Sinussatz und Cosinussatz

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Dreiecke
• Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens
• Sinussatz und Cosinussatz

Dreiecke

Hier siehst du ein allgemeines Dreieck:

Die Eckpunkte sind mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet, die gegenüberliegenden Seiten werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet und die drei Winkel sind zu erkennen an den griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha) für a, $\beta$ (beta) für b und $\gamma$ (gamma) für $c$.

Es gibt spezielle Dreiecke:

• rechtwinklige Dreiecke - das Dreieck hat einen rechten Winkel ($90^\circ$)
• gleichschenklige Dreiecke - zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang
• gleichseitige Dreiecke - alle drei Seiten des Dreiecks sind gleich lang

In diesen Dreiecken kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras oder den trigonometrischen Funktionen in der Trigonometrie – Sinus ($\sin$), Cosinus ($\cos$, auch als Kosinus bezeichnet) und Tangens ($\tan$) – fehlende Seiten oder Winkel berechnen. Dabei musst du sowohl in gleichschenkligen als auch in gleichseitigen Dreiecken jeweils mit Hilfslinien einzeichnen, so dass rechtwinklige Teildreiecke entstehen.

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens

In rechtwinkligen Dreiecken sind die Seitenbezeichnungen folgendermaßen:

• die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Kathete, die dem spitzen Winkel $\alpha$ gegenüber liegt
• die Ankathete von $\alpha$ ist die Kathete, die dem Winkel $\alpha$ anliegt
• die Hypotenuse ist stets die längste Seite im Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber

Die trigonometrischen Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck sind wie folgt definiert:

$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

In allgemeinen Dreiecken sind weder diese Definitionen, noch der Satz des Pythagoras direkt anwendbar.

Sinussatz und Cosinussatz

Im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen sind der Sinus- und der Cosinussatz in jedem beliebigen Dreieck anwendbar.

Der Sinussatz beschreibt das Verhältnis der Winkel eines Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten.

Mit dem Cosinussatz können fehlende Seitenlängen berechnet werden.