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Zufall und Zufallsexperiment

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Martin Wabnik
Zufall und Zufallsexperiment
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse - Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Beschreibung Zufall und Zufallsexperiment

Wenn man sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen möchte, sollte man zuerst klären, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit ist. In der Mathematik werden diese Begriffe ganz genau festgelegt, das heißt, sie werden definiert. Zieht man z.B. eine Karte aus vier verdeckten Karten, entscheidet man sich ohne Wissen für eine dieser Karten. Definition: Eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung. Der gesamte Vorgang, bei dem eine zufällige Entscheidung stattfindet, hat einen besonderen Namen. Definition: Ein Zufallsversuch (Zufallsexperiment) ist ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung. Die beiden Begriffe "Zufallsversuch" und "Zufallsexperiment" bedeuten übrigens genau das gleiche. Wie beim Rechnen hat auch ein Zufallsversuch ein Ergebnis. Das ist das, was bei dem Zufallsversuch "herauskommt". Definition: Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand eines Zufallsversuchs. Fasst man Dinge zu einer Gesamtheit zusammen, hat das in der Mathematik einen besonderen Namen: Es ist eine Menge. Definition: Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs. Wenn wir genau verstanden haben, was Zufall ist, können wir später die "Wahrscheinlichkeit" sehr einfach definieren.

Transkript Zufall und Zufallsexperiment

Hallo! In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es um Zufall und um Zufallsversuche und diese Begriffe können wir jetzt mal definieren. Und da wir hoch hinaus wollen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, sollten wir uns diese Begriffe sehr gründlich überlegen. Dazu können wir uns mal ein Beispiel anschauen. Hier sind vier Karten. Wir haben Herz-Ass, Karo Bube, Kreuz Bube und Pik Bube. Die Karten kann ich jetzt umdrehen und mischen. Und wenn ich nicht mehr weiß, wo welche Karte ist, kann ich die wieder vor mich hinlegen, verdeckt natürlich. Angenommen, ich wollte jetzt das Ass ziehen, dann müsste ich mich für eine dieser Karten entscheiden. Da ich aber nicht weiß, wo das Ass ist, kann ich mich nur ohne Wissen entscheiden. Und eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung. Ja, welche könnte ich mal nehmen? Ich nehme mal die hier. Naja, ich habe das Ass nicht bekommen. Und das ist auch schon unser erster Begriff. Eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung. Unser nächster Begriff ist der Zufallsversuch oder auch das Zufallsexperiment. Beide Begriffe bedeuten genau das Gleiche. Und vielleicht kennst Du Experimente und Versuche aus anderen Wissenschaften, aus der Physik oder aus der Chemie. Da bedeuten die aber ein bisschen was Anderes als hier in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung. Das bedeutet, am Beispiel dieser Karten: Wir haben ja diese Karten hier, wir haben die Karten gemischt, das gehört auch zum Zufallsversuch, das Hinlegen der Karten gehört auch mit zum Zufallsversuch und dann diese zufällige Entscheidung. Oh, das ist schon wieder Pik Bube an der Stelle. War jetzt von mir nicht beabsichtigt. Also, diese zufällige Entscheidung kommt am Schluss und alles zusammen ist der Zufallsversuch oder das Zufallsexperiment. Wenn man einen Zufallsversuch durchführt, dann kommt, wie man umgangssprachlich so sagt, dabei etwas heraus. Nämlich ein Ergebnis. Das ist ähnlich wie beim Rechnen, da kommt auch ein Ergebnis heraus. Beim Kartenziehen ist eine aufgedeckte Karte ein Ergebnis. Hier haben wir zum Beispiel Kreuz Bube, das ist ein Ergebnis. Und hier haben wir Pik Bube, auch ein Ergebnis. Herz-Ass ist ein Ergebnis und Karo Bube ist auch ein Ergebnis. Wenn ein Ergebnis da ist, dann endet der Zufallsversuch. Das bedeutet, dass sich dann der gesamte Zufallsversuch in einem bestimmten Endzustand befindet. Jetzt zum Beispiel habe ich die Karte gezogen, der Zufallsversuch endet hier und der Endzustand ist Kreuz Bube. Das kann ich nochmal machen, dann bekommen wir wieder einen Endzustand. Jetzt ziehe ich diese Karte und der Endzustand dieses Zufallsversuchs ist nun Herz-Ass. Und das ist auch schon unsere Definition des Begriffs Ergebnis. Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand eines Zufallsversuchs. Kommen wir zum letzten Begriff in diesem Zusammenhang, nämlich Ergebnismenge. Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs. Menge kann man sich hier vorstellen nicht im Sinne von „Viele“, sondern eher im Sinne von „Gesamtheit“. Das heißt, wenn man alle Ergebnisse eines Zufallsversuchs in einen Topf schmeißt, hat man die Gesamtheit der Ergebnisse und das ist die Ergebnismenge. Dazu sagt man auch Grundmenge. Grundmenge und Ergebnismenge bedeuten genau das Gleiche. Hier in unserem Kartenexperiment besteht die Ergebnismenge aus Herz-Ass, Kreuz Bube, Pik Bube und Karo Bube. Also, die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs ist die Menge aller Ergebnisse. Das war es zu den Begriffen in diesem Zusammenhang. Eine kleine Anmerkung noch zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie ist entstanden aufgrund von Glücksspielen. Wir könnten auch so ein Glücksspiel vereinbaren. Das sieht dann so aus zum Beispiel: Ich schenke Dir einen Euro und darf dann hinterher die Karten ziehen. Und wir könnten vereinbaren, dass, wenn ich jetzt Herz-Ass ziehe, zum Beispiel, dann kriege ich von Dir vier Euro zurück. Oder etwas anderes, vier Bananen, ist ja egal. Wenn ich nicht Herz-Ass ziehe, dann ist der Euro für Dich, den habe ich dann verloren. Karten sind gemischt, ich möchte gerne ziehen. Es ist Herz-Ass, ich habe gewonnen. Danke. Viel Spaß damit. Tschüss!

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. SUPER ERKLÄRKT ! :)

    Von Stanze79, vor mehr als einem Jahr
  2. gutes tutoriel

    Von Diabolovader 1, vor mehr als einem Jahr
  3. Ganz gut

    Von Mberner, vor mehr als 3 Jahren
  4. mein Lieblings Tutor

    Von Sharmila S., vor mehr als 3 Jahren
  5. Gut erklärt

    Von Raura, vor mehr als 3 Jahren
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Zufall und Zufallsexperiment Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufall und Zufallsexperiment kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Tipps

    Wenn wir eine Münze werfen wollen, müssen wir uns entscheiden, wie wir werfen wollen. Da wir aber nicht so werfen können, dass am Ende eine bestimmte Seite oben liegen wird, ist es eine zufällige Entscheidung.

    Ergebnisse gibt es nicht nur beim Rechnen. Führen wir den Zufallsversuch „Münze werfen“ aus, können die Ergebnisse z.B. „Zahl“ oder „Kopf“ sein, je nachdem, auf welcher Seite die Münze liegen bleibt.

    Das Wort „Menge“ wird hier nicht im Sinne von „viel“ verwendet, sondern eine Menge ist mathematisch gesehen eine Zusammenfassung von Dingen zu einer Einheit.

    Lösung

    Die Begriffe, nach denen gefragt ist, haben eine logische Reihenfolge. Zunächst ist nach einer zufälligen Entscheidung gefragt. Das Erlebnis, sich entscheiden zu müssen, ohne den Verstand um Rat fragen zu können – sich also ohne Wissen entscheiden zu müssen – ist ein Urerlebnis, das am Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung steht.

    Wenn man weiß (und erlebt hat), was zufällige Entscheidungen sind, kann man die Vorgänge mit zufälligen Entscheidungen mit einem Fachbegriff bezeichnen: Es sind Zufallsversuche oder Zufallsexperimente – beides bedeutet genau das gleiche.

    Nun kann man noch genauer sagen, was bei allen Zufallsversuchen immer passiert, wenn sie durchgeführt werden: Irgendwann tritt ein Endzustand ein und der Zufallsversuch ist beendet. Solche möglichen Endzustände heißen Ergebnisse.

    Um Zufallsversuche zu verstehen, ergibt es oftmals Sinn, alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs zu kennen. Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge zusammengefasst.

  • Gib an, welche Fachbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben werden.

    Tipps

    Vielleicht passen auch mal zwei Begriffe zu einer Beschreibung, aber es gibt immer einen Begriff, der viel besser passt als alle anderen.

    Wenn du einen Begriff nicht eindeutig zuordnen kannst, kannst du erst die Begriffe bearbeiten, die du sicher zuordnen kannst. Die Auswahl unter den verbleibenden Begriffen wird dann vermutlich einfacher.

    Lösung

    Wenn ein Kartenspiel gemischt wird, die Karten mit den Bildseiten nach unten hingelegt werden und danach eine Karte gezogen wird, dann wird ein Zufallsexperiment durchgeführt.

    Wird ein solches Zufallsexperiment mit einem Skatkartenspiel durchgeführt, kann man eindeutig alle Karten aufzählen, die gezogen werden können. Eine solche Aufzählung ist eine Ergebnismenge.

    Ist eine bestimmte Karte aufgedeckt (z.B. Kreuz Bube), so ist diese Karte das bei dieser Durchführung des Zufallsexperiments eingetretene Ergebnis.

    Liegen die Karten mit den Bildseiten nach unten auf dem Tisch und möchte man sich für eine Karte entscheiden, so hat man die Entscheidung zwischen absolut gleichwertigen Möglichkeiten. Eine solche Entscheidung kann dann nur zufällig getroffen werden.

  • Prüfe die Beschreibungen

    Tipps

    Entscheidet man sich zwischen mehreren Möglichkeiten, ohne zu wissen, was hinter diesen Möglichkeiten steckt, kann man sich nur ohne Wissen entscheiden.

    In der Umgangssprache wenden wir Begriffe wie „Zufall“ und „zufällig“ auch auf Situationen an, die mit der mathematischen Definition gar nichts zu tun haben.

    Eine Ergebnismenge gibt unter anderem an, was uns an einem Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung interessiert. Sinnvollerweise wissen wir das, bevor wir den Versuch durchführen.

    Lösung

    Entscheidend für die mathematische Definition einer zufälligen Entscheidung ist, dass wir überhaupt keine Möglichkeit haben, die Entscheidung durch irgendein Wissen zu beeinflussen. Diese Bedingung liegt dann vor, wenn wir z. B. die Entscheidungsmöglichkeiten $1$, $2$ und $3$ haben, aber nicht wissen, was dahinter steckt.

    Führt man z. B. ein Unternehmen, hat man täglich Entscheidungen zwischen sehr vielen Auswahlmöglichkeiten zu treffen, deren Konsequenzen man erst in der Zukunft sieht. Trotzdem sind diese Entscheidungen (hoffentlich) nicht zufällig, sondern durch tiefgehendes Fachwissen und große Erfahrung begründet.

    Treffen wir unabsichtlich eine Person, die wir lange nicht gesehen haben, sagen wir vielleicht: „Mensch, was für ein Zufall.“ Das mag in der Alltagssprache sinnvoll sein, hat aber mit dem mathematischen Begriff der Zufälligkeit nichts zu tun.

    Ziehen wir eine Karte aus einem verdeckt liegenden Skat-Kartenspiel, ist das ein Zufallsversuch. Alle Karten eines Skat-Kartenspiels haben eine der Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo. Möchte man auf die Farbe achten, bilden diese vier Begriffe die Ergebnismenge. Jede Karte hat aber auch eine der Bezeichnungen Sieben, Acht, Neun, Zehn, Bube, Dame König, Ass. Möchte man auf diese Bezeichnungen achten, bilden diese acht Begriffe die Ergebnismenge. Es gibt also Vorgänge mit zufälligen Entscheidungen, zu denen mehrere Ergebnismengen sinnvoll angelegt werden können. Die Ergebnismenge legt man vor der Durchführung eines Zufallsversuchs fest.

  • Ordne dem Ziehen von Kugeln aus einem Beutel die passenden Begriffe zu.

    Tipps

    Die Ergebnismenge beinhaltet alle möglichen Ergebnisse.

    Das Ziehen einer Kugel geschieht in diesem Fall zufällig.

    Nachdem ein Zufallsversuch / Experiment durchgeführt wurde, steht das Ergebnis fest. Dieses Ergebnis ist Teil der Ergebnismenge.

    Lösung

    Wenn ich eine Kugel aus dem Sack ziehe ohne hinzugucken, weiß ich nicht, welche Zahl auf der Kugel steht und daher entscheide ich mich ohne Wissen für eine Kugel. Deswegen ist dies eine zufällige Entscheidung. Wenn ich nun eine bestimmte Kugel, in diesem Fall die Kugel mit der Zahl $3$, gezogen habe, ist diese Kugel der Endzustand des Versuchs und deswegen mein Ergebnis. Alle Kugeln, die ich ziehen könnte, ergeben somit die Ergebnismenge. Da dieser gesamte Versuch des Ziehens von Kugeln auf zufälligen Entscheidungen beruht, handelt es sich um einen Zufallsversuch oder ein Zufallsexperiment.

  • Gib die möglichen Ergebnisse an.

    Tipps

    Ein Zufallsversuch muss mindestens zwei verschiedene Ergebnisse haben. Wird ein Zufallsversuch durchgeführt, kann aber nur ein einziges Ergebnis eintreten.

    Die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Diese Menge kann aber kein Ergebnis des Zufallsversuchs sein.

    Was ein Ergebnis eines Zufallsversuchs sein soll, muss normalerweise festgelegt werden und ergibt sich nicht aus dem Zufallsversuch.

    Lösung

    Besteht ein Zufallsversuch aus dem einmaligen Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, können nicht mehrere Kugeln – wie z.B. zwei gelbe Kugeln oder „eine rote, eine gelbe und eine grüne Kugel“ – Ergebnisse des Zufallsversuchs sein.

    Die Ergebnismenge besteht aus $3$ roten, $2$ grünen und $4$ gelben Kugeln. Da ein Zufallsversuch mindestens zwei unterschiedliche Ergebnisse haben muss, kann die Ergebnismenge grundsätzlich kein Ergebnis eines Zufallsversuchs sein.

    Die Kugeln, die gezogen werden können, haben Nummern. Deshalb können die Kugel mit der Nummer $1$ und auch die gelbe Kugel mit der Nummer $7$ Ergebnisse sein.

    Möchte man nicht auf die Nummern, sondern nur auf die Farben achten, kann auch eine gelbe Kugel ein Ergebnis dieses Zufallsversuchs sein. Hieran kann man sehen, wie die Ergebnisse eines Zufallsversuchs nicht nur durch den Zufallsversuch selbst bestimmt sind, sondern wir Menschen, die einen Zufallsversuch durchführen, müssen angeben, was uns an diesem Versuch interessiert, um eine Ergebnismenge zu erhalten. In diesem Fall kann die Ergebnismenge gleich $\{1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\, 6;\, 7;\, 8;\, 9\}$ oder gleich $\{\text{rot; grün; gelb}\}$ sein.

  • Entscheide, ob es ein Zufallsversuch ist

    Tipps

    Wir gehen davon aus, dass Menschen nicht zufällig handeln und es einen trifftigen Grund gibt, wenn sie etwas tun.

    Auch wenn es real keine acht Läufer geben kann, die exakt gleich stark sind, so kann man sich doch – wie in der Mathematik üblich – eine idealisierte Situation vorstellen, in der die theoretischen Läufer theoretisch gleich stark sind.

    Wenn ein Spielwürfel geworfen wird, gehen wir immer von einem „richtigen“ Werfen aus, d. h.: Der Würfel wird nicht mit List und Tücke auf den Tisch gelegt, sondern so geworfen, dass die Vorhersage der oben liegenden Augenzahl nicht möglich ist.

    Lösung

    Es ist üblich, vor Bundestagswahlen Umfragen durchzuführen und Menschen nach ihrem Wahlverhalten zu befragen. Wird eine ausgewählte Person gefragt, ob sie die Partei „Soma für alle“ wählen wird, ist die Antwort keine zufällige, sondern Resultat eines individuellen Meinungsbildungsprozesses.

    Um eine aussagekräftige Meinungsumfrage durchzuführen, sollte die Auswahl der befragten Personen aber zufällig sein.

    Praktisch kann es keine acht exakt gleich starken Läufer geben, allein schon deshalb, weil das gar nicht so genau messbar ist. Aber theoretisch können wir uns acht exakt gleich starke Läufer vorstellen. Dann kommen alle aber auch exakt zum gleichen Zeitpunkt ins Ziel und der Wettlauf ist kein Zufallsversuch.

    Werfen wir einen Spielwürfel wie gewohnt so, dass wir die später oben liegende Augenzahl nicht vorausberechnen können, ist das ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung, denn wir entscheiden uns für einen bestimmten Wurf, ohne zu wissen, wie er ausgeht. Also ist es ein Zufallsversuch.

    Das willkürliche Werfen einer Nadel auf eine Ebene mit parallelen Linien ist ein Zufallsversuch, da wir uns auch hier für einen bestimmten Wurf entscheiden, ohne zu wissen, ob die Nadel später eine Linie schneiden wird oder nicht.

    Dieser Versuch ist übrigens ein sehr berühmter Zufallsversuch und heißt „Buffonsches Nadelproblem“. Es gibt mehrere sich widersprechende Ansätze, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Solche Paradoxa sind in der Mathematik häufig sehr fruchtbar. In diesem Fall führten die Überlegungen zu einem neuen Zweig der Geometrie, nämlich zur Integralgeometrie.

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