Volumen und Oberfläche von Kugeln

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Kugel?
• Berechnung der Oberfläche
  • Der Fußball
  • Die Lampe
• Berechnung des Volumens
  • Die Eisdiele
  • Die Superkugel
  • Die richtige Eiskugel

Was ist eine Kugel?

Eine Kugel ist ein geometrischer Körper. Sie hat weder Ecken noch Kanten und nur eine Fläche.

Eine Kugel hat einen Mittelpunkt $M$ und einen Radius $r$. Jeder Punkt auf dem Kugelrand hat den gleichen Abstand $r$ zu dem Mittelpunkt. Der Durchmesser ist das Doppelte vom Radius: $d=2r$.

Kugeln sind dir bestimmt schon viele begegnet:

• Ein Globus ist ein Modell des Planeten Erde, auf dem wir leben.
• Eine Eiskugel ist, wie der Name schon verrät, auch eine Kugel.
• Spielst du gerne Fußball oder Tennis oder Minigolf oder Tischtennis? Diese Bälle haben alle die Form einer Kugel.

Berechnung der Oberfläche

Die Oberfläche einer Kugel lässt sich mit der Formel

$O=4\cdot\pi\cdot r^2$

berechnen. Dabei ist $\pi=3,1415...$ die sogenannte Kreiszahl.

Der Fußball

Ein Fußball hat einen Durchmesser von $22~cm$.

Der Fußballverein Glasbachtal möchte zum 75. Vereinsjubiläum für eine Tombola einen Fußball in den Vereinsfarben bestellen. Wie viel Material wird für den Ball benötigt?

Hier interessiert uns die Oberfläche des Balles. Außerdem benötigen wir den Radius für die Berechnung der Oberfläche. Du musst also erst einmal den Durchmesser $d=22$ durch $2$ teilen: $r=11~cm$.

Damit ist $O=4\cdot \pi\cdot(11~cm)^2=484\cdot\pi~cm^2\approx 1520,5~cm^2$.

Dies ist der gesuchte Materialaufwand.

Die Lampe

Camilla möchte sich eine Lampe aus Stoff basteln. Die Lampe hat die Form einer Kugel mit dem Radius $r=20~cm$.

Die benötigte Menge Stoff ist

$O=4\cdot \pi\cdot(20~cm)^2=1600\cdot \pi~cm^2\approx5026,5~cm^2$.

Sie hat leider nur genügend Geld für $3500~cm^2$. Wie groß kann die Lampe dann werden?

Camilla muss die Oberflächenformel umformen:

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2~~~ \Leftrightarrow~~~r=\sqrt{\frac{O}{4\cdot\pi}}$.

Nun kann sie die bekannten Größen in diese Formel einsetzen:

$r=\sqrt{\frac{3500~cm^2}{4\cdot\pi}}\approx16,7~cm$.

Durch die deutlich geringere Oberfläche wird die Lampe im Radius insgesamt gar nicht so viel kleiner. Woran kann das liegen?

Dies lässt sich dadurch begründen, dass der Radius quadriert wird.

• Zum Beispiel führt eine Halbierung des Radius’ zu einem Viertel der Fläche.
• Eine Verdoppelung des Radius’ führt zu der vierfachen Fläche.

Berechnung des Volumens

Das Volumen einer Kugel kannst du mit der folgenden Formel berechnen:

$V=\frac43\cdot\pi\cdot r^3$.

Die Eisdiele

In der Eisdiele „Lecker-Eis“ werden riesige Eiskugeln mit dem Radius $r=3,5~cm$ verkauft. Paul und Luke überlegen, welches Volumen die Eiskugeln haben.

Sie verwenden die Volumenformel:

$V=\frac43\cdot \pi\cdot(3,5~cm)^3=\frac{343}6\cdot\pi~cm^3\approx179,6~cm^3$.

Die Superkugel

Eine Superkugel Eis mit dem Radius $r=3,5~cm$ kostet $7,00~€$. Paul überlegt, ob dann eine Kugel Eis mit dem Radius $r=1,5~cm$ auch $3,00~€$ kostet, wenn der Preis einer Kugel Eis proportional zu dem Volumen ist.

Er rechnet das Volumen der kleineren Kugel aus:

$V=\frac43\cdot \pi\cdot(1,5~cm)^3=\frac{9}2\cdot\pi~cm^3\approx14,1~cm^3$.

Das ist weniger als ein Zehntel des Volumens der Superkugel. Eine Kugel Eis mit Radius $r=1,5~cm$ sollte

$\frac{14,1~cm^3}{179,6~cm^3}\cdot 7,00~€\approx0,55~€$

kosten.

Die richtige Eiskugel

Wie groß muss der Radius der Eiskugel sein, damit der Preis von $3,00~€$ gerechtfertigt ist? Auch hier wird wieder die proportionale Beziehung von Volumen und Preis verwendet:

$V=\frac{3,00~€}{7,00~€}\cdot 179,6~cm^3\approx77~cm^3$.

Nun kennt Paul das Volumen. Um den Radius zu berechnen, muss er die Volumenformel umstellen:

$r=\sqrt[3]{\frac{V}{\frac43\cdot\pi}}$.

Nun kann er das bekannte Volumen in diese Formel einsetzen:

$r=\sqrt[3]{\frac{77~cm^3}{\frac43\cdot\pi}}\approx 2,64~cm$.

Die Eiskugel, welche $3,00~€$ kosten sollte, hat den Radius $r=2,64~cm$.