Exponentialfunktionen – Rekonstruktion
Mit Hilfe von Exponentialfunktionen können Wachstums- sowie Zerfallsprozesse beschrieben werden. Wie man bei gegebenen Informationen eine Exponentialfunktion aufstellen kann, ist Thema der Rekonstruktion.
Inhaltsverzeichnis zum Thema
- Was ist eine Exponentialfunktion?
- Die natürliche Exponentialfunktion
- Rekonstruktion von Exponentialfunktionen
Was ist eine Exponentialfunktion?
Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable, im Exponenten steht. Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form
$f(x)=c\cdot a^x$.
Dabei sind
- $x$ die Variable,
- $a\in \mathbb{R}^+$ die Basis der Exponentialfunktion und
- $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.
Üblicherweise schreibt man Exponentialfunktionen mit der Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl.
Wie dies bei allgemeiner Basis $a$ gemacht wird - wie also zwischen der allgemeinen Darstellung und der natürlichen Exponentialfunktion gewechselt wird -, siehst du hier:
$f(x)=c\cdot a^x=c\cdot e^{\ln(a^x)}$.
Dabei haben wir $e^{\ln(x)}=x$ verwendet sowie die Rechenregel für Logarithmen: $\log(p^{q})=q\cdot \log( p)$. Diese Regel gilt für jeden Logarithmus, unabhängig von der Basis. Damit ist
$f(x)=c\cdot e^{\ln(a^x)}=c\cdot e^{\ln(a)\cdot x}$.
Die natürliche Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet, zum Beispiel $f(x)=e^{x}$. Etwas allgemeiner kann eine natürliche Exponentialfunktion so aussehen:
$f(x)=c\cdot e^{kx}$.
Dabei sind
- $x$ die Variable (häufig wird die Zeit für $x$ eingesetzt, dann wird auch die Variable $t$ für „time“ verwendet),
- $e$ die Euler'sche Zahl und
- $c$ sowie $k$ Parameter.
Rekonstruktion von Exponentialfunktionen
Da eine natürliche Exponentialfunktion zwei Parameter $c$ und $k$ hat, benötigst du auch zwei Informationen, um eine solche Funktion zu rekonstruieren.
Was bedeutet eigentlich rekonstruieren?
- Du weißt, was eine Kurvendiskussion ist: Bei einer gegebenen Funktionsgleichung bestimmst du verschiedene Stellen oder Punkte: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Schließlich kannst du den Funktionsgraphen der Funktion zeichnen.
- Umgekehrt kennst du solche Stellen oder Punkte und sollst daraus die Funktionsgleichung wiederherstellen, das bedeutet rekonstruieren.
Beispiel 1
Wenn du im Rahmen eines Wachstumsprozesses eine Wertetabelle vorliegen hast, genügen zwei Paare $(x|f(x))$, um die zugehörige Funktionsgleichung zu ermitteln. Schaue dir hierfür das folgende Beispiel an:
Eine Seerosenkultur bedeckt nach zwei Wochen $9~m^2$ eines Sees und nach weiteren zwei Wochen $20,25~m^2$. Das Wachstum der Fläche ist exponentiell:
$f(x)=c\cdot e^{kx}$.
Dabei steht
- $x$ für die Zeit in Wochen und
- $f(x)$ für die von Seerosen bedeckte Fläche nach $x$ Wochen.
Die beiden bekannten Flächen nach $2$ beziehungsweise $4$ Wochen führen zu den Gleichungen
- $f(2)=9$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 2}=9$ sowie
- $f(4)=20,25$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 4}=20,25$.
Wenn du die erste Gleichung durch $e^{k\cdot 2}$ dividierst, erhältst du
$c=\frac9{e^{k\cdot 2}}$.
Dieses $c$ setzt du nun in die zweite Gleichung ein:
$\frac9{e^{k\cdot 2}}\cdot e^{k\cdot 4}=9\cdot e^{k\cdot 2}=20,25$.
Division durch $9$ führt zu $e^{k\cdot 2}=2,25$. Nun kann kannst du den Logarithmus naturalis auf beiden Seiten anwenden: $k\cdot 2=\ln(2,25)$. Zuletzt dividierst du durch $2$. Dies führt zu $k\approx 0,405$.
Nun kannst du auch $c$ berechnen:
$c=\frac9{e^{k\cdot 2}}=\frac9{2,25}=4$.
Damit lautet die Exponentialfunktion, die das Wachstum der Seerosenkultur beschreibt:
$f(x)=4\cdot e^{0,405\cdot x}$.
Hier siehst du den zugehörigen Funktionsgraphen.
Insbesondere weißt du jetzt auch, dass zu Beginn der Beobachtung die Seerosenkultur $4~m^2$ eines Sees bedeckt.
Beispiel 2
Wenn du bei einer Exponentialfunktion
$f(x)=c\cdot e^{kx}$
einen Punkt, zum Beispiel $P(3|1)$, sowie die Steigung $m=0,5$ in diesem Punkt kennst, kannst du die Funktionsgleichung ebenfalls rekonstruieren.
- Der gegebene Punkt führt zu der Gleichung $f(3)=1$ und somit $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$.
- Die Ableitung der Funktion $f(x)$ ist gegeben durch $f'(x)=c\cdot k\cdot e^{kx}$.
- Da die Ableitung an der Stelle $x=3$ gegeben ist durch $m=0,5$, führt dies zu der Gleichung $c\cdot k\cdot e^{k\cdot 3}=0,5$.
Nun kannst du $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$ in der unteren Gleichung einsetzen. So erhältst du $k\cdot 1=0,5$. Also ist $k=0,5$.
Dieses $k$ kannst du nun in der oberen Gleichung einsetzen, um $c$ zu berechnen: $c\cdot e^{0,5\cdot 3}=1$. Division durch $e^{0,5\cdot 3}$ führt zu $c\approx 0,223$.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit
$f(x)=0,223\cdot e^{0,5x}$.
Dies ist der zugehörige Funktionsgraph.
Beispiel 3
Bei einem Wachstumsprozess ist der Anfangswert $c=22$ bekannt sowie die Verdoppelungszeit $T_2=5$ [Tage]. Du weißt damit, dass $f(5)=44$ ist. Setzt du $c=22$ in der Exponentialfunktion
$f(x)=22\cdot e^{kx}$.
ein, erhältst du die Gleichung $f(5)=22\cdot e^{k\cdot 5}=44$. Nun kannst du durch $22$ dividieren und dann den Logarithmus naturalis anwenden: Dies führt zu $k\cdot 5=\ln(2)$. Zuletzt dividierst du durch $5$. Also ist:
$k=\frac{\ln(2)}5\approx 0,139$.
Damit ist die Funktionsgleichung gefunden:
$f(x)=22\cdot e^{0,139\cdot x}$.
Alle Videos zum Thema
Videos zum Thema
Exponentialfunktionen – Rekonstruktion (1 Video)
Alle Arbeitsblätter zum Thema
Arbeitsblätter zum Thema
Exponentialfunktionen – Rekonstruktion (1 Arbeitsblatt)
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion