Volumen und Oberfläche von Pyramiden

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Pyramide?
  • Rechteckige Grundfläche
  • Weitere Grundflächen
• Quadratische Pyramiden
  • Das Volumen einer quadratischen Pyramide
  • Die Mantel- sowie Oberfläche einer quadratischen Pyramide
  • Beispiel
• Was sind platonische Körper?
• Tetraeder
  • Die Oberfläche eines Tetraeders
  • Das Volumen eines Tetraeders
  • Beispiel
• Oktaeder

Was ist eine Pyramide?

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper. Sie hat eine Spitze und eine Grundfläche. Die Grundfläche kann ein Rechteck, Dreieck oder ein beliebiges n-Eck sein. Jeder Eckpunkt der Grundfläche wird mit der Spitze der Pyramide verbunden.

Je nach Art der Grundfläche unterscheidet man verschiedene Pyramiden.

Rechteckige Grundfläche

Hier siehst du links das Schrägbild und rechts das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Daran kannst du einige Eigenschaften erkennen.

• Die Anzahl der Flächen: Eine rechteckige Pyramide besteht aus fünf Flächen, nämlich der rechteckigen Grundfläche sowie vier Seitenflächen. Diese sind Dreiecke. Die Seitenflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
• Die Anzahl der Ecken: Eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche hat insgesamt fünf Ecken, vier Ecken der rechteckigen Grundfläche sowie die Spitze.
• Die Anzahl der Kanten: Die rechteckige Grundfläche hat vier Kanten als Übergang zu den Seitenflächen. Jeweils zwei Seitenflächen haben eine gemeinsame Kante. Insgesamt sind dies acht Kanten.

Wo findest du rechteckige Pyramiden in deiner Umgebung?

• Die Dächer von Kirchtürmen haben oft die Form einer Pyramide.
• Sicher hast du auch schon einmal von den ägyptischen Pyramiden gehört oder Bilder von diesen Pyramiden gesehen. Schon die alten Ägypter kannten die geometrische Form der Pyramide.

Weitere Grundflächen

• Wenn die Grundfläche ein Dreieck ist, spricht man von einem Tetraeder.
• Eine Pyramide mit einer fünfeckigen Grundfläche wird als fünfeckige Pyramide bezeichnet.

Ist die jeweilige Grundfläche regelmäßig, so heißt auch die Pyramide regelmäßig. Zum Beispiel ist eine quadratische Pyramide eine regelmäßige Pyramide.

Schauen wir uns nun einige Beispiele etwas genauer an.

Quadratische Pyramiden

Schauen wir uns noch einmal das Schrägbild sowie das Netz einer quadratischen Pyramiden mit den zugehörigen Beschriftungen an.

• Die Höhe der Pyramide wird mit $h$ bezeichnet. Diese erhältst du, indem du das Lot von der Spitze der Pyramide auf deren Grundseite fällst.
• Die Seitenlänge $s$ ist die Länge eines Schenkels eines Seitendreiecks. Diese sind alle gleichschenklig, wenn sich die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche befindet. Eine solche Pyramide wird gerade Pyramide genannt.
• Die Seitenlänge der Grundfläche wird mit $a$ bezeichnet.
• Die Höhe der vier Seitendreiecke ist jeweils gleich groß. Sie wird mit $h_s$ bezeichnet.

Das Volumen einer quadratischen Pyramide

Allgemein ist das Volumen einer Pyramide gegeben durch die Formel

$V=\frac13\cdot G\cdot h$.

Dabei ist $G$ der Inhalt der Grundfläche.

Also gilt für eine quadratische Pyramide

$V=\frac13\cdot a^2\cdot h$.

Die Mantel- sowie Oberfläche einer quadratischen Pyramide

Die Mantelfläche ergibt sich als Summe der Seitenflächen. Da bei einer quadratischen Pyramide dies vier gleichschenklige Dreiecke mit der Höhe $h_s$ und der Grundseite $a$ sind, erhält man

$M=4\cdot \frac12\cdot a\cdot h_s=2\cdot a\cdot h_s$.

Die Oberfläche erhältst du, wenn du zu der Mantelfläche die Grundfläche addierst: $O=M+G$, also für eine quadratische Pyramide

$O=2\cdot a\cdot h_s+a^2=a\cdot (a+2h_s)$.

Beispiel

Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe ist das Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach (1679–1738) und das Wahrzeichen der Stadt.

Ihre Seitenkantenlängen betragen $s=8,04~m$ und die Länge der Grundseite $a=6,05~m$.

Berechnung der Mantelfläche: Die Pyramide soll neu gestrichen werden. Wie groß ist die zu streichende Fläche? Hier ist nach der Mantelfläche gefragt, da der Boden ja nicht gestrichen wird.

Du verwendest die Formel $M=2\cdot a\cdot h_s$. Allerdings kennst du $h_s$ nicht, die Höhe eines Seitendreiecks. Schaue dir die Skizze zu einem solchen Seitendreieck an. Insbesondere ist hier das halbe Seitendreieck, welches rechtwinklig ist, (rechts) von Bedeutung.

Nun kannst du den Satz des Pythagoras verwenden zur Berechnung von $h_s$

$\left(\frac a2\right)^2+h_s^2=s^2$.

Diese Gleichung kannst du nach $h_s$ umformen zu

$h_s=\sqrt{s^2-\left(\frac a2\right)^2}$.

Setze nun die bekannten Größen ein. So erhältst du $h_s\approx 7,45~m$.

Die Mantelfläche beträgt also

$M=6,05~m\cdot 2\cdot 7,45~m\approx 90,15~m^2$.

Die Höhe der Pyramide: In der Pyramide soll genau in der Mitte eine $6,50~m$ hohe Pflanze aufgestellt werden. Passt diese in die Pyramide? Hier ist nach der Höhe gefragt. Der Einfachheit halber wird die Ausdehnung der Pflanze außer Acht gelassen und nur deren Höhe betrachtet.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, verwendest du den Parallelschnitt, ein gleichschenkliges Dreieck, welches entsteht, wenn du parallel zu einer Grundseite durch die Spitze der Pyramide schneidest. Der halbe Parallelschnitt ist wieder ein rechtwinkliges Dreieck.

Du verwendest noch einmal den Satz des Pythagoras und formst diesen nach $h$ um.

$h=\sqrt{h_s^2-\left(\frac a2\right)^2}$

Einsetzen der bekannten Größen führt zu $h\approx 6,81~m$. Das bedeutet, dass die Pflanze in die Pyramide passt.

Was sind platonische Körper?

Platonische Körper, auch Platon’sche Körper, zeichnen sich dadurch aus, dass sie ausschließlich von gleichseitigen, kongruenten Vielecken eines Typs begrenzt werden.

Jedem dieser Körper ordnete Platon (ca. 428 - 348 v. Chr.) eines der Elemente des altgriechischen Kosmos zu. Damit stellten diese Körper in der griechischen Weltsicht die Bausteine des gesamten Kosmos dar.

Heutzutage findet man alle diese Körper, wegen ihrer besonderen Eigenschaft, als „Würfel“ von Gesellschaftsspielen.

Es gibt nur fünf platonische Körper.

• Das Tetraeder oder Vierflächner: Es wird durch vier gleichseitige Dreiecke begrenzt. Zuordnung: Feuer.
• Das Hexaeder, Sechsflächner, der Würfel: Der Würfel wird begrenzt durch sechs Quadrate. Zuordnung: Erde.
• Das Okateder oder Achtflächner: Es wird begrenzt durch acht gleichseitige Dreiecke. Du kannst dir ein Oktader vorstellen wie eine doppelte quadratische Pyramide. Zuordnung: Luft.
• Das Dodekaeder oder Zwöfflächner: Es wird begrenzt durch zwölf regelmäßige Fünfecke. Zuordnung: Quintessenz – der Himmelsäther.
• Das Ikosaeder oder Zwanzigflächner: Es wird begrenzt durch zwanzig gleichseitige Dreiecke. Zuordnung: Wasser.

Tetraeder

Ein Tetraeder, oder auch Vierflächner, ist ein platonischer Körper. Es wird durch vier gleichseitige und kongruente Dreiecke begrenzt. Ein Tetraeder besitzt

• vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen,
• sechs (gleich lange) Kanten sowie
• vier Ecken, in denen je drei Flächen aufeinandertreffen.

Die Oberfläche eines Tetraeders

Die Seitenlänge sei $a$. Dann kann mit Hilfe der folgenden Formeln die Oberfläche eines Tetraeders berechnet werden.

• Die Höhe eines Seitendreiecks ist gegeben durch $h_s=\frac{\sqrt 3}{2}a$.
• Damit kann die Fläche eines Seitendreiecks berechnet werden $A=\frac{\sqrt 3}4a^2$.
• Somit ist die Oberfläche des Tetraeders gegeben durch $O=4\cdot A=\sqrt 3\cdot a^2$.

Das Volumen eines Tetraeders

• Die Höhe eines Tetraeders ist gegeben durch $h=\frac{\sqrt 6}3a$.
• Damit kann das Volumen des Tetraeders berechnet werden: $V=\frac13\cdot A\cdot h$, wobei $A$ die Fläche eines Seitendreiecks ist. Also gilt

$\quad~~~V=\frac13\cdot \frac{\sqrt 3}4a^2\cdot \frac{\sqrt 6}3a=\frac{\sqrt 2}{12}a^3$.

Beispiel

Es gibt Trinkpakete in Form eines Tetraeders. Wie lang ist die Grundseite $a$, wenn das Fassungsvermögen dieser Trinkpakete $330~ml~\hat =~330~cm^3$ beträgt?

Du verwendest die Volumenformel und formst diese nach $a$ um.

$\begin{array}{rclll} \frac{\sqrt 2}{12}a^3&=&330&|&\cdot 12~|~:\sqrt 2\\ a^3&=&\frac{330\cdot 12}{\sqrt 2}&|&\sqrt[3]{~~~}\\ a&=&\sqrt[3]{\frac{330\cdot 12}{\sqrt 2}}\\ &\approx&14,1 \end{array}$

Die Grundseite hat also die Länge $14,1~cm$.

Oktaeder

Das Oktaeder oder Achtflächner ist einer der fünf platonischen Körper. Ein Oktaeder besitzt

• acht gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen,
• zwölf (gleich lange) Kanten sowie
• sechs Ecken, in denen je vier Flächen aufeinandertreffen.

Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche.

Damit ist die Oberfläche eines Oktaeders das Doppelte des Mantels einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

• Die Höhe eines Seitendreiecks ist gegeben durch $h_s=\frac{\sqrt 3}{2}a$.
• Damit kann die Fläche eines Seitendreiecks berechnet werden $A=\frac{\sqrt 3}4a^2$.
• Somit ist die Oberfläche des Oktaeders gegeben durch $O=8\cdot A=2\sqrt 3\cdot a^2$.

Ebenso ist das Volumen eines Oktaeders das Doppelte des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

• Die Höhe der Pyramide ist gegeben durch $h=\frac{1}{\sqrt 2}a$.
• Damit kann das Volumen des Oktaeders berechnet werden durch:

$\quad ~~~V=2\cdot \frac13\cdot a^2\cdot \frac{1}{\sqrt 2}a=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$.