Zufallsexperimente und Ereignisse

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Zufallsversuch?
• Beispiele für Zufallsexperimente
  • Würfeln:
  • Karten ziehen:
  • Roulette:
  • Lotto:
  • Ziehen von Losen:
  • Spielautomaten:
  • Sportwettkämpfe:
• Was ist ein Ereignis?
• Wie ist eine Wahrscheinlichkeit definiert?
• Der Schnitt von Ereignissen
• Die Vereinigung von Ereignissen
  • Die Summenregel
  • Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Was ist ein Zufallsversuch?

Eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung.

Als Zufallsversuch beziehungsweise Zufallsexperiment bezeichnen wir einen Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung.

Das, was dabei herauskommt, ist ein Ergebnis. Dieses können wir als möglichen Endzustand eines Zufallsversuchs betrachten. Die Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs.

Definition:

Ein Vorgang ist ein Zufallsversuch, wenn

• mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
• er beliebig oft wiederholt werden kann und
• die Ergebnisse nicht vorhersehbar sind.

Es gibt Zufallsversuche, die nur einmal durchgeführt werden und solche, die wiederholt werden.

Wir sprechen dann von einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Eine Münze wird einmal geworfen. Die möglichen Ergebnisse sind Kopf oder Zahl.

Aus einer Urne wird mehrmals hintereinander eine Kugel gezogen. Welche Farbe als nächstes kommt, ist absolut zufällig.

Beispiele für Zufallsexperimente

Mit Zufallsexperimenten verbindet man in erster Linie Glücksspiele. Die Ergebnisse kommen durch zufällige Entscheidungen zustande und sind daher nicht vorhersehbar.

Dies trifft sowohl auf den Münzwurf als auch auf das Urnenexperiment zu, da man nicht weiß, wie man werfen beziehungsweise ziehen muss, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Im Folgenden sind weitere Beispiele für Glücksspiele aufgeführt:

Würfeln:

Jede der sechs Augenzahlen aus der Ergebnismenge kann gewürfelt werden. Welche diese ist, hängt vom Zufall ab.

Karten ziehen:

Wenn aus drei Karten zufällig eine gezogen wird, ist nicht vorhersehbar, welche diese sein wird.

Roulette:

Bei diesem bekannten Glücksspiel wird eine Kugel geworfen, die sich solange dreht, bis sie auf einem der Felder mit den Zahlen von $1$ bis $36$ oder $0$ oder $00$ landet. Auch hier ist das Ergebnis nicht vorhersagbar.

Lotto:

Das Ziehen der Lottozahlen hängt davon ab, welche sechs der $49$ Kugeln zufällig von der Maschine gezogen werden. Das Prinzip entspricht dem der Urne.

Ziehen von Losen:

Da vor dem Ziehen nicht ersichtlich ist, welche Lose Gewinne und welche Nieten darstellen, handelt es sich auch hier um einen Zufallsversuch.

Aber auch in anderen Bereichen spielen Zufallsversuche eine wichtige Rolle: In Meinungsumfragen werden zufällig Leute ausgewählt, die zufällige Antworten geben. Bei der Vererbung kommt eine zufällige Kombination von Genen zustande, die man nicht beeinflussen kann.

Es gibt auch Zufallsversuche, die nicht ganz eindeutig erscheinen:

Spielautomaten:

Ist es wirklich zufällig, welche Zahlen oder Symbole als Ergebnis erscheinen? Welcher Mechanismus steckt dahinter?

Sportwettkämpfe:

Wenn alle Sportler bezogen auf ihre Vorleistung gleich gut sind, wovon hängt der Sieg dann ab? Von der Tagesform oder Zufällen im Verlauf des Wettbewerbs?

Was ist ein Ereignis?

Erinnerst du dich noch daran was ein Zufallsexperiment ist? Es ist ein Experiment, dessen Ergebnis du nicht vorhersagen kannst, da es vom Zufall abhängt. So ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das Werfen eines Würfels.

Ein Zufallsexperiment hat verschiedene mögliche Ergebnisse. Beim Würfeln wären es die Augenzahlen von $1$ bis $6$. Alle möglichen Ergebnisse werden zusammengefasst in der Ergebnismenge $\Omega$.

Ein Ereignis ist nun eine Teilmenge aus $\Omega$. Beim Würfeln könnte man das Ereignis, nur gerade Zahlen zu Würfeln, wie folgt definieren:

$E=\{~2;~4;~6\}$.

Spezielle Ereignisse sind:

• Die Ergebnismenge $\Omega$ wird als sicheres Ereignis bezeichnet.
• Die leere Menge $\emptyset$ wird als unmögliches Ereignis bezeichnet.
• Jedes Ereignis, welches nur ein Ergebnis enthält, zum Beispiel $\{3\}$, wird als Elementarereignis bezeichnet.
• Sei $E$ ein Ereignis, dann ist $\overline{E}=\Omega\setminus E$ das Gegenereignis von $E$. In $\overline{E}$ sind also alle Ergebnisse enthalten, welche zwar in $\Omega$, aber nicht in $E$ liegen. Das Gegenereignis wird auch Komplementärereignis genannt.

Wie ist eine Wahrscheinlichkeit definiert?

Einzelnen Ergebnissen können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Für die Ergebnismenge $\Omega=\{e_{1};~...;~e_{n}\}$, wäre dies eine Wahrscheinlichkeitszuordnung $P:~e_{i}~\rightarrow ~P\left(e_{i}\right)$. Allerdings nur, wenn die folgenden beiden Bedingungen zutreffen:

$(1)~~ 0\le P\left(e_{i}\right)\le 1$ für alle $i=1;~...;~n$

• Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $1$ und $0$.

$(2)~~ \sum\limits_{i=1}^n~P(e_{i})=1$

• Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist $1$.

Der Schnitt von Ereignissen

In der Schnittmenge zweier Mengen befinden sich alle Elemente, welche sich in jeder der beiden Mengen befinden.

Ebenso ist dies bei dem Schnitt von Ereignissen.

Schau dir hierfür ein Beispiel an. Wir bleiben bei dem Würfelwurf.

$A$: Die Augenzahl ist gerade. Damit ist $A=\{2;~4;~6\}$.

$B$: Die Augenzahl ist größer als $2$. Somit ist $B=\{3;~4;~5;~6\}$.

Damit erhältst du $A\cap B=\{4;~6\}$.

Die Vereinigung von Ereignissen

In der Vereinigung (oder Vereinigungsmenge) zweier Mengen befinden sich alle Elemente, welche sich in der einen oder der anderen der beiden Mengen befinden.

Wir schauen uns noch einmal das obige Beispiel mit den beiden Ereignissen $A=\{2;~4;~6\}$ und $B=\{3;~4;~5;~6\}$ an. Hier ist $A\cup B=\{2;~3;~4;~5;~6\}$.

Die Summenregel

Du erhältst die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche sich in $E$ befinden, addierst. Dies ist die Summenregel:

$P(E)=P\left(e_{1}\right)+..+P\left(e_{k}\right)$.

Für das Beispiel des Ereignisses $A=\{2;~4;~6\}$ beim Würfelwurf berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Summenregel so:

$P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac36=\frac12$.

Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Ereignisse, dann gilt der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Wir kommen wieder zu dem Beispiel mit dem Würfelwurf und $A=\{2;~4;~6\}$, $B=\{3;~4;~5;~6\}$ sowie $A\cup B=\{2;~3;~4;~5;~6\}$. Es ist:

• $P(A)=\frac36$ und
• $P(B)=\frac46$.
• Du kannst nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten addieren. Warum? $P(A)+P(B)=\frac36+\frac46=\frac76\gt 1$. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht größer als $1$ sein.
• Hier ist $A\cap B=\{4;~6\}$ und damit $P(A\cap B)=\frac26$.
• Wende nun den Additionssatz an: $P(A\cup B)=\frac36+\frac46-\frac26=\frac56$.