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Wurzelrechnung – Exkurs

In vielen Bereichen der Mathematik ist es wichtig, mit unterschiedlichen Wurzelexponenten die Wurzel eines Radikanden ziehen zu können.

Wurzelrechnung

Wie lassen sich Wurzeln definieren? Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt zum Beispiel:

$3\cdot 3 = 3^{2} = 9\quad\leftrightarrow\quad 3= \sqrt[2]{9}$

Allgemein kannst du diesen Zusammenhang wie folgt formulieren:

$x^{n} = a\quad\leftrightarrow\quad x = \sqrt[n]{a}$

Das Ergebnis $x$ des Wurzelziehens nennt man Wurzel (Radix), die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen Radikand und den Exponenten $n$ über der Wurzel Wurzelexponent. Bei $n= 2$ spricht man von einer Quadratwurzel, den Wurzelexponenten lässt man hier weg.

$\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4$

Quadratwurzeln lassen sich nur aus positiven reellen Zahlen ziehen. Für $n\gt 2$ muss man den Wurzelexponenten dazu schreiben. Ist $n = 3$, spricht man von der Kubikwurzel:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Bei ungeraden Wurzelexponenten kann der Radikand auch negativ sein:

$\sqrt[3]{-8} = -2$

Eine kurze Übersicht über die Wurzelgesetze hilft dir beim Rechnen mit Wurzeln:

  • Addition und Subtraktion: $a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x}\cdot (a\pm b)$
  • Multiplikation: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
  • Division: $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
  • Potenzieren: $(\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Es ist möglich, Wurzeln in Potenzen umzuwandeln:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\\ \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

Beispiel: Wurzel- und Exponentenschreibweise

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[5]{a^{10}} = a^{\frac{10}{5}} = a^{2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Setzt man für $a$ Zahlen ein, so erhält man beispielsweise:

$\sqrt{4^{2}} = 4^{\frac{2}{2}} = 4$

$\sqrt[3]{4^{6}} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^{2} = 16$

$a^{0,75} = a^{\frac{75}{100}} = a^{\frac{3}{4}} =\sqrt[4]{a^{3}}$

Beispiel: Wurzelterme zusammenfassen

Addition und Subtraktion

$x\cdot\sqrt{a} + y\cdot\sqrt{a} = (x + y)\cdot\sqrt{a}$

$x\cdot\sqrt{a} - y\cdot\sqrt{a} = (x - y)\cdot\sqrt{a}$

Hierzu anschaulich folgende Zahlenbeispiele:

$3\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{5} = (3 + 2)\cdot\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$6\cdot\sqrt{3} - 3\cdot\sqrt{3} = (6 - 3)\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Multiplikation

Es gilt folgendes Wurzelgesetz zur Multiplikation:

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

Setzt man für $a$ und $b$ wieder Zahlen ein, erhält man beipielsweise:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{7} = \sqrt{2\cdot 7} = \sqrt{14}$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18} = \sqrt{2\cdot 18} = \sqrt{36} = 6$

Division

Das Wurzelgesetz zur Division lautet:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$

Beispiel: Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen in Faktoren kann man aus Nichtquadratzahlen teilweise die Wurzel ziehen, wie an folgenden Aufgaben gezeigt wird:

$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{2\cdot 54} = \sqrt{2\cdot 2\cdot27} = \sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 9} = 2\cdot 3\cdot\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Beispiel: Wurzel im Nenner beseitigen

Durch Umformen lässt sich die Wurzel im Nenner beseitigen:

$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$

$\frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{2\cdot (3\sqrt{2} + 4)}{(3\sqrt{2} - 4)\cdot (3\sqrt{2} + 4)} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{9\cdot 2 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{18 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{2} = \frac{2\cdot (3\cdot \sqrt{2} + 4)}{2} = 3\sqrt{2} + 4$

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