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Exponentialfunktionen – Rekonstruktion

Mit Hilfe von Exponentialfunktionen können Wachstums- sowie Zerfallsprozesse beschrieben werden. Wie man bei gegebenen Informationen eine Exponentialfunktion aufstellen kann, ist Thema der Rekonstruktion.

Inhalt

  • Was ist eine Exponentialfunktion?
  • Die natürliche Exponentialfunktion
  • Rekonstruktion von Exponentialfunktionen
  • Was ist eine Exponentialfunktion?

    Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable, im Exponenten steht. Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form

    $f(x)=c\cdot a^x$.

    Dabei sind

    • $x$ die Variable,
    • $a\in \mathbb{R}^+$ die Basis der Exponentialfunktion und
    • $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.

    Üblicherweise schreibt man Exponentialfunktionen mit der Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl.

    Wie dies bei allgemeiner Basis $a$ gemacht wird - wie also zwischen der allgemeinen Darstellung und der natürlichen Exponentialfunktion gewechselt wird -, siehst du hier:

    $f(x)=c\cdot a^x=c\cdot e^{\ln(a^x)}$.

    Dabei haben wir $e^{\ln(x)}=x$ verwendet sowie die Rechenregel für Logarithmen: $\log(p^{q})=q\cdot \log( p)$. Diese Regel gilt für jeden Logarithmus, unabhängig von der Basis. Damit ist

    $f(x)=c\cdot e^{\ln(a^x)}=c\cdot e^{\ln(a)\cdot x}$.

    Die natürliche Exponentialfunktion

    Eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet, zum Beispiel $f(x)=e^{x}$. Etwas allgemeiner kann eine natürliche Exponentialfunktion so aussehen:

    $f(x)=c\cdot e^{kx}$.

    Dabei sind

    • $x$ die Variable (häufig wird die Zeit für $x$ eingesetzt, dann wird auch die Variable $t$ für „time“ verwendet),
    • $e$ die Euler'sche Zahl und
    • $c$ sowie $k$ Parameter.

    Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

    Da eine natürliche Exponentialfunktion zwei Parameter $c$ und $k$ hat, benötigst du auch zwei Informationen, um eine solche Funktion zu rekonstruieren.

    Was bedeutet eigentlich rekonstruieren?

    • Du weißt, was eine Kurvendiskussion ist: Bei einer gegebenen Funktionsgleichung bestimmst du verschiedene Stellen oder Punkte: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Schließlich kannst du den Funktionsgraphen der Funktion zeichnen.
    • Umgekehrt kennst du solche Stellen oder Punkte und sollst daraus die Funktionsgleichung wiederherstellen, das bedeutet rekonstruieren.

    Beispiel 1

    Wenn du im Rahmen eines Wachstumsprozesses eine Wertetabelle vorliegen hast, genügen zwei Paare $(x|f(x))$, um die zugehörige Funktionsgleichung zu ermitteln. Schaue dir hierfür das folgende Beispiel an:

    Seerose.jpg

    Eine Seerosenkultur bedeckt nach zwei Wochen $9~m^2$ eines Sees und nach weiteren zwei Wochen $20,25~m^2$. 
Das Wachstum der Fläche ist exponentiell:

    $f(x)=c\cdot e^{kx}$.

    Dabei steht

    • $x$ für die Zeit in Wochen und
    • $f(x)$ für die von Seerosen bedeckte Fläche nach $x$ Wochen.

    Die beiden bekannten Flächen nach $2$ beziehungsweise $4$ Wochen führen zu den Gleichungen

    • $f(2)=9$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 2}=9$ sowie
    • $f(4)=20,25$ und damit $c\cdot e^{k\cdot 4}=20,25$.

    Wenn du die erste Gleichung durch $e^{k\cdot 2}$ dividierst, erhältst du

    $c=\frac9{e^{k\cdot 2}}$.

    Dieses $c$ setzt du nun in die zweite Gleichung ein:

    $\frac9{e^{k\cdot 2}}\cdot e^{k\cdot 4}=9\cdot e^{k\cdot 2}=20,25$.

    Division durch $9$ führt zu $e^{k\cdot 2}=2,25$. Nun kann kannst du den Logarithmus naturalis auf beiden Seiten anwenden: $k\cdot 2=\ln(2,25)$. Zuletzt dividierst du durch $2$. Dies führt zu $k\approx 0,405$.

    Nun kannst du auch $c$ berechnen:

    $c=\frac9{e^{k\cdot 2}}=\frac9{2,25}=4$.

    Damit lautet die Exponentialfunktion, die das Wachstum der Seerosenkultur beschreibt:

    $f(x)=4\cdot e^{0,405\cdot x}$.

    1051_Seerosen_Funktionsgraph.jpg

    Hier siehst du den zugehörigen Funktionsgraphen.

    Insbesondere weißt du jetzt auch, dass zu Beginn der Beobachtung die Seerosenkultur $4~m^2$ eines Sees bedeckt.

    Beispiel 2

    Wenn du bei einer Exponentialfunktion

    $f(x)=c\cdot e^{kx}$

    einen Punkt, zum Beispiel $P(3|1)$, sowie die Steigung $m=0,5$ in diesem Punkt kennst, kannst du die Funktionsgleichung ebenfalls rekonstruieren.

    • Der gegebene Punkt führt zu der Gleichung $f(3)=1$ und somit $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$.
    • Die Ableitung der Funktion $f(x)$ ist gegeben durch $f'(x)=c\cdot k\cdot e^{kx}$.
    • Da die Ableitung an der Stelle $x=3$ gegeben ist durch $m=0,5$, führt dies zu der Gleichung $c\cdot k\cdot e^{k\cdot 3}=0,5$.

    Nun kannst du $c\cdot e^{k\cdot 3}=1$ in der unteren Gleichung einsetzen. So erhältst du $k\cdot 1=0,5$. Also ist $k=0,5$.

    Dieses $k$ kannst du nun in der oberen Gleichung einsetzen, um $c$ zu berechnen: $c\cdot e^{0,5\cdot 3}=1$. Division durch $e^{0,5\cdot 3}$ führt zu $c\approx 0,223$.

    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

    $f(x)=0,223\cdot e^{0,5x}$.

    Dies ist der zugehörige Funktionsgraph.

    1051_Exp.fkt_Bsp_2.jpg

    Beispiel 3

    Bei einem Wachstumsprozess ist der Anfangswert $c=22$ bekannt sowie die Verdoppelungszeit $T_2=5$ [Tage]. Du weißt damit, dass $f(5)=44$ ist. Setzt du $c=22$ in der Exponentialfunktion

    $f(x)=22\cdot e^{kx}$.

    ein, erhältst du die Gleichung $f(5)=22\cdot e^{k\cdot 5}=44$. Nun kannst du durch $22$ dividieren und dann den Logarithmus naturalis anwenden: Dies führt zu $k\cdot 5=\ln(2)$. Zuletzt dividierst du durch $5$. Also ist:

    $k=\frac{\ln(2)}5\approx 0,139$.

    Damit ist die Funktionsgleichung gefunden:

    $f(x)=22\cdot e^{0,139\cdot x}$.

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