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Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen

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Die Autor/-innen
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Annejahn089

Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen

lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Beschreibung Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen

Hallo! Kann man auch Flächen unter einem Funktionsgraphen berechnen, die oben oder unten ins Unendliche reichen? Ist dieser Flächeninhalt dann auch unendlich groß oder hat er einen endlichen Wert? Diese Frage beantworte ich dir in diesem Video. Es werden uneigentliche Integrale vorgestellt, bei denen Funktionen über halboffenen Intervallen berechnet werden. Es entsteht eine nach oben oder nach unten ins Unendliche reichende Fläche, da die Funktion an der offenen Intervallgrenze eine Asymptote besitzt. Dazu berechnen wir ein Beispiel für eine Fläche, die oben ins Unendliche reicht. Dann gebe ich dir die genaue Definition des uneigentlichen Integrals über halboffene Intervalle und zum Schluss berechnen wir den Flächeninhalt einer Fläche, die unten ins Unendliche reicht. Viel Spaß beim Lernen!

Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Berechnung des uneigentlichen Integrals $\int\limits_0^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx$.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, also $F'(x)=f(x)$.

    Verwende für die Bestimmung einer Stammfunktion von $f(x)$

    $\frac 3{\sqrt x}=3~x^{-\frac12}$

    sowie die Potenzregel der Integration

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$

    für $r\neq -1$.

    Du darfst verwenden, dass

    $\lim\limits_{x\to 0}~\sqrt x=0$

    ist.

    Lösung

    Es soll dieses uneigentliche Integral berechnet werden. Warum spricht man denn von einem uneigentlichen Integral? Die Funktion

    $f(x)=\frac3{\sqrt x}$

    ist am linken Rand des Intervalls $I=(0;1]$, also für $a=0$ nicht definiert. Existiert trotzdem ein (endlicher) Flächeninhalt, welcher von dem Graphen der Funktion $f(x)$ sowie der x-Achse über dem Intervall $I$ eingeschlossen wird?

    Um dies zu untersuchen, wird das folgende bestimmte Integral berechnet

    $\int\limits_z^1~f(x)~dx$,

    und dann untersucht, ob für dieses Integral der Grenzwert $\lim\limits_{z\to 0}$ existiert.

    Für das bestimmte Integral benötigt man eine Stammfunktion von $f(x)$. Diese kann so berechnet werden:

    $\int~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=3\int~x^{-\frac12}~dx=\left[ 3\cdot \frac1{\frac12}x^{\frac12} \right] = \left[ 6\sqrt x \right]$.

    Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kann nun das bestimmte Integral berechnet werden:

    $\int\limits_z^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=[6\sqrt x]_z^1=6\sqrt 1-6\sqrt z=6-6\sqrt z$.

    Zuletzt kann der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet werden:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}(6-6\sqrt z)=6-0=6$.

    Zusammenfassend ist das uneigentliche Integral

    $\int\limits_0^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=6$.

  • Berechne das uneigentliche Integral für die gegebene Funktion.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Es ist

    $\int\limits_z^1$~$\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\left[-2\sqrt x+\frac12x^2\right]_z^1$.

    Beachte:

    • Bei einem bestimmten Integral kann durchaus ein negativer Wert herauskommen.
    • Eine Fläche ist jedoch immer positiv.
    Lösung

    Von dieser Funktion soll das uneigentliche Integral über dem Intervall $I=(0;1]$ berechnet werden.

    Dabei geht man wie folgt vor:

    • Man berechnet das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze $z>0$.
    • Für den so erhaltenen Wert des bestimmten Integrals ermittelt man den Grenzwert für $z$ gegen $0$.
    Zur Berechnung des bestimmten Integrals verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Also benötigt man eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$:

    $\int~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\int~(-x^{-\frac12}+x)~dx=- \frac1{\frac12}x^{\frac12}+\frac12x^2=-2\sqrt x+\frac12x^2$.

    Damit ist

    $\int\limits_z^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\left[-2\sqrt x+\frac12x^2\right]_z^1=-2\sqrt 1+\frac12^2-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)=-1,5-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)$.

    Nun kann der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet werden:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}\left(-1,5-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)\right)=-1,5-0=-1,5$.

    Dieser Wert ist negativ, weil das Flächenstück unterhalb der x-Achse liegt.

    Zusammenfassend ist das uneigentliche Integral

    $\int\limits_0^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=-1,5$.

    Als Flächeninhalt erhält man somit $1,5$ [FE].

  • Bestimme eine Stammfunktion der Funktion $f(x)=x+\frac2{\sqrt x}$.

    Tipps

    Schreibe den Term mit der Wurzel als Potenz und verwende die Potenzregel der Integration:

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$

    für $r\neq -1$.

    Für die Stammfunktion $F(x)$ gilt

    $F'(x)=f(x)$.

    Lösung

    Um das uneigentliche Integral dieser Funktion über einem vorgegebenen Intervall zu bestimmen, muss man

    • ein bestimmtes Integral mit einer variablen Grenze berechnen und
    • dann den Grenzwert dieses bestimmten Integrals bestimmen.
    Das bedeutet, man muss zunächst ein bestimmtes Integral berechnen. Hierfür benötigt man eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$.

    Zuerst schreibt man $f(x)$ um:

    $f(x)=x+\frac2{\sqrt x}=x+2x^{-\frac12}$.

    Nun kann eine Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$ für $r\neq -1$

    bestimmt werden:

    $\int~f(x)~dx=\int~\left(x+2x^{-\frac12}\right)~dx=\frac12x^2+2 \frac1{\frac12}x^{\frac12}=\frac12x^2+4\sqrt x$.

    Diese Stammfunktion kann zur Probe wieder abgeleitet werden. Es muss $f(x)$ herauskommen.

  • Leite den Wert für das uneigentliche Integral her.

    Tipps

    Berechne zunächst das bestimmte Integral

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx$.

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Es ist

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx=16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)$.

    Lasse bei dem bestimmten Integral mit der variablen unteren Grenze $z$ diese gegen $0$ gehen.

    Lösung

    Um dieses uneigentliche Integral zu bestimmen, muss man

    • ein bestimmtes Integral mit einer variablen unteren Grenze $z$ berechnen und
    • dann den Grenzwert dieses bestimmten Integrals für $z$ gegen $0$ bestimmen.
    Das bedeutet, man muss zunächst ein bestimmtes Integral berechnen. Hierfür benötigt man eine Stammfunktion von $f(x)$:

    $F(x)=\frac12x^2+4\sqrt x$.

    Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden:

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx=\left[\frac12x^2+4\sqrt x\right]_z^4=\frac124^2+4\sqrt 4-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)=16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)$.

    Von diesem Ergebnis wird der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet

    $\lim\limits_{z\to 0}\left(16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)\right)=16-0=16$.

    Das uneigentliche Integral, also der Flächeninhalt, beträgt somit $16$ [FE].

  • Beschreibe, was ein uneigentliches Integral ist, indem du den Satz vervollständigst.

    Tipps

    Beachte: Wenn oberer und unterer Grenzwert bei der Integration übereinstimmen, hat das Integral den Wert $0$.

    Es ist nur eine Definition richtig.

    Lösung

    Für eine auf dem Intervall $I=(a;b]$ stetige Funktion $f(x)$ ist das uneigentliche Intervall am linken Intervallrand wie folgt definiert:

    Wenn der Grenzwert

    $\lim\limits_{z\to a}~\int\limits_z^b~f(x)~dx$

    existiert, dann heißt dieser Grenzwert

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx$

    das uneigentliche Integral von $f(x)$ über dem Intervall $I$.

  • Berechne für verschiedene Werte $a$ das uneigentliche Integral der Funktion $f(x)=3+\frac1{\sqrt x} $ über dem Intervall $I=(0;a]$.

    Tipps

    Berechne erst einmal das bestimmte Integral

    $\int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x} \right)~dx$.

    Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch $F(X)=3x+2\sqrt x$.

    Je größer $a$, desto größer auch der Flächeninhalt.

    Lösung

    Das uneigentliche Integral über dem Intervall $I=(0;a]$ soll für diese Funktion berechnet werden.

    Zunächst wird das bestimmte Integral

    $\begin{align} \int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x} \right)~dx & =\left[3x+2\sqrt x\right]_z^a\\ & =3a+2\sqrt a-(3z+2\sqrt z) \end{align}$

    berechnet.

    Von diesem bestimmten Integral wird der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x}\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}\left(3a+2\sqrt a-(3z+2\sqrt z)\right)=3a+2\sqrt a$.

    Nun können in diese Formel verschiedene Werte für $a$ eingesetzt werden:

    • $a=1$ führt zu dem Flächeninhalt $A_1=3\cdot 1+2\sqrt 1=3+2=5$
    • $a=4$ führt zu dem Flächeninhalt $A_4=3\cdot 4+2\sqrt 4=12+4=16$
    • $a=6$ führt zu dem Flächeninhalt $A_6=3\cdot 6+2\sqrt 6\approx 18+4,9= 22,9$
    • $a=9$ führt zu dem Flächeninhalt $A_9=3\cdot 9+2\sqrt 9=27+6=33$
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