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Arbeit und Energie im elektrischen Feld

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Die Autor*innen
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Robert Worm
Arbeit und Energie im elektrischen Feld
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Arbeit und Energie im elektrischen Feld Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Arbeit und Energie im elektrischen Feld kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Formeln zur Berechnung von Arbeit und Energie im elektrischen Feld.

    Tipps

    F steht für die Kraft und q für die Ladung.

    Mit $W_{pot}$ wird die potentielle Energie beschrieben.

    Mit $\Delta W$ wird die Arbeit bezeichnet. Sie entspricht der Differenz der potentiellen Energien an zwei Orten im elektrischen Feld.

    Lösung

    $\Delta W$ steht für die zu leistende Arbeit um eine Ladung $q$ im elektrischen Feld von $x_1$ zu $x_2$ zu bewegen.

    $F$ beschreibt die Kraft , die auf die Ladung wirkt.

    $\Delta W$ ist die Differenz der potentiellen Energie $W_{pot}$ an den Punkten $x_1$ und $x_2$.

    Im Plattenkondensator gilt:
    $W_{pot}=q\cdot U \cdot \frac{x}{d}$
    und damit
    $\Delta W=W_{pot}(x_2)-W_{pot}(x_1)=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Die Arbeit kann auch über die auf die Ladung wirkende Kraft hergeleitet werden. Es gilt
    $\Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Im Plattenkondensator gilt
    $F=E\cdot q = \frac{U \cdot q}{d}$.

    Da in dieser Formel kein x-Wert enthalten ist, folgt für das Integral direkt der obige Wert für die Arbeit:

    $\Delta W=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Bewegt sich nun eine Ladung $q_2$ im Feld einer Punktladung $q_1$, dann ist dies nicht viel anders.

    Für die Kraft gilt hier:
    $F=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2}$.

    Wird daraus das Integral über r berechnet, ergibt sich die Arbeit.

  • Beschreibe Arbeit und Energie im elektrischen Feld.

    Tipps

    Magnete haben zwei Pole. Was passiert, wenn du gleichnamige oder ungleichnamige Pole nah aneinander hältst? Bei elektrischen Ladungen ist das Prinzip dasselbe.

    Einen Berg runter rutschen geht einfach und fast von alleine. Das liegt an der Erdanziehungskraft, die dich nach unten zieht. Nach oben ist es dagegen ganz schön anstrengend. Wann musst du Arbeit verrichten. Und wie ist das im elektrischen Feld?

    Wenn ein metallischer Gegenstand von einem Magneten angezogen wird, welche Bahn nimmt er dann? Bewegt er sich geradeaus oder in Kurven? Bei Ladungen im elektrischen Feld verhält es sich genauso.

    Lösung

    Zwei gleichnamige Magneten stoßen sich ab.
    Bei den elektrischen Ladungen ist es genauso:
    Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab.
    Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.

    Wenn die Ladung angezogen wird, bewegt sie sich von alleine in Richtung der ungleichnamigen Ladung. Das elektrische Feld verrichtet dann Arbeit an der Ladung.

    Soll die Ladung sich dagegen in die andere Richtung bewegen, das heißt zur gleichnamig geladenen Platte, dann muss Arbeit geleistet werden. Es muss gegen die anziehende Kraft angearbeitet werden.

    Für die geleistete oder zu leistende Arbeit spielt nur der Anfangs- und der Endpunkt eine Rolle. Der Weg ist nicht wichtig.
    Wenn sich eine Ladung im Kreis bewegt, dann startet sie dort, wo sie auch endet. Anfangs- und Endpunkt sind gleich.
    Deswegen ist die verrichtete Arbeit Null.

  • Berechne die Arbeit und die Größe der Ladung im elektrischen Feld eines Plattenkondensators.

    Tipps

    Die Arbeit entspricht der Differenz der potentiellen Energien am Anfang und am Ende der Bewegung.

    Mit der Formel für die potentielle Energie kann man auch die Ladung berechnen. Stelle dazu nach $q$ um.

    Achte auf die richtigen Einheiten.

    Lösung

    Zu beachten ist, dass $50 ~ kV = 50000 ~V$ sind.
    Es muss immer darauf geachtet werden, die richtigen Einheiten zu nutzen.

    Die Arbeit berechnet sich dann mit:
    $\Delta W= W_{pot}(x_2)-W_{pot}(x_1)= 3200 ~J - 1000~ J =2200 ~J$.

    Um die Ladung $q$ zu berechnen, wird die Formel für die potentielle Energie nach $q$ umgestellt.
    Anschließend können die gegebenen Werte eingesetzt werden.

    Hierbei ist es egal, ob $W_{pot}(x_1)$ oder $W_{pot}(x_2)$ genutzt wird. Wichtig ist nur, den dazugehörigen x-Wert zu nutzen.

    Es folgt:
    $\begin{align} && W_{pot}(x)&=\frac{q \cdot U}{d}\cdot x &|& \cdot d \div (U \cdot x) \\ &\Leftrightarrow& q&=\frac{W_{pot}(x) \cdot x}{U \cdot x} &|& x=x_1 \\ && q&=\frac{W_{pot}(x_1) \cdot d}{U \cdot x_1} && \\ && &=\frac{1000 ~ J \cdot 5~m }{50000~ V \cdot 1 ~m }= 0,1 C \end{align} $

  • Berechne die Arbeit im elektrischen Feld einer Punktladung.

    Tipps

    Der Satz der Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck und lautet $a^2+b^2=c^2$.

    Die Kraft muss in das Integral eingesetzt und berechnet werden.

    Dies folgt für die Arbeit um eine Punktladung $q_2$ im Feld einer Punktladung $q_1$ zu bewegen.

    Lösung

    Mit dem Satz des Pythagoras können die Radien $r_1$ und $r_2$ berechnet werden.
    Es gilt:
    $r_2=\sqrt{8^2 + 6^2}=10$
    $r_1=\sqrt{8^2 + 3^2}=\sqrt{73}$.

    Für die Kraft zwischen zwei Punktladungen gilt:
    $F=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2}$.

    Mit
    $ \Delta W =\int _{r_ 1 }^{r_2 }{F ~dr }$
    kann dann die Arbeit berechnet werden.

    Zuletzt werden die gegebenen und berechneten Werte eingesetzt.

    Es folgt:
    $\begin{align} \Delta W &=\int _{r_ 1 }^{r_2 }{F ~dr } \\ &=\int _{r_ 1 }^{r_2 }{\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2} ~dr} \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot\int _{r_ 1 }^{r_2 }{\frac{1}{r^2} ~dr} \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot { [-\frac{1}{r}]}_{ r_1 }^{ r_2 } \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot (-\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_1}) \\ &=\dfrac{ 5 \cdot 10^{-9} ~C \cdot 3 \cdot 10^{-9} ~ C}{4 \cdot \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}~ \frac{As}{Vm} } \cdot (-\frac{1}{10}+\frac{1}{\sqrt{73}}) \\ &=2,29 \cdot 10^{-9} ~ C \end{align}$.

  • Triff die richtige Aussagen über Arbeit im elektrischen Feld.

    Tipps

    Für die Kraft auf eine Ladung im Plattenkondensator gilt: $F=E \cdot q = \frac{U}{d} \cdot q$. Wenn dies über den Weg x integriert wird, kommt dasselbe raus wie bei der Differenz von der potentiellen Energie W. Gilt die Integralformel dann auch im Plattenkondensator?

    Mit dieser Formel kann die Arbeit im Plattenkondensator berechnet werden, die gebraucht wird, um eine Ladung q von $x_1$ zu $x_2$ zu verschieben. Spielt dann die Plattengröße eine Rolle?

    Es ist bei der Arbeit nur der Weg wichtig, der entlang der Feldlinien zurückgelegt wird. Ist es dann wichtig, ob der Weg schlangenförmig oder geradlinig ist?

    Lösung

    Für die geleistete oder zu leistende Arbeit spielt nur der Anfangs- und der Endpunkt eine Rolle. Der Weg ist nicht wichtig.
    Wenn sich eine Ladung im Kreis bewegt, dann startet sie dort, wo sie auch endet. Anfangs- und Endpunkt sind gleich.
    Deswegen ist die verrichtete Arbeit Null.

    Da die verrichtete Arbeit Null sein kann, ist sie natürlich nicht immer größer als Null. Sie kann sogar negativ sein.
    In die Richtung, in die das Feld Arbeit verrichtet, ist die Arbeit positiv. In die entgegengesetzte Richtung ist sie negativ.

    Das ist zum Beispiel der Fall, wenn eine Ladung im Plattenkondensator zu gleichnamig geladenen Platte bewegt werden soll. Da sich gleichnamige Ladungen abstoßen, muss hier gegen die Kraftwirkung des elektrischen Feldes angearbeitet werden.
    Es muss Arbeit geleistet werden.

    Für die Arbeit in einem elektrischen Feld gilt:
    $\Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Im Plattenkondensator gilt
    $F=E\cdot q = \frac{U \cdot q}{d}$.

    Da in dieser Formel kein x-Wert enthalten ist, folgt für das Integral direkt der obige Wert für die Arbeit:
    $\Delta W=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Hier ist die Größe der Platten nicht enthalten. Deswegen spielt diese bei der Berechnung der Arbeit keine Rolle.

  • Erkläre den Unterschied zwischen der Arbeit in einem Plattenkondensator und im Feld einer Punktladung.

    Tipps

    Das elektrische Feld im Plattenkondensator ist ein homogenes Kraftfeld. Was heißt das?

    Das elektrische Feld einer Punktladung ist inhomogen. Wie unterscheidet es sich von dem homogenen Kraftfeld?

    In einem homogenen Kraftfeld ist die Kraft, die auf eine Ladung wirkt, an allen Punkten des elektrischen Feldes gleich groß.

    Lösung

    Wenn die Arbeit im elektrischen Feld berechnet werden soll, gilt ganz allgemein die Formel:
    $ \Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Das Feld eines Plattenkondensators ist homogen. Das heißt, alle Feldlinien verlaufen parallel zueinander. Die Kraftwirkung auf eine Ladung ist an jeder Stelle des Feldes gleich groß.
    Für die Kraft im elektrischen Feld eines Plattenkondensators gilt:
    $F=E \cdot q = \frac{U}{d} \cdot q$.
    Diese Formel ist nicht vom Weg abhängig. Deswegen ergibt sich beim Berechnen des Integrals: $\Delta W= \frac{U}{d} \cdot q \cdot (x_2-x_1)$.

    Das Feld einer Punktladung ist dagegen inhomogen. Die Feldlinien sind mal näher beieinander und mal weiter voneinander weg. Die Kraftwirkung ist deswegen an unterschiedlichen Punkten unterschiedlich groß.

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