Die binomischen Formeln 05:14 min
Transkript Die binomischen Formeln
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die binomischen Formeln. Bestimmte Terme lassen sich besonders leicht umformen oder vereinfachen, wenn Du die binomischen Formeln anwendest. Das kann Dir viel Rechenzeit ersparen. Wir lernen zunächst die binomischen Formeln kennen, veranschaulichen die erste binomische Formel anhand einer grafischen Darstellung und wenden die binomischen Formeln an Beispielen an. Binome sind zweiteilige Terme wie zum Beispiel a+b. Zur Erinnerung: Produkte von Binomen löst Du, indem Du jeden Summanden der einen Summe mit jeden Summanden der zweiten Summe multiplizierst. (a+b)•(c+d) ist ausmultipliziert gleich ac+ad+bc+bd. Die im Folgenden vorgestellten Produkte von Binomen treten häufig auf. Sie lassen sich mit Hilfe der binomischen Formeln leicht umformen. Du solltest sie Dir deshalb gut merken. (a+b)²=a²+2ab+b². Dies ist die erste binomische Formel. Die zweite binomische Formel lautet: (a-b)²=a²-2ab+b². Und die Dritte binomische Formel: (a+b)•(a-b)=a²-b². Die binomischen Formeln lassen sich grafisch als Flächenstücke veranschaulichen. Wir schauen uns hier die grafische Darstellung der ersten binomischen Formel an. Hat ein Quadrat die Seitenlängen a+b, dann ist der Flächeninhalt dieses Quadrats gleich (a+b)•(a+b) oder (a+b)². Genauso gut kannst Du den Flächeninhalt des Quadrats aus der Summe der Teilflächen bilden. Nämlich, a•a gleich a²+2ab+b². Fasst Du die Aussagen der beiden Abbildungen zusammen, so erhältst Du die erste binomische Formel. Die binomischen Formeln sind in vielerlei Hinsicht nützlich. Wir betrachten im Folgenden zwei wichtige Beispiele. Binomische Formeln erleichtern das Kopfrechnen beim Quadrieren von Zahlen. Wir quadrieren im Folgenden die Zahl 27. Zerlegst Du die Zahl 27 in die Summe (20+7)² und wendest die erste binomische Formel an, dann erhältst Du 20²+2•20•7+7²=400+280+49=729. Die binomischen Formeln helfen Dir zusätzlich beim Kürzen von Brüchen. In dem Bruch (x²-4x+4)/(x-2) lässt sich der Term im Zähler mit der Hilfe der zweiten binomischen Formel in das Produkt (x-2)² umformen. Wir schreiben für die -4x im Zähler gleich -2•2x und erhalten den Zähler x²-2•2x+4. Anschließend wenden wir die zweite binomische Formel an und erhalten im Zähler (x-2)². Nun kannst Du den Bruch (x-2)²/(x-2) kürzen und erhältst x-2. Die binomischen Formeln sind ein nützliches mathematisches Werkzeug. Es lohnt sich, wie Du anhand der Beispiele gesehen hast, beim Umformen von Termen und Gleichungen zu prüfen, ob binomische Formeln darin versteckt sind.
Videobeschreibung
Bestimmte Terme lassen sich in der Mathematik durch die Binomischen Formeln so vereinfachen, dass sie ganz schnell zu lösen sind. Die Binomischen Formeln wirst du in diesem Video kennen lernen. Es gibt insgesamt drei Binomische Formeln, die mithilfe von Flächen sehr anschaulich werden. Ich werde dir allerdings auch gleich erklären, wo du die Binomischen Formeln überall anwenden kannst – zum Beispiel beim Quadrieren von Zahlen, beim Kürzen von Brüchen und so weiter. Es lohnt sich also, diese drei Formeln einmal genauer anzusehen.
Die Tutoren:
Die binomischen Formeln
Die binomischen Formeln Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die binomischen Formeln kannst du es wiederholen und üben.
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Gib die drei binomischen Formeln an.
Tipps
Wenn dir die binomischen Formeln nicht mehr einfallen, kannst du einfach die Klammern jeweils ausmultiplizieren. Berechne z.B. $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$, indem du jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.
Achte auf die korrekten Rechenzeichen.
Lösung
Wir verwenden zur einfachen Umformung bestimmter Terme häufig die binomischen Formeln, um uns Rechenzeit zu ersparen.
Das Wort Binom kommt aus dem Lateinischen und setzt sich zusammen aus bi für zwei und nomen für Namen.
Falls dir die binomischen Formeln einmal entfallen sein sollten, kannst du sie durch Ausmultiplizieren der Klammern berechnen und eventuell mit Hilfe von geeigneten Eselsbrücken auf die anderen beiden binomischen Formeln schließen.
Wir leiten einmal zusammen die erste binomische Formel her. Beachte dabei, dass wir jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multiplizieren müssen. Wir erhalten
$(a+b)^2= (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab + ba +b^2 = a^2+2ab+b^2$.
Die zweite binomische Formel ist der ersten sehr ähnlich. Der Unterschied liegt im Minuszeichen. Somit ergibt sich
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Bei der dritten binomischen Formel multiplizieren wir die Summe $(a+b)$ mit der Differenz $(a-b)$ und erhalten
$(a+b) \cdot (a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2-b^2$.
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Stelle anhand der Skizze die Gültigkeit der ersten binomischen Formel dar.
Tipps
Wie kannst du allgemein den Flächeninhalt eines Quadrates und eines Rechteckes bestimmen?
Überlege zunächst, welche Seitenlängen die einzelnen Quadrate und Rechtecke in der Skizze haben.
Lösung
Der Flächeninhalt des abgebildeten Quadrates kann auf zwei verschiedene Weisen bestimmt werden:
Einerseits können wir den Flächeninhalt mit Hilfe der Seitenlänge des Quadrates berechnen. Die Seitenlänge beträgt $(a+b)$. Somit ist der Flächeninhalt des Quadrates
$(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)^2$.
Andererseits kann der Flächeninhalt durch die vier Teilflächen ausgedrückt werden: Das grüne Quadrat hat die Seitenlänge $a$ und somit den Flächeninhalt $a^2$. Das rote Quadrat hat die Seitenlänge $b$ und somit den Flächeninhalt $b^2$. Bei den beiden gelben Rechtecken ist jeweils eine Seitenlänge $a$ und die andere Seitenlänge $b$. Daher beträgt der Flächeninhalt eines gelben Rechtecks $a \cdot b$. Addiert man alle vier Teilflächen, so ergibt sich der Term
$a^2 + ab + ab + b^2= a^2 + 2ab + b^2$.
Durch Vergleich der beiden Terme, welche beide den gesamten Flächeninhalt des großen Quadrates angeben, ergibt sich die Gleichung
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
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Bestimme durch Anwendung der binomischen Formeln, welche Terme gleichwertig sind.
Tipps
Wie lauten die drei binomischen Formeln?
Du kannst für $a$ und $b$ beliebige Variablen und Zahlen einsetzen.
Achte darauf, dass du beim Quadrieren eines Produktes beide Faktoren quadrierst, zum Beispiel: $(3x)^2=9x^2$.
Lösung
Wir notieren uns zunächst die drei binomischen Formeln und vergleichen dann anschließend jeden Term damit, um herauszufinden, welche binomische Formel wir anwenden müssen.
- $(a+b)^2=a^2 +2ab + b^2$
- $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$
- $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
$(3+x)^2= 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2 = 9 + 6x + x^2$.
Dementsprechend gehen wir auch bei den weiteren Termen vor.
Der Term $(x+2)(x-2)$ entspricht der dritten binomischen Formel.
$(4x-2)^2$ hingegen entspricht der zweiten binomischen Formel. Die Terme $(2a + x)^2$ und $(2x+\sqrt{x})^2$ entsprechen der ersten binomischen Formel. Beachte beim Umformen, dass
$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.
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Berechne den Wert mit Hilfe der ersten binomischen Formel.
Tipps
Bilde zunächst eine geeignete Summe, welche die Zahl $58$ als Ergebnis hat.
Wende nun Schritt für Schritt die erste binomische Formel an.
Lösung
Beim Quadrieren einer zweistelligen Zahl ist es sinnvoll die Zahl in zwei Summanden aufzuspalten.
Die einfachste Möglichkeit ist dabei, die Einer- und Zehnerstelle der Ausgangszahl jeweils als Summanden zu nehmen. So erhalten wir einen Summanden, der durch $10$ teilbar ist und einen Summanden, welcher einstellig und somit im kleinen Einmaleins vorhanden ist. Dies hat den Vorteil, dass sich solche Zahlen leicht im Kopf quadrieren lassen.
Beim Quadrieren der Zahl $58$ ist es somit sinnvoll, als Summanden die Zahlen $50$ und $8$ zu wählen, um die erste binomische Formel anwenden zu können. Das Einsetzen der Zahlen in die erste binomische Formel liefert dir dann das Ergebnis.
$ \begin{array}{rl} 58^2 &=& (50+8)^2 \\ &=& 50^2+2\cdot 50\cdot 8+ 8^2 \\ &=& 2500+800+64 \\ &=& 3364 \\ \end{array} $
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Vereinfache den Term soweit wie möglich.
Tipps
Wie lautet die zweite binomische Formel?
Wann darf man in Brüchen kürzen?
Lösung
Wir wenden auf den Zähler $x^2-4x+4$ des Ausgangsterms $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ die zweite binomische Formel mit $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$ an und erhalten somit den Bruch: $\frac{(x-2)^2}{x-2}$.
Da nun der Zähler und der Nenner denselben Faktor $(x-2)$ enthalten, können wir diesen kürzen und erhalten: $\frac{x-2}{1}$.
Wenn im Nenner nur eine $1$ steht, können wir den Bruch vereinfachen zu: $x-2$.
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Bestimme die Ausgangsterme zu den gegebenen Lösungen.
Tipps
Vereinfache die zuordenbaren Terme mit Hilfe der binomischen Formeln und fasse anschließend zusammen.
Beachte: Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung!
Lösung
Wir lösen den Term $(2+x)^2 +9$ als Erstes mit Hilfe der ersten binomischen Formel und fassen anschließend gleichwertige Terme zusammen:
- $(2+x)^2 +9=4+4x+x^2 +9 = x^2 +4x +13$.
- $(5-x)^2 - 25= 25-10x+x^2-25 = x^2-10x $,
- $(x-3)^2 + 2x^2 = x^2 - 6x +9 +2x^2 = 3x^2 -6x +9$,
- $\begin{align*}-(3x + 6)^2 + 36x &= - (9x^2 +36x + 36) +36x = -9x^2 - 36x -36 +36x\\ &= -9x^2-36 \end{align*}$.
54 Kommentare
Super erklährung
voll gut
Hallo Srederer,
nach dem Bearbeiten der Aufgaben kannst du dir die Lösungen immer anzeigen lassen. Außerdem findest du in der rechten Spalte hier auf dieser Seite einen Bereich „Arbeitsblätter zum Ausdrucken“. Dort sind noch einmal alle Aufgaben zum Bearbeiten und die Lösungen vorhanden.
Viele Grüße aus der Redaktion
wo finde ich die lösungen zu den Übungsaufgaben?
hey der Chat ist ja mega thx für so viel hilfe:) kriegt man eigentlich sonst nirgendwo
Schöne Erklärung so wie die Schrift .
Dankii
SEHR GOOOOD
Hallo,
bitte beschreibt genauer, was ihr nicht verstanden habt. Gebt beispielsweise die genaue Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne könnt ihr euch auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für euch da ist.
Ich hoffe, dass wir weiterhelfen können.
Viele Grüße aus der Redaktion
ich habe bis Minute 3:54 alles verstanden aber dann wurde es unklar also kürzen von Brüchen viel mir schon immer schwer aber mit binomischen Formeln wird es für mich noch schwerer
hallo wie geht das?? ich bin einfach zu doof
ich finde es ein bisschen zu kompliziert, währe besser wenn die Erklärung vereinfacht wird.
Hallo Izumi W.,
du kannst die Formel benutzen , wenn du den Flächeninhalt eine Quadrates ausrechnen willst , dessen Seite aus a und b besteht. Der Umfang kannst du ausrechnen , in dem du alle Seiten miteinander addierst . In dem Fall beträgt der Umfang 4a + 4 b .
Kann man die Formeln bei aufgaben wie "Rechne den Flächeninhalt und den Umfang dieser Figur aus" (oder so ähnlich) benutzen? Hab das nicht ganz verstanden… LG
Hallo Ella Leen,
bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Viele Grüße aus der Redaktion
Hmm.. irgendwie bin ich zu blöd Mathe zu verstehen, echt doof, ich hasse Mathe, weil ich so schlecht darin bin. Könnte manchmal im Unterricht heul‘n. :D so schlimm ist das..
Gehe auf einer Abendschule und bin 18.
Ich finde das doof das man auf dem i Pad oder Handy nicht hoch 2 tippen kann wie sollte man dann die Aufgabe lösen
Super Video hat wurde sehr gut erklärt
Super erklärt und schöne schrift
War gut
Hallo Koklat,
die Aufgabe ist nicht falsch. In der zweiten sowie in der dritten Zeile musst du in eines der Kästchen selbst ein Plus-Zeichen eintragen. Dafür musst du in der dritten Zeile den mittleren Term schon ausrechnen.
Ich hoffe, ich habe dir ein wenig weitergeholfen. Für eine schnelle Hilfe kannst du dich gerne an die Lehrer im Fach-Chat wenden - die gehen die Aufgaben gerne mit dir zusammen durch.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Die Darstellung bei den Übungen zu 58x58 sind falsch, da am Ende das Plus zu den 64 fehlt. 2500+2x50x8 und wo soll jetzt die 64 hin, wenn da am Schluß noch einmal 8 zum Quadrat steht?
Hat mir gefallen
Hallo Erik Stiewe,
kannst du genauer sagen, was dir an diesem Video nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Erwartungen nicht erfüllt
ich habe sehr schnell und gut verstanden
Sehr gut zum wiederholen!
Danke
=)
gut verstanden
Vielen Dank!
Super Aufgaben zum üben
Habe es verstanden
gut erklärt :)
Danke
sehr gut ;)
s
c
h
ö
n
e
r
k
l
ä
r
t
c:
Danke ich hatte viele Probleme zu verstehen wo und wie und wieso die Binomische Formel anzuwenden ist jetzt weiß ich es und kann in der Schule wieder ohne Probleme mitmachen
Danke! Ich habe in der HÜ eine 1+ gehabt mit voller Punktzahl. Sehr hilfreich und gut erklärt.
Super erklärt. Endlich verstanden.
danke es war echt gut und die aufgaben auch
DANKE!!!! Endlicgh habe ich es verstanden. Das ist bestimmt schon das 5. Video zum Thema Binomische Formeln. Und endlich habe ich es verstanden. Weiter so!!!
@Margaretedavies: Mit der Tastenkombination Alt Gr + 2 kannst du auch direkt hoch 2 schreiben. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Doof, wenn man auf der Tastatur nicht hoch 2 schreiben kann. Ansonsten waere es toll!
nice
I really like this video !!!!
:)
Schönes Video Danke !
(so ordentlich erklärt)
das Thema ist voll schwer.
ich komme nie auf das ergebnis, obwohl ich die Formeln kann :(
e
p
r
s
u
Super erklärt!
danke
thx
danke :)