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Vektorräume – Beispiele

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Die Autor/-innen
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Frank Steiger
Vektorräume – Beispiele
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Beschreibung Vektorräume – Beispiele

Weißt du bereits, was ein Vektorraum ist? Du rechnest ganz selbstverständlich mit Vektoren im IR² oder IR³, addierst diese oder multiplizierst diese mit einer Zahl. Mit diesen Operationen erfüllen die genannten Räume die Axiome, welche einen Vektorraum definieren. Bei den Nachweisen kannst du die bekannten Regeln, wie zum Beispiel das Assotiativgesetz, aus dem Bereich der reellen Zahlen verwenden. Ich hoffe, du kannst alles gut verstehen. Falls du Fragen oder Anmerkungen hast, so schreibe mir gerne einen Kommentar. Bis zum nächsten Mal, Dein Frank.

Vektorräume – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektorräume – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie das Kommutativgesetz sowie Assoziativgesetz der Addition im $\mathbf{R}^2$ nachgewiesen werden können.

    Tipps

    Verwende das Kommutativgesetz der Addition der reellen Zahlen: $a+b=b+a$.

    Verwende das Assoziativgesetz der Addition der reellen Zahlen: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

    Lösung

    Alle Vektorraumeigenschaften mit der hier erklärten Addition können Koordinate für Koordinate geführt werden.

    Das Kommutativgesetz $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$

    $\vec a+\vec b=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}$.

    Nun können in jeder Koordinate die Reihenfolge der Addition vertauscht werden:

    $\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ b_2+a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$.

    Auf der rechten Seite steht die Summe der beiden Vektoren $\vec b+\vec a$.

    Das Assoziativgesetz $(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

    $(\vec a+\vec b)+\vec c=\left(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (a_1+b_1)+c_1 \\ (a_2+b_2)+c_2 \end{pmatrix}$.

    Nun kann in jeder Koordinate das Assoziativgesetz der Addition der reellen Zahlen angewendet werden:

    $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} (a_1+b_1)+c_1 \\ (a_2+b_2)+c_2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a_1+(b_1+c_1) \\ a_2+(b_2+c_2) \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}\right)\\\\ &=&\vec a+(\vec b+\vec c) \end{array}$.

    Damit ist das Assoziativgesetz nachgewiesen.

  • Vervollständige den Nachweis des neutralen Elementes sowie des Assoziativgesetzes der Multiplikation im $\mathbb{R}^2$.

    Tipps

    Du kannst verwenden, dass im Bereich der reellen Zahlen

    • $1\cdot a=a$ sowie
    • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
    gelten.

    Du führst die jeweiligen Nachweise koordinatenweise.

    Lösung

    Sowohl das neutrale Element als auch das Kommutativgesetz der Multiplikation werden für jede Koordinate geführt.

    Das neutrale Element $1\cdot \vec a=\vec a$

    $1\cdot \vec a=1\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot a_1 \\ 1\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

    Da die $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist, gilt:

    $\begin{pmatrix} 1\cdot a_1 \\ 1\cdot a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\vec a$.

    Das Assoziativgesetz $(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

    $(u\cdot v)\cdot\vec a=(u\cdot v)\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (u\cdot v)\cdot a_1 \\ (u\cdot v)\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

    Nun kann in jeder Koordinate das Assoziativgesetz der Multiplikation der reellen Zahlen angewendet werden:

    $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}(u\cdot v)\cdot a_1 \\ (u\cdot v)\cdot a_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} u\cdot (v\cdot a_1) \\ u\cdot (v\cdot a_2) \end{pmatrix} \\ \\ &=& u\cdot \begin{pmatrix} v\cdot a_1 \\ v\cdot a_2 \end{pmatrix} \\ \\ &=& u\cdot \left(v\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\right)\\ \\ &=& a\cdot(v\cdot \vec a) \end{array}$

    Damit ist auch das Assoziativgesetz der Multiplikation nachgewiesen.

  • Weise eines der beiden Distributivgesetze für $\mathbb{R}^2$ nach.

    Tipps

    Verwende das Distributivgesetz im Bereich der reellen Zahlen

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Du kannst den Nachweis Koordinate für Koordinate führen.

    Du kannst einen Vektor, dessen Koordinaten die Summen der Koordinaten zweier Vektoren ist auch als Summe dieser Vektoren schreiben.

    Lösung

    Es soll das Distributivgesetz 1 nachgewiesen werden:

    $(u+v)\cdot \vec a=u\cdot \vec a+v\cdot \vec a$.

    Zunächst wird die skalare Multiplikation angewendet:

    $(u+v)\cdot \vec a=(u+v)\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (u+v)\cdot a_1 \\ (u+v)\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

    Im Bereich der reellen Zahlen gilt das Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$. Dieses wird nun angewendet:

    $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} (u+v)\cdot a_1 \\ (u+v)\cdot a_2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} u\cdot a_1+v\cdot a_1 \\ u\cdot a_2+v\cdot a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} u\cdot a_1 \\ u\cdot a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v\cdot a_1 \\ v\cdot a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&u\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&u\cdot \vec a+v\cdot \vec a \end{array}$.

    Ebenso kann das Distributivgesetz 2 $u\cdot(\vec a+\vec b)=u\cdot \vec a+u\cdot \vec b$ nachgewiesen werden.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Beim Distributivgesetz multiplizierst du den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

    Die resultierenden Produkte addierst oder subtrahierst du.

    Wenn eine Aussage nicht korrekt ist, genügt ein Gegenbeispiel.

    Beachte, dass die Subtraktion im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ ist: $a-b\neq b-a$.

    Lösung

    Die Differenz zweier Vektoren ist nicht kommutativ. Dies kann nachgewiesen werden mit der Tatsache, dass die Subtraktion im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ ist. Der Nachweis wird dann koordinatenweise geführt.

    Wenn man die nebenstehende Definition der Differenz fortführt, gilt

    $\begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+(-b_1) \\ a_2+(-b_2) \end{pmatrix}=\vec a +(-\vec b)$.

    $-\vec b$ ist der inverse Vektor der Addition zu dem Vektor $\vec b$.

    Damit und mit den Vektorraumeigenschaften können die Distributivgesetze nachgewiesen werden:

    • $u\cdot (\vec a-\vec b)=u\cdot(\vec a+(-\vec b))=u\cdot \vec a+u\cdot (-\vec b)$
    • Damit ist $u\cdot (\vec a-\vec b)=u\cdot \vec a+(u\cdot(-1))\cdot \vec b=u\cdot \vec a-u\cdot \vec b$.
    Auch das andere Distributivgesetz kann nun nachgewiesen werden:

    $(u-v)\cdot \vec a=(u+(-v))\cdot \vec a=u\cdot \vec a+(-v)\cdot \vec b=u\cdot\vec a-v\cdot\vec a$.

  • Gib das neutrale sowie inverse Element der Addition im $\mathbb{R}^2$ an.

    Tipps

    Beachte, dass der Nullvektor ein Vektor, und somit ein Element des $\mathbb{R}^2$ ist.

    Überprüfe die Vektorraumeigenschaften koordinatenweise.

    Beachte, dass die reelle Zahl $0$ das neutrale Element der Addition bei den reellen Zahlen ist.

    Lösung

    Die Addition zweier Vektoren ist koordinatenweise definiert. Das bedeutet, dass jeder Nachweis der Vektorraumeigenschaften koordinatenweise geführt werden kann.

    Das neutrale Element der Addition der reellen Zahlen ist die reelle Zahl $0$. Also ist

    $\vec 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

    der gesuchte Nullvektor.

    Warum ist das so? Es gilt $a_1+0=a_1$ sowie $a_2+0=a_2$.

    Ebenso ist

    $-\vec a=\begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \end{pmatrix}$

    der zu $\vec a$ inverse Vektor.

    Warum ist das so? Es gilt $a_1-a_1=0$ sowie $a_2-a_2=0$.

  • Entscheide, ob das Distributivgesetz auch im $\mathbb{R}^3$ gilt.

    Tipps

    Es gilt im Bereich der reellen Zahlen das Distributivgesetz:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Die erste Koordinate des Vektors $\vec a$ ist $a_1$, die zweite $a_2$ und die dritte $a_3$.

    Du kannst jede Rechnung koordinatenweise betrachten.

    Lösung

    Es soll das Distributivgesetz 2 nachgewiesen werden:

    $u\cdot (\vec a+\vec b)=u\cdot \vec a+u\cdot \vec b$.

    Zunächst wird die beiden Vektoren addiert:

    $u\cdot (\vec a+\vec b)=u\cdot \left(\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{pmatrix}\right)$.

    Nun wird der Summenvektor skalar mit $u$ multipliziert:

    $u\cdot \left(\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} u\cdot(a_1+b_1) \\ u\cdot(a_2+b_2)\\ u\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}$.

    Da im Bereich der reellen Zahlen das Distributivgesetz: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ kann nun weiter gerechnet werden:

    $\begin{pmatrix} u\cdot(a_1+b_1) \\ u\cdot(a_2+b_2)\\ u\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u\cdot a_1+u\cdot b_1 \\ u\cdot a_2+u\cdot b_2\\ u\cdot a_3+u\cdot b_3 \end{pmatrix}$.

    Zuletzt kann dieser Vektor wieder als Summe geschrieben werden:

    $\begin{pmatrix} u\cdot a_1+u\cdot b_1 \\ u\cdot a_2+u\cdot b_2\\ u\cdot a_3+u\cdot b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u\cdot a_1 \\ u\cdot a_2\\ u\cdot a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u\cdot b_1 \\ u\cdot b_2\\ u\cdot b_3 \end{pmatrix}=u\cdot\vec a+u\cdot \vec b$.

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