Tetraeder – Oberfläche

Hallo, liebe Mathematikinteressierte. Hier ist André mit einem Video zum Thema "Tetraeder - Oberfläche". Ziel des Videos ist es, den Flächeninhalt der Oberfläche eines Tetraeders zu berechnen. Nun zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet euch gut auskennen mit Dreiecken, solltet über rechte Winkel Bescheid wissen und wissen, was ein gleichseitiges Dreieck ist. Ihr solltet auch den Flächeninhalt von Dreiecken berechnen können. Als Zweites solltet ihr den Lernsatz des Pythagoras in seiner Anwendung gut beherrschen. Als Drittes solltet ihr Wurzelgesetze gut ausführen können. Und als Viertes ist es wichtig, Termumformungen und Gleichungen zu beherrschen. Ich würde sagen, dieses Video ist ausgelegt für etwa die 10. Klasse, das 2. Schulhalbjahr. Jüngere Schülerinnen und Schüler oder auch Ältere oder Erwachsene sind herzlich dazu eingeladen. Und schon geht es los. Beginnen wir mit der Begriffsbildung. Tetraeder. Tetra kommt aus dem Griechischen und bedeutet Vier, eder bedeutet: Wir haben vier Flächen. Im Deutschen also: "Vierflächner". Ich schreibe dieses Wort in Anführungsstrichen, weil es nicht benutzt wird. Einen Tetraeder zeichnet man bequemerweise, indem man die Eckpunkte eines Würfels in Kavalierperspektive darstellt. Zwei entgegengesetzt liegende Flächendiagonalen bilden dann die Eckpunkte dieses Tetraeders. Die Eckpunkte verbunden, erhalten wir die Kanten. Eine Kante ist unsichtbar. Ich habe mich für eine der 4 entschieden. Als 4 Flächen erhalten wir 1 und 2, vorne, sichtbar, 3, die große, hinten, unsichtbar und 4, die ganz kleine in der Darstellung, unten, ebenfalls unsichtbar. Ein Tetraeder ist ein sogenannter platonischer Körper. Das sind Körper von sehr hoher Symmetrie, zu denen auch der Würfel gehört. Ein Tetraeder wird von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Es ist nun klar, dass sich der Flächeninhalt der Oberfläche eines Tetraeders als die vierfache Oberfläche des Flächeninhalts jedes dieser gleichseitigen Dreiecke ergibt, also A=4×A Dreieck. Um die Beschreibung des Tetraeders zu vervollständigen, können wir sagen, es ist ein Spezialfall einer Pyramide. So, ich schaffe uns nun noch etwas Arbeitsfläche, um die Herleitung vollziehen zu können. Als Erstes zeichne ich ein gleichseitiges Dreieck, die Seitenlängen seien hier a. Ich fälle das Lot von der Spitze auf die Grundseite, erhalte somit die Höhe ha, und halbiere die Seite a. Nun können wir den Flächeninhalt des Dreiecks formulieren: A Dreieck=(g×h)/2 - Grundseite × Höhe / 2, das ist die Dreiecksformel. Klein g ist die Seite unseres Dreiecks, nämlich a, und die Höhe ist die Höhe ha. Ha berechnen wir nun nach dem Lehrsatz das Pythagoras. Wir nehmen eins der beiden kleinen Dreiecke, die wir erhalten haben. Dort sind die Katheten jeweils a/2 bzw. ha. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras gilt: (a/2)²+ha²=a². Äquivalent dazu ist die Aussage: (a²/2²)+ha²=a². 2. Zeile der Pythagorasherleitung: (a²/4)+ha²=a². Nun bringen wir a²/4 auf die rechte Seite der Gleichung durch Subtraktion: ha²=a²-(a²/4). 3. Zeile der Pythagorasherleitung: Wir schreiben nun auf der rechten Seite der Gleichung die Teilterme mit ihren Koeffizienten als Brüche, wir erhalten: ha²=(4/4)a²-¼a². Jetzt wird a² ausgeklammert, es steht hinten. Vorne erhalten wir für die Ausklammerung: (4/4)-¼. 4. Zeile der Pythagorasherleitung: ha²= - und nun werden beide Brüche auf den Hauptnenner gebracht. 4-1, Bruchstrich, im Nenner steht 4, ×a² und das =(3/4)a². Wir ziehen die Wurzel und beginnen wieder in der ersten Zeile. Zunächst schreiben wir nur das Wurzelzeichen über beide Terme links und rechts. Nun werden Wurzelgesetze angewendet. Links haben wir ein Quadrat und ziehen die Wurzel, das heißt, wir erhalten wieder ha. Auf der rechten Seite können wir die Wurzel über die einzelnen Teilterme schreiben, da es sich um ein Produkt respektive Quotienten handelt. 3. Zeile der Pythagorasherleitung: Links bleibt stehen ha, rechts ziehen wir die Wurzeln aus den einzelnen Teiltermen, \sqrt3 bleibt stehen, \sqrt4 ergibt 2 und die Wurzel aus a² ist a. Folglich erhalten wir: ha=(\sqrt3/2)a. Nun noch schnell das Ergebnis mit orangefarbener Schrift unter dem Dreieck gesichert, und wir können den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks berechnen. 2. Zeile im Herleitungskästchen: A Dreieck=a×(\sqrt3/2)a, großer Bruchstrich, /2=(\sqrt3/2)×a×a, großer Bruchstrich, /2. 3. Zeile im Herleitungskästchen: Die linke Seite bleibt, auf der rechten Seite schreiben wir für a×a a². Und zur Symbolisierung der weiteren Rechnung werden die beiden Zweien mit unterschiedlicher Farbe gekennzeichnet. \sqrt3 und a² werden in den Zähler des Bruches geschrieben, im Nenner steht die rote 2. Das Ergebnis wird durch die blaue 2 dividiert. 4. Zeile des Herleitungskästchens: Die linke Seite bleibt, auf der rechten Seite schreiben wir statt /2 /(2/1). Aus der Division machen wir eine Multiplikation, indem wir statt 2/1 den Kehrwert 1/2 schreiben. Letzte Zeile im Herleitungskästchen: Wir erhalten im Zähler auf der rechten Seite der Gleichung \sqrt3×a²×1 und im Nenner 2×2, und erhalten schließlich, unten rechts: ((\sqrt3)a²)/4. Das Ergebnis wollen wir noch mit grüner Schrift unterhalb des Dreiecks notieren: A Dreieck=((\sqrt3)/4)×a², auch diese Darstellungsweise ist möglich. Und nun kommen wir zum krönenden Abschluss, der Berechnung des Flächeninhalts der Oberfläche des Tetraeders. Wir notieren noch einmal in der 1. Zeile des Herleitungskästchens: A=4×A-Dreieck. Demzufolge ergibt sich in der 2. Zeile: A=4× - und wir setzen den Wert des Flächeninhalts des Dreiecks ein: ((\sqrt3)/4)×a². Wir schreiben weiter in der 2. Zeile: (4/1)×((\sqrt3)/4)×a². Wir können nun die beiden Vieren gegeneinander kürzen. In der 3. Zeile erhalten wir: =((\sqrt3)/1)×a². Und in der 4. Zeile schließlich das Endergebnis: A=(\sqrt3)×a². Das ist das Endergebnis, welches wir auch unterhalb des Tetraeders notieren wollen. Der ermittelte Flächeninhalt entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge a, multipliziert mit \sqrt3. Danke, dass ihr so schön mitgemacht habt. Ich wünsche euch alles Gute. Tschüss!