hat mir persönlich sehr weiter geholfen

    Von Klara 5, vor fast 6 Jahren
  5. @Milch: Wäre die Sachlage anders, als ich sie erklärt habe, hätte ich sie anders erklärt.

    Von Martin Wabnik, vor fast 8 Jahren
Mehr Kommentare

Winkel im Bogenmaß – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkel im Bogenmaß – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Bogenmaß.

    Tipps

    Wenn man einmal um den gesamten Kreis geht (dies ist der Umfang), erhält man den sogenannten Vollwinkel $360~^\circ$.

    Die Fläche eines Kreises ist $A=\pi~r^2$.

    Lösung

    Betrachten wir das Bogenmaß näher. Wenn man einen Kreis betrachtet mit dem Radius $r$, dann ist der zugehörige Umfang gegeben durch die Formel $U=2\pi ~r\approx 6,28 r$.

    Was passiert, wenn man von einem Punkt des Kreisrandes aus nur ein $r$ auf der Kreislinie geht? Es entsteht ein Winkel, welcher zu dem Kreisbogen $r$ gehört.

    Wenn man diesen Winkel misst oder berechnet, erhält man ungefähr $57,3~^\circ$. Dies ist anschaulich hier zu sehen.

  • Ermittle jeweils den zugehörigen Winkel.

    Tipps

    Dieses Bild zeigt den Winkel zu dem Bogen der Länge $r$.

    Überlege dir, wie der Winkel sich verändert, wenn du noch einmal die Strecke $r$ auf der Kreislinie gehst.

    Da ein Bogen der Länge „einmal $r$“ dem Winkel $57,3^\circ$ entspricht, entspricht ein Bogen der Länge „zweimal $r$“ dem doppelten des obigen Winkels.

    Das Verhältnis von Bogen zu Winkel ist proportional.

    Lösung

    Zu dem gesamten Umfang eines Kreises $U=2\pi~r$ gehört der gesamte Winkel $360~^\circ$.

    Da $\pi$ mit $3,14$ approximiert werden kann, erhalten wir $2\pi~r\approx 6,28r$.

    Was passiert, wenn man von einem gewissen Punkt des Kreisrandes aus

    • einmal die Strecke $r$ auf der Kreislinie abträgt,
    • zweimal $r$ abträgt oder gar
    • dreimal $r$ abträgt?
    Unter „Abtragen“ versteht man, die Strecke „zu gehen“.

    In dieser Skizze ist dies für „einmal $r$“ zu sehen. Der entsprechende Winkel beträgt $57,3^\circ$. Wenn man von dort aus noch einmal $r$ geht, also insgesamt „zweimal $r$“, kommt der gleiche Winkel also dazu: Also entspricht $2r$ gerade dem Winkel $2\cdot 57,3^\circ=114,6^\circ$.

    Ebenso kann man argumentieren, dass $3r$ dem Winkel $3\cdot 57,3^\circ=171,9^\circ$ entspricht.

  • Ermittle den jeweils zugehörigen Winkel.

    Tipps

    Wenn „einmal der Radius“ als Bogenmaß dem Winkel $57,3^\circ$ entspricht und „zweimal der Radius“ dem Winkel $2\cdot 57,3^\circ$, kann man daraus eine allgemeine Regel ableiten.

    Das Verhältnis des Bogenmaßes zu dem entsprechenden Winkel ist proportional.

    Zum Beispiel führt der sechsfache Radius zu dem Sechsfachen des Winkels $57,3^\circ$, also zu $6\cdot 57,3^\circ=343,8^\circ$.

    Lösung

    Wir wiederholen nochmals, was wir in der vorigen Aufgabe gelernt haben:

    Zu dem gesamten Umfang eines Kreises $U=2\pi~r$ gehört der Vollwinkel $360~^\circ$.

    Es gilt also $2\pi~r\approx 6,28r$. Das bedeutet zu dem $6,28$-fachen des Radius' gehört in etwa der Winkel $360^\circ$.

    Wie sieht das mit anderen Vielfachen von $r$ aus?

    • „einmal $r$“ entspricht $57,3^\circ$
    • „zweimal $r$“ entspricht $114,6^\circ$
    • „dreimal $r$“ entspricht $171,9^\circ$
    Das bedeutet, dass der Winkel $57,3^\circ$ ebenso oft mit einem Vielfachen multipliziert wird wie der Radius. Das Verhältnis des Bogens zu dem zugehörigen Winkel ist also proportional.
    • Ein Bogen der halben Länge $r$ entspricht dann dem Winkel $\frac12\cdot 57,3^\circ=28,65^\circ$.
    • Ist der Bogen eineinhalbmal so lang wie der Radius, entspricht dies dem Winkel $1,5\cdot 57,3^\circ=85,95^\circ$.
    • Ist der Bogen viermal so lang wie der Radius, entspricht dies dem Winkel $4\cdot 57,3^\circ=229,2^\circ$.
    • Ist der Bogen fünfmal so lang wie der Radius, entspricht dies dem Winkel $5\cdot 57,3^\circ=286,5^\circ$.

  • Ermittle das Vielfache von $r$ zu dem gegebenen Winkel.

    Tipps

    Wenn $57,3^\circ$ einmal $r$ entspricht, dann entspricht das Doppelte dieses Winkels dem Doppelten von $r$.

    Je größer der Winkel wird, desto größer wird der zugehörige Bogen.

    Diese Beziehung ist proportional.

    Wenn du den größeren Winkel durch den kleineren dividierst, erhältst du das gleiche Ergebnis wie bei der Division des größeren Bogens durch den kleineren.

    Lösung

    Da bekannt ist, dass zu einem Bogen, welcher die Länge des Radius hat, der Winkel $57,3^\circ$ gehört, kann man zu jedem beliebigen Vielfachen des Radius auch den zugehörigen Winkel berechnen.

    Wie kann man nun umgekehrt bei gegebenem Winkel berechnen, wie groß der entsprechende Bogen ist? Oder anders ausgedrückt: Wie lautet der Faktor des Radius zu diesem Winkel.

    Wie in den vorigen Aufgaben bereits gezeigt wurde, ist das Verhältnis Bogen zu Winkel proportional. Das bedeutet: In dem Maße, in dem der Bogen (Winkel) verändert wird, in dem Maße verändert sich auch der Winkel (Bogen).

    Wenn man also den Winkel $110^\circ$ durch den zu dem Radius $r$ gehörenden Winkel $57,3^\circ$ dividiert, erhält man diesen Faktor:

    $\frac{110^\circ}{57,3^\circ}\approx 1,92$.

    Also entspricht der Winkel $110^\circ$ einem Bogen, welcher als Länge das $1,92$-fache des Radius hat.

  • Gib die Formel zur Umfangberechnung eines Kreises an.

    Tipps

    Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Umfang $4a$ und ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ den Umfang $2(a+b)$.

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet

    $A=\pi r^2$.

    $\pi$ ist dabei die Kreiszahl.

    In der Formel kommen $\pi$ und $r$ vor.

    Lösung

    Um Winkel im Bogenmaß darzustellen, benötigt man den Umfang eines Kreises.

    Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch die Formel $U=2\pi~r$.

    Dabei ist $\pi$ die Kreiszahl und es ist

    $\pi=3,141592....$.

    Auch die übrigen Formeln sind Formeln für den Umfang:

    • Quadrat: $U=4a$
    • Rechteck: $U=2(a+b)$
    • Dreieck: $U=a+b+c$
    • regelmäßiges Fünfeck: $U=5a$
    • regelmäßiges Sechseck: $U=6a$.
    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Seitenlängen. Diese sind in den obigen Antwortmöglichkeiten jeweils einmal durch $r$ ersetzt worden.

  • Leite eine Formel zur Berechnung des Winkels bei gegebenem Bogenmaß her.

    Tipps

    Ebenso oft wie der Winkel $\alpha$ in $360^\circ$ passt, so oft passt der zugehörige Bogen in den gesamten Umfang.

    Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch die Formel $U=2\pi~r$.

    Lösung

    Wenn man weiß, dass dem Winkel $360^\circ$ des gesamten Kreises das $2\pi\approx 6,28$-fache des Radius entspricht, kann man sich auch überlegen, welcher Winkel dem Radius entspricht.

    Dafür kann man auf dem Kreisrand den Radius abtragen und erhält einen Winkel. Diesen Winkel kann man messen. In der Mathematik ist das Messen von Größen nicht die beste Lösung, da dadurch teilweise recht große Ungenauigkeiten auftreten können.

    Man kann diesen Winkel allerdings auch berechnen. Nur wie?

    Zurück zum Anfang: Dem Vollwinkel $360^\circ$ entspricht der gesamte Umfang $U=2\pi~r$.

    Man kann sich auch klarmachen, dass zu der Hälfte von $360^\circ$, also $180^\circ$, die Hälfte des Umfangs gehört: $\pi~r$.

    Dies kann man auch verallgemeinern. Es gilt das folgende Verhältnis

    $\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac b{2\pi ~r}$.

    Das bedeutet: Ebenso oft wie der Winkel in den gesamten Winkel passt, so oft passt der zugehörige Bogen in den gesamten Umfang.

    Diese Gleichung kann nun umgeformt werden, um bei gegebenem Bogen den Winkel zu berechnen. Hierfür wird mit $360^\circ$ multipliziert:

    $\alpha=\frac b{2\pi ~r}\cdot 360^\circ$.

    Diese Formel kann zum Beispiel für einen Bogen der Länge $r$ geprüft werden:

    $\alpha=\frac r{2\pi ~r}\cdot 360^\circ\approx 57,3^\circ$ $~~~~$✓

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