Tetraeder – Volumen

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, hier ist André. Ich lade euch herzlich ein zur Betrachtung des Videos “Das Volumen des Tetraeders”. Und nun zu den Voraussetzungen. Es wäre schön als erstes, wenn ihr euch das Video, “Tetraeder-Oberfläche” angeschaut habt. Dort habe ich auch einige Voraussetzungen genannt. Als zweites wäre es wichtig, das hatte ich dort nicht gesagt, dass ihr natürlich auch die Bruchrechnung recht gut beherrscht. Nun zum Begriff: Tetraeder; tetra kommt aus dem Griechischen, bedeutet vier, eder kommt vom Wort Fläche; also “Vierflächner”. Das Wort habe ich in Anführungszeichen gesetzt, weil im Deutschen niemand von Vierflächner spricht. Ein Tetraeder wird von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Ein Tetraeder ist ein platonischer Körper. Es ist eine spezielle Pyramide. Somit ergibt sich auch gleich links, ziemlich weit unten, mit pinker Farbe geschrieben, die Formel für das Volumen des Tetraeders. V=13Agh, Grundfläche mal dazugehörige Höhe. Die Grundfläche A_g ist gleich die Seitenfläche groß A, grün geschrieben. Das ist die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. So, A=34a2. Die entsprechende Formel wurde im Video “Tetraeder-Oberfläche” hergeleitet. Was uns noch fehlt, ist h, orangefarben, die Höhe des Tetraeders. Wie kann man die Höhe des Tetraeders h bestimmen? Zunächst kann man einmal die drei Höhen der Grundfläche des Tetraeders einzeichnen. Der gemeinsame Schnittpunkt ist gleichzeitig der Lotfußpunkt der Höhe des Tetraeders. Der längere Abschnitt vom Schnittpunkt, l, h und a bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn man das Tetraeder nach rechts um 90 Grad kippt, erhält man dieses rechtwinklige Dreieck. Somit ergibt sich nach dem Lehrsatz des Pythagoras, l2+h2=a2. h suchen wir, wie kommen wir zu l? l erhalten wir ebenfalls nach dem Lehrsatz des Pythagoras. Schauen wir uns die Grundseite unseres Tetraeders an. Das kleine entstandene Dreieck wird durch drei Seiten a/2, s und l begrenzt, wie ich es eingezeichnet habe. Dann gilt nach dem Lehrsatz des Pythagoras: l2=s2+(a2)2. Da s logischerweise die Differenz aus der Höhe des Dreiecks, hier schwarz geschrieben, minus l ist, erhalten wir äquivalent umgeformt: l2=(h-l)2+a24. Wir machen rechts in der Bildmitte weiter. Wir sehen nach Auflösung der Klammer (h-l)2, dass wir auf beiden Seiten der entstandenen Gleichung l² erhalten. Diese beiden Werte heben sich auf. Beim Übergang zur zweiten Zeile erhalten wir schließlich 0=h2+a24-2hl. Die Höhe h=32a. Den Wert für die Höhe setzen wir in der dritten Zeile ein und erhalten: 34a2+14a2-232la. Wir können nun die gesamte Gleichung durch a dividieren. In der vorletzten Zeile erhalten wir: 0=a-3l, wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 3l und teilen das erhaltene Ergebnis durch 3. Somit ergibt sich: l=a3. Nun können wir h bestimmen. Nach dem Pythagoras, leicht umgeformt, ergibt sich: h2=a2-l2. Für l können wir einsetzen a3 und erhalten in der zweiten Zeile unter dem Dreieck: h2=a2-(a3)2=a2-a2(3)2=a2-a23. Das ist schon das Ergebnis in der letzten Zeile unterhalb des Dreiecks. Wir machen weiter rechts und beginnen mit h2=33a2-13a2. Wir haben die Brüche auf einen Hauptnenner gebracht und erhalten in der zweiten Zeile: h2=3-13a2 und schließlich in der dritten Zeile: h2=23a2. Jetzt ziehen wir die Wurzel und erhalten: h2=23a2. Wir machen links im Herleitungskästchen weiter und erhalten mit orangefarbener Farbe h=23a. Das Ergebnis notieren wir in den linken unteren Bildrand. Wir verwenden nun zur Volumenberechnung die Formel der Pyramide, etwa mittig im Herleitungskästchen. V=13Ah ist gleich, Zeile darunter, 1/3 mal - und für A, grün, setzen wir ein 34a2 - mal - und für h den im linken unteren Bildrand errechneten Wert, 23a. Die dritten Wurzeln kürzen sich heraus und im Nenner erhalten wir eine zwölf. Also das Endergebnis ergibt sich: V=212a3. So ein bemerkenswertes Ergebnis hat auch ein Kästchen verdient. Ich freue mich, dass ihr durchgehalten habt und danke für eure Aufmerksamkeit. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.