Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel bei Ableitungen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Definition und Beweis der Produktregel
• Beispiele für das Produkt von Funktionen
• Die Produktregel
• Ein erstes einfaches Beispiel
• Herleitung

Beispiele für die Produktregel

• Beispiel 1
• Beispiel 2
• Beispiel 3
• Beispiel 4

Definition und Beweis der Kettenregel

• Was ist eine verkettete Funktion?
• Beispiel für eine verkettete Funktion
• Die Kettenregel
• Herleitung

Beispiele für die Kettenregel

• Beispiel 1
• Beispiel 2
• Beispiel 3

Definition der Quotientenregel

Herleitung der Quotientenregel

Anwendung der Quotientenregel

• Beispiel rationale Funktion
• Beispiel Tangensfunktion
• Weitere Beispiele

Definition und Beweis der Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel. Sie wird verwendet, um das Produkt von Funktionen abzuleiten: $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Nach Gottfried Wilhelm Leibniz (* 1646; † 1716), einem deutschen Mathematiker, wird diese Regel auch als Leibniz-Regel bezeichnet.

Beispiele für das Produkt von Funktionen

• $f(x)=(x^2+7)(x^3-3x)$
• $f(x)=e^x(x^2+3)$
• $f(x)=x\cdot \sqrt x$
• $f(x)=\frac1x\cdot \sin(x)$

Du siehst, du kannst beliebige Funktionen miteinander multiplizieren und erhältst wieder eine Funktion.

Die Produktregel

Die Ableitungsregel für das Produkt von Funktionen $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ lautet

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

.

• Du leitest also zuerst den linken Faktor ab und multiplizierst diesen mit dem rechen Faktor.
• Dann multiplizierst du den linken Faktor mit der Ableitung des rechten Faktors.
• Zuletzt addierst du die beiden Produkte.

In deiner Formelsammlung findest du vielleicht auch diese Kurzschreibweise

$(uv)'=u'v+uv'$

.

Natürlich müssen zur Anwendung der Produktregel auch beide Faktoren differenzierbar sein.

Ein erstes einfaches Beispiel

Du kannst die Funktion $f(x)=x^2\cdot x^3$ ausmultiplizieren zu $f(x)=x^5$. Die Ableitung dieser Funktion erhältst du mit der Potenzregel der Differentiation: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Damit ist $f'(x)=5x^4$. Dasselbe Ergebnis sollte nun auch mit der Produktregel herauskommen:

$f'(x)=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$

.

Die Produktregel gilt (natürlich!) nicht nur für so einfache Beispiele. Dass sie allgemein gültig ist, siehst du im Folgenden.

Herleitung

Die Produktregel kann mithilfe des Differenzialquotienten anschaulich hergeleitet werden. Hierfür wird der Grenzwert von Differenzenquotienten mit Hilfe der h-Methode berechnet:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

.

• Nun wird im Zähler einmal $u(x_0)\cdot v(x)$ subtrahiert und auch wieder addiert:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x)+u(x_0)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

.

• Der Bruch auf der rechten Seite kann noch auseinander geschrieben werden. Dann können auch die einzelnen Grenzwerte bestimmt und dann addiert werden:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x)}{x-x_0}+\lim\limits_{x\to x_0}\frac{u(x_0)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

.

• In dem linken Term wird $v(x)$ und in dem rechten $u(x_0)$ ausgeklammert:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} v(x)\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+u(x_0)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$

.

• Da beide Funktionen $u(x)$ als auch $v(x)$ differenzierbar (und somit auch stetig) sind, existieren die beiden Grenzwerte und somit gilt:

$\quad~~~f'(x_0)=u'(x_0)\cdot v(x_0)+u(x_0)\cdot v'(x_0)$

.

Damit ist die Produktregel bewiesen.

Beispiele für die Produktregel

Um die Produktregel zu üben, kannst du dir jeweils die Faktoren $u(x)$ und $v(x)$ sowie deren Ableitungen aufschreiben:

Beispiel 1

Die Funktion $f(x)=(x^2+7)(x^3-3x)$ könnte gegebenenfalls auch ausmultipliziert werden. Dies ist jedoch recht aufwändig. Hier kann die Produktregel angewendet werden:

• $u(x)=x^2+7$ und damit $u'(x)=2x$
• $v(x)=x^3-3x$ und damit $v'(x)=3x^2-3$

Damit ist

$f'(x)=2x(x^3-3x)+(x^2+7)(3x^2-3)$

.

Dies könnte noch weiter vereinfacht werden, darauf wird hier verzichtet, da es um das Üben der Produktregel geht.

Beispiel 2

Betrachten wir die Exponentialfunktion $f(x)=e^x(x^2+3)$:

• $u(x)=e^x$ und $u'(x)=e^x$
• $v(x)=x^2+3$ uns $v'(x)=2x$

Gesamt lässt sich die Ableitung von $f(x)$ dann so berechnen

$f'(x)=e^x(x^2+3)+e^x\cdot 2x=e^x(2^2+2x+3)$

.

Beispiel 3

Nun schauen wir uns die Funktion $f(x)=x\cdot \sqrt x$ an:

Es ist $u(x)=x$ somit ist $u'(x)=1$ sowie $v(x)=\sqrt x$ und

$v'(x)=\frac1{2\sqrt x}$. Damit kann die **Produktregel** angewendet werden:

$f'(x)=1\cdot \sqrt x+x\cdot \frac1{2\sqrt x}$

.

Beispiel 4

Zuletzt betrachten wir die Ableitung mit trigonometrischer Funktion $f(x)=\frac{1}{x} \cdot \sin(x)$. Hier sind

$u(x)=\frac 1x$ sowie $u'(x)=-\frac{1}{x^2}$

sowie $v(x)=\sin(x)$ mit der Ableitung $v'(x)=\cos(x)$. Wieder kann die Produktregel angewendet werden:

$f'(x)=-\frac{1}{x^2} \cdot \sin(x)+\frac{1}{x} \cdot \cos(x)$

.

Definition und Beweis der Kettenregel

Die Kettenregel ist eine weitere Ableitungsregel. Wie der Name vermuten lässt, verwendest du die Kettenregel zum Ableiten von verketteten Funktionen.

Was ist eine verkettete Funktion?

Bei einer verketteten Funktion

$f(x)=u(v(x))$

wird zunächst auf die Variable $x$ die Funktion $v(x)$ angewendet. Diese wird als innere Funktion bezeichnet. Danach wird auf den Funktionswert $v(x)$ die Funktion $u(v)$ angewendet, welche als äußere Funktion bezeichnet wird.

Beispiel für eine verkettete Funktion

Es sei $v(x)=x^2+1$ und $u(v)=\sqrt v$. Dann ist die verkettete Funktion gegeben durch:

$f(x)=u(v(x))=\sqrt{v(x)}=\sqrt{x^2+1}$.

Verkettete Funktionen werden auch als zusammengesetzte oder verschachtelte Funktionen bezeichnet.

Die Kettenregel

Die Ableitungsregel für eine verkettete Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet

$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$.

Dabei ist

• $u'(v(x))$ die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und
• $v'(x)$ die Ableitung der inneren Funktion.

Sowohl die äußere als auch die innere Funktion müssen natürlich differenzierbar sein.

Herleitung

Die Kettenregel kann mithilfe des Differenzialquotienten hergeleitet werden.

Es gilt:

$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}$.

Wir erweitern mit $v(x)-v(x_0)$ und erhalten:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \left(\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\right)$ .

Da sowohl die äußere als auch die innere Funktion differenzierbar sind, existieren die Grenzwerte beider Faktoren und somit gilt:

$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \lim\limits_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}=u'(v(x_0))\cdot v'(x_0)$ .

Damit ist die Kettenregel bewiesen.

Beispiele für die Kettenregel

Wenn die Kettenregel angewendet werden muss, mache dir zunächst klar, welche Funktion die innere Funktion und welche die äußere Funktion ist. Berechne dann zu jeder der beiden Funktionen die Ableitung.

Beispiel 1

Die Funktion $f(x)=(7x-2)^3$ kann als verkettete Funktion dargestellt werden:

• innere Funktion: $v(x)=7x-2$ und $v'(x)=7$
• äußere Funktion: $u(v)=v^3$ und $u'(v)=3v^2$

Die Ableitung dieser Funktion ist somit $f'(x)=3v^2 \cdot 7$. Wir ersetzen nun noch $v$ durch die innere Funktion $v(x)=7x-2$ und erhalten zuletzt:

$f'(x)=3(7x-2)^2\cdot 7=21(7x-2)^2$.

Beispiel 2

Betrachten wir die verkettete Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$:

• innere Funktion: $v(x)=x^2+1$ und $v'(x)=2x$
• äußere Funktion: $u(v)=\sqrt v$ und $u'(v)=\frac1{2\sqrt v}$

Verwende jetzt die Kettenregel:

$f'(x)=\frac1{2\sqrt v}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{v}}$ .

Wieder ersetzt du $v$ durch die innere Funktion $v(x)=x^2+1$:

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Beispiel 3

Zuletzt untersuchen wir noch die Funktion $f(x)=e^{-0,2x+2}$:

• innere Funktion: $v(x)=-0,2x+2$ und $v'(x)=-0,2$
• äußere Funktion: $u(v)=e^v$ und $u'(v)=e^v$

Nun kannst du wieder die Kettenregel anwenden:

$f'(x)=e\^v \cdot (-0,2).$ Auch hier ersetzt du $v$ durch die innere Funktion $v(x)=-0,2x+2$. Wir erhalten diese Ableitung:

$f'(x)=-0,2\cdot e^{-0,2x+2}$.

Definition der Quotientenregel

Mithilfe der Quotientenregel können Funktionen abgeleitet werden, die durch einen Quotienten beschrieben werden. Beispiele sind $f(x)=\frac{2}{x^2}$ oder $g(x)=\frac{3x^2+x+1 }{x^3}$. Im Allgemeinen sieht eine solche Funktion so aus:

$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$

.

Dabei muss natürlich für alle $x$ gelten: $v(x) \neq 0$. Wir dürfen ja nicht durch $0$ dividieren.

Außerdem müssen die Terme $u(x)$ und $v(x)$ differenzierbar sein. Dann ist auch $f(x)$ differenzierbar und die Ableitung lautet

$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

.

Wie du auf der rechten Seite der Gleichung sehen kannst, wird die Quotientenregel häufig abkürzend mit $u$ und $v$ formuliert.

Im Gegensatz zur Produktregel kommt es bei der Quotientenregel im Zähler auf die Reihenfolge der Terme an. Die Subtraktion ist nämlich nicht kommutativ.

Herleitung der Quotientenregel

Mithilfe des Differenzialquotienten kannst du die Quotientenregel herleiten. Sie ergibt sich aber auch aus der Produktregel. Um dies nachzuvollziehen, verwenden wir im Folgenden die vereinfachte Schreibweise $u(x)=u$ und $v(x)=v$. Dann schreiben wir den Quotienten als Produkt:

$f(x)= \frac{u}{v}= u \cdot v^{-1}$

.

Wir haben lediglich ausgenutzt, dass wir anstelle von $\frac1{v}$ auch $v^{-1}$ schreiben können. Das hat den Vorteil, dass wir nun die Produktregel anwenden können:

$f'(x) = u' \cdot v^{-1} + u \cdot (-1 \cdot v^{-2} \cdot v')$

.

Dies kann noch weiter vereinfacht werden:

$f'(x) = u' \cdot v^{-1} - u \cdot v^{-2} \cdot v'$

.

Nun formen wir den negativen Exponenten wieder in die Bruchschreibweise um:

$f'(x) = \frac{u'}{v} - \frac{u \cdot v'}{v^2}$

.

Dann erweitern wir den linken Bruch mit $v$ und fassen die beiden Brüche unter demselben Nenner zusammen:

$f'(x) = \frac{u' \cdot v}{v^2} - \frac{u \cdot v'}{v^2} = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

.

Nun haben wir die Quotientenregel hergeleitet. Wir wollen nun einige Beispiele betrachten.

Anwendung der Quotientenregel

Beispiel rationale Funktion

Wir wollen zunächst die gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{2}{x^2}$ ableiten. Dazu bestimmen wir zunächst die beiden Funktion $u(x)=2$ und $v(x) = x^2$. Führen wir die Quotientenregel einmal ausführlich durch:

$ f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{(2)' \cdot x^2 - 2 \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$

.

Der erste Term im Zähler fällt weg, weil die Ableitung einer Konstanten $0$ ist:

$f'(x) = \frac{0-2 \cdot 2 \cdot x}{x^4} = -\frac{4}{x^3}$

.

Beispiel Tangensfunktion

Auch die Tangensfunktion kann durch die Quotientenregel abgeleitet werden, da sie durch einen Quotienten definiert ist:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

.

Wir verwenden also $u(x)= \sin(x)$ und $v(x)= \cos(x)$. Dann ergibt sich:

$ f'(x) = \frac{ \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

.

Dies kann durch den trigonometrischen Satz des Pythagoras vereinfacht werden, der $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ lautet. Dann erhalten wir zuletzt:

$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$

.

Alternativ hätte die Ableitung durch Zerlegen in zwei Brüche auch in $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$ umgeformt werden können.

Weitere Beispiele

Wenn das Schema der Quotientenfunktion erst einmal erkannt ist, lassen sich auch scheinbar komplizierte Funktionen leicht ableiten.

• Die Ableitung von $f(x) = \frac{2x+5}{e^x}$ ist $f'(x)= \frac{2 \cdot e^x - (2x+5) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{-2x -3 }{e^x}$.
• Die Ableitung von Wurzelfunktionen wie $f(x) = \frac{2 \cdot x^2 + 3}{\sqrt{x}}$ funktioniert genauso: $f'(x)=\frac{4x \cdot \sqrt{x} - (2 \cdot x^2+3) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x}= \frac{3x^2-\frac32}{x \cdot \sqrt{x}}$.