Die binomischen Formeln 05:14 min

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die binomischen Formeln kannst du es wiederholen und üben.

• Gib die drei binomischen Formeln an.

  Tipps

  Wenn dir die binomischen Formeln nicht mehr einfallen, kannst du einfach die Klammern jeweils ausmultiplizieren. Berechne z.B. $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$, indem du jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.

  Achte auf die korrekten Rechenzeichen.

  Lösung

  Wir verwenden zur einfachen Umformung bestimmter Terme häufig die binomischen Formeln, um uns Rechenzeit zu ersparen.

  Das Wort Binom kommt aus dem Lateinischen und setzt sich zusammen aus bi für zwei und nomen für Namen.

  Falls dir die binomischen Formeln einmal entfallen sein sollten, kannst du sie durch Ausmultiplizieren der Klammern berechnen und eventuell mit Hilfe von geeigneten Eselsbrücken auf die anderen beiden binomischen Formeln schließen.

  Wir leiten einmal zusammen die erste binomische Formel her. Beachte dabei, dass wir jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multiplizieren müssen. Wir erhalten

  $(a+b)^2= (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab + ba +b^2 = a^2+2ab+b^2$.

  Die zweite binomische Formel ist der ersten sehr ähnlich. Der Unterschied liegt im Minuszeichen. Somit ergibt sich

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Bei der dritten binomischen Formel multiplizieren wir die Summe $(a+b)$ mit der Differenz $(a-b)$ und erhalten

  $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2-b^2$.

• Stelle anhand der Skizze die Gültigkeit der ersten binomischen Formel dar.

  Tipps

  Wie kannst du allgemein den Flächeninhalt eines Quadrates und eines Rechteckes bestimmen?

  Überlege zunächst, welche Seitenlängen die einzelnen Quadrate und Rechtecke in der Skizze haben.

  Lösung

  Der Flächeninhalt des abgebildeten Quadrates kann auf zwei verschiedene Weisen bestimmt werden:

  Einerseits können wir den Flächeninhalt mit Hilfe der Seitenlänge des Quadrates berechnen. Die Seitenlänge beträgt $(a+b)$. Somit ist der Flächeninhalt des Quadrates

  $(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)^2$.

  Andererseits kann der Flächeninhalt durch die vier Teilflächen ausgedrückt werden: Das grüne Quadrat hat die Seitenlänge $a$ und somit den Flächeninhalt $a^2$. Das rote Quadrat hat die Seitenlänge $b$ und somit den Flächeninhalt $b^2$. Bei den beiden gelben Rechtecken ist jeweils eine Seitenlänge $a$ und die andere Seitenlänge $b$. Daher beträgt der Flächeninhalt eines gelben Rechtecks $a \cdot b$. Addiert man alle vier Teilflächen, so ergibt sich der Term

  $a^2 + ab + ab + b^2= a^2 + 2ab + b^2$.

  Durch Vergleich der beiden Terme, welche beide den gesamten Flächeninhalt des großen Quadrates angeben, ergibt sich die Gleichung

  $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

• Bestimme durch Anwendung der binomischen Formeln, welche Terme gleichwertig sind.

  Tipps

  Wie lauten die drei binomischen Formeln?

  Du kannst für $a$ und $b$ beliebige Variablen und Zahlen einsetzen.

  Achte darauf, dass du beim Quadrieren eines Produktes beide Faktoren quadrierst, zum Beispiel: $(3x)^2=9x^2$.

  Lösung

  Wir notieren uns zunächst die drei binomischen Formeln und vergleichen dann anschließend jeden Term damit, um herauszufinden, welche binomische Formel wir anwenden müssen.

  1. $(a+b)^2=a^2 +2ab + b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$
  3. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$

  Auf den Term $(3+x)^2$ können wir aufgrund der quadrierten Klammer und der Summe innerhalb der Klammer die erste binomische Formel anwenden. Somit erhalten wir:

  $(3+x)^2= 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2 = 9 + 6x + x^2$.

  Dementsprechend gehen wir auch bei den weiteren Termen vor.

  Der Term $(x+2)(x-2)$ entspricht der dritten binomischen Formel.

  $(4x-2)^2$ hingegen entspricht der zweiten binomischen Formel. Die Terme $(2a + x)^2$ und $(2x+\sqrt{x})^2$ entsprechen der ersten binomischen Formel. Beachte beim Umformen, dass

  $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.

• Berechne den Wert mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

  Tipps

  Bilde zunächst eine geeignete Summe, welche die Zahl $58$ als Ergebnis hat.

  Wende nun Schritt für Schritt die erste binomische Formel an.

  Lösung

  Beim Quadrieren einer zweistelligen Zahl ist es sinnvoll die Zahl in zwei Summanden aufzuspalten.

  Die einfachste Möglichkeit ist dabei, die Einer- und Zehnerstelle der Ausgangszahl jeweils als Summanden zu nehmen. So erhalten wir einen Summanden, der durch $10$ teilbar ist und einen Summanden, welcher einstellig und somit im kleinen Einmaleins vorhanden ist. Dies hat den Vorteil, dass sich solche Zahlen leicht im Kopf quadrieren lassen.

  Beim Quadrieren der Zahl $58$ ist es somit sinnvoll, als Summanden die Zahlen $50$ und $8$ zu wählen, um die erste binomische Formel anwenden zu können. Das Einsetzen der Zahlen in die erste binomische Formel liefert dir dann das Ergebnis.

  $ \begin{array}{rl} 58^2 &=& (50+8)^2 \\ &=& 50^2+2\cdot 50\cdot 8+ 8^2 \\ &=& 2500+800+64 \\ &=& 3364 \\ \end{array} $

• Vereinfache den Term soweit wie möglich.

  Tipps

  Wie lautet die zweite binomische Formel?

  Wann darf man in Brüchen kürzen?

  Lösung

  Wir wenden auf den Zähler $x^2-4x+4$ des Ausgangsterms $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ die zweite binomische Formel mit $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$ an und erhalten somit den Bruch: $\frac{(x-2)^2}{x-2}$.

  Da nun der Zähler und der Nenner denselben Faktor $(x-2)$ enthalten, können wir diesen kürzen und erhalten: $\frac{x-2}{1}$.

  Wenn im Nenner nur eine $1$ steht, können wir den Bruch vereinfachen zu: $x-2$.

• Bestimme die Ausgangsterme zu den gegebenen Lösungen.

  Tipps

  Vereinfache die zuordenbaren Terme mit Hilfe der binomischen Formeln und fasse anschließend zusammen.

  Beachte: Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung!

  Lösung

  Wir lösen den Term $(2+x)^2 +9$ als Erstes mit Hilfe der ersten binomischen Formel und fassen anschließend gleichwertige Terme zusammen:

  • $(2+x)^2 +9=4+4x+x^2 +9 = x^2 +4x +13$.

  Auf dieselbe Weise vereinfachen wir auch die weiteren Terme, wobei wir stets beachten, dass Punktrechnung immer vor Strichrechnung zu berechnen ist, und man einen Faktor mit einer Klammer multipliziert, indem man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Wir erhalten also:

  • $(5-x)^2 - 25= 25-10x+x^2-25 = x^2-10x $,
  • $(x-3)^2 + 2x^2 = x^2 - 6x +9 +2x^2 = 3x^2 -6x +9$,
  • $\begin{align*}-(3x + 6)^2 + 36x &= - (9x^2 +36x + 36) +36x = -9x^2 - 36x -36 +36x\\ &= -9x^2-36 \end{align*}$.