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Team Digital
Was sind rationale Zahlen?
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen – Definition

Du kennst schon natürliche Zahlen und ganze Zahlen, die im Alltag oft vorkommen. Mit den natürlichen Zahlen zählen wir Dinge ab. Aber was sind rationale Zahlen?
In diesem Text sehen wir uns an, was rationale Zahlen sind und wie sie mit den anderen bekannten Zahlen zusammenhängen.

Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen enthält alle Zählzahlen, also zum Beispiel $5$ oder $89$ oder $300$.
Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch deren Gegenzahlen. Das sind die entsprechenden negativen ganzen Zahlen, also zum Beispiel $-5$ oder $-89$ oder $-300$.

Zu diesen Zahlen fügen wir nun noch alle Zahlen hinzu, die man als Bruch darstellen kann. Dies ergibt die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen. Zu der Menge gehören also außer den ganzen Zahlen auch Zahlen wie $4\frac{8}{10}$ oder $-0{,}18$ oder $0{,}\bar 3$.

Die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen schließt alle Zahlen ein, die man als Bruch darstellen kann. Das schließt die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen ein, denn diese können als Bruch mit Nenner $1$ dargestellt werden.

Die natürliche Zahl $2$ kann beispielsweise als Bruch $\frac{2}{1}$ dargestellt werden und ist damit eine rationale Zahl. Dasselbe gilt für die negative ganze Zahl $-2$, denn diese kann als $\frac{-2}{~\,1}$ dargestellt werden.

Die Menge der rationalen Zahlen

Brüche sind rationale Zahlen, zum Beispiel $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{7}{4}$.

Außerdem kann jede ganze Zahl als Bruch geschrieben werden, indem man die Zahl selbst in den Zähler setzt und den Nenner $1$ wählt:
Zum Beispiel ist $5 = \frac{5}{1}$ und $-4=-\frac{4}{1}$.
Jede ganze Zahl ist also auch eine rationale Zahl.

Auch endliche und periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen Bruch umwandeln.
So ist zum Beispiel ${-0{,}18=-\frac{18}{100}}$ und ${0{,}\bar 3=\frac{1}{3}}$.
Also sind auch solche Dezimalbrüche rationale Zahlen.

Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen lässt sich allgemein so formulieren:

$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac {a}{b}\,;~a\in\mathbb{Z}\,;~b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$

Dabei ist $a$ eine negative oder positive ganze Zahl (auch die $0$ ist möglich), während $b$ eine natürliche Zahl ist (die nicht $0$ sein darf).
Jede rationale Zahl lässt sich durch einen solchen Bruch $\left( \frac{a}{b} \right)$ darstellen. In der Menge der rationalen Zahlen sind also die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen enthalten.

Positiven rationale Zahlen

Manchmal möchte man explizit nur die Menge der positiven rationalen Zahlen darstellen. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^+$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:

$\mathbb{Q}^+=\left\{\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$

Hier sind also $a$ und $b$ natürliche Zahlen (und damit positiv), wobei $b$ nicht $0$ sein darf, $a$ hingegen schon (sofern man die $0$ als positive Zahl akzeptieren möchte).

Negative rationale Zahlen

In ähnlicher Weise ist auch eine Darstellung der Menge der negativen rationalen Zahlen möglich. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^-$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:

$\mathbb{Q}^-=\left\{-\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~a\,,\,b\neq 0\right\}$

Hier sind wieder $a$ und $b$ natürliche Zahlen und das Minuszeichen stellt sicher, dass der Bruch, also die rationale Zahl, am Ende stets negativ ist. Die $0$ haben wir hier nicht nur für $b$ sondern auch für $a$ ausgeschlossen, da wir sie nicht zu den negativen Zahlen zählen.

Die Mengen $\mathbb{Q}^+$ und $\mathbb{Q}^-$ ergänzen sich zur Gesamtmenge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen.
Möchte man explizit verdeutlichen, dass die $0$ zu der einen oder anderen Menge gezählt wird, kann man auch $\mathbb{Q}_0^+$ schreiben (oder eben $\mathbb{Q}_0^-$, falls die $0$ dort hinzugezählt werden soll).

Rationale Zahlen darstellen

Rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, können als Bruchzahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.

  • Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma, zum Beispiel $3{,}45$ oder $-2{,}6$.
  • Ein Bruch besteht aus einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner.
  • Brüche und Dezimalzahlen lassen sich ineinander umwandeln.

Viele Bruchzahlen können als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen geschrieben werden, zum Beispiel so:

$\dfrac{1}{4}=0{,}25$

Manche Bruchzahlen entsprechen einer periodischen Dezimalzahl, das sieht dann zum Beispiel so aus:

$-\dfrac{1}{3}=-0{,}33333......=-0{,}\bar 3$

Eine periodische Dezimalzahl hat zwar unendlich viele Nachkommastellen, allerdings wird dabei nur eine bestimmte Zahl (im Beispiel die $3$) unendlich oft wiederholt.

Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden

Wir können rationale Zahlen auf der Zahlengeraden (dem Zahlenstrahl) darstellen. In der Mitte steht die Zahl $0$, rechts davon die positiven Zahlen und links die negativen Zahlen. Die positiven Zahlen sind größer als $0$, die negativen Zahlen kleiner als $0$.
Die Zahlen werden auf der Zahlengeraden von rechts nach links kleiner und von links nach rechts größer. Der Abstand zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen ist auf der Zahlengeraden immer gleich groß.

Zwischen den ganzen Zahlen können wir die nicht ganzen rationalen Zahlen eintragen.
Die Zahl $-3{,}5$ steht zum Beispiel genau in der Mitte zwischen der Zahl $-4$ und der Zahl $-3$. Die Zahl $-1{,}7$ steht zwischen den Zahlen $-2$ und $-1$, aber nicht genau in der Mitte, sondern näher an der Zahl $-2$. Und die Zahl $-\frac{1}{3}$ steht zwischen den Zahlen $-1$ und $0$, aber näher an der $0$.
Auf der anderen Seite der $0$ können wir dazu die positiven Gegenzahlen eintragen:
$\frac{1}{3}$ und $1{,}7$ und $3{,}5$.

Rationale Zahlen positiv und negativ

Jede Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zur $0$. Die Zahlen $-3{,}5$ und $3{,}5$ sind also gleich weit von der $0$ entfernt. Diesen Abstand einer Zahl zur Zahl $0$ bezeichnet man als Betrag der Zahl.
Der Betrag einer Zahl $\neq 0$ ist immer positiv, denn es gibt keine negativen Abstände. Man schreibt zwei senkrechte Striche, wenn der Betrag einer Zahl (also der Abstand zur $0$) gemeint ist. Es gilt beispielsweise:

$|\,3{,}5\,|=|-3{,}5\,|=3{,}5$

Zwei verschiedene Zahlen mit demselben Betrag sind immer Gegenzahlen voneinander. Die Gegenzahl von $-3{,}5$ ist also $3{,}5$ – und umgekehrt. Du findest die Gegenzahl zu einer Zahl auf der Zahlengeraden, indem du die Zahl an der $0$ spiegelst.
Der Betrag der Zahl $0$ ist $0$. Die $0$ ist die einzige Zahl, die keine Gegenzahl hat (bzw. zu sich selbst Gegenzahl ist) und deren Betrag nicht positiv ist (denn $0$ wird üblicherweise als weder positiv noch negativ angesehen).

Rationale Zahlen – Beispiele

Mit den ganzen Zahlen hast du sicher oft im Alltag zu tun. Sie kommen zum Beispiel an Aufzügen vor: Die positiven ganzen Zahlen bezeichnen die Stockwerke nach oben, die negativen Zahlen die Kellerstockwerke nach unten. So etwas wie ein Stockwerk $4\frac{3}{4}$ gibt es normalerweise nicht.
Aber stell dir vor, der Aufzug würde auf drei Vierteln der Strecke zwischen dem dritten und vierten Stock plötzlich stehen bleiben. Dann wären wir genau auf Höhe der rationalen Zahl $4\frac{3}{4}$.

Den Umgang mit rationalen Zahlen kennst du bestimmt auch im Zusammenhang mit Geld.
Stell dir vor, du sollst $10\,\text{€}$ gleichmäßig auf $4$ Freunde verteilen. Wie viel bekommt jeder? Da $10$ kein Vielfaches von $4$ ist, ist $10$ nicht ohne Rest durch $4$ teilbar. Die Rechnung sieht so aus:

$10\,\text{€} : 4=2{,}5\,\text{€}$ oder $2{,}50\,\text{€}$

Ein halber Euro sind $0{,}5\,\text{€}$, das ist eine endliche Dezimalzahl und damit eine rationale Zahl. Demnach sind auch zweieinhalb Euro eine rationale Zahl, eben $2{,}5\,\text{€}$.

Alternativ können wir das auch als Bruch darstellen:

$\dfrac{10}{4}\,\text{€} = \dfrac{5 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2}\,\text{€} = \dfrac{5}{2}\,\text{€}$

$2{,}5\,\text{€}$ sind eben nichts anderes als fünfmal ein halber Euro, also $5 \cdot \frac{1}{2}\,\text{€} = \frac{5}{2}\,\text{€}$.

Auch Temperaturen können Dezimalzahlen und damit rationale Zahlen sein. Manchmal sind sie sogar negativ.
Wenn zum Beispiel am Mittag die Temperatur bei $5{,}3\,^\circ\text{C}$ lag und dann bis zum Abend um $7{,}5\,^\circ\text{C}$ gefallen ist, können wir die Abendtemperatur wie folgt berechnen:

$5{,}3 - 7{,}5 = -2{,}2$

Die Temperatur am Abend beträgt also $-2{,}2\,^\circ\text{C}$.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von rationalen Zahlen ist die Uhr:

  • Eine Viertelstunde ist ein Viertel einer Stunde, also $0{,}25~\text{h}$ oder eben $\frac{1}{4}~\text{h}$.
  • Eine halbe Stunde entspricht $0{,}5~\text{h}$ bzw. $\frac{1}{2}~\text{h}$.
  • Eine Dreiviertelstunde sind $0{,}75~\text{h}$, was gleichbedeutend mit $\frac{3}{4}~\text{h}$ ist.
  • Eine volle Stunde ist natürlich $1~\text{h}$, was allerdings auch als $\frac{1}{1}~\text{h}$ geschrieben werden kann.

Gleichzeitig ist die Uhr mit ihren $12$ Ziffern auch in $12$ Einheiten von je $5$ Minuten eingeteilt. Eine Viertelstunde entspricht in diesem Sinne $3$ solcher Einheiten $\left( \frac{3}{12}~\text{h} \right)$ und eine halbe Stunde sind $6$ Einheiten $\left( \frac{6}{12}~\text{h} \right)$.
Auch einzelne Minuten und Sekunden können als Bruchteile eine Stunde aufgefasst werden. Eine Minute ist $\frac{1}{60}$ einer Stunde und eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}~\text{h}$.

Wir können uns noch unendlich viele kleinere Zeiteinheiten als eine Sekunde vorstellen. Dieses Beispiel soll verdeutlichen, das zwischen zwei ganzen Zahlen, zum Beispiel zwischen zwei vollen Stunden, unendlich viele Bruchzahlen existieren, die wir mit rationalen Zahlen darstellen können.

Rationale Zahlen berechnen

Wie unsere bisherigen Beispiele von rationalen Zahlen zeigen, kannst du mit diesen Zahlen rechnen, genau wie du auch mit natürlichen oder ganzen Zahlen rechnest. Rationale Zahlen können also addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.
Da das Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen aber nicht immer ganz so einfach ist, wollen wir auf ein paar Besonderheiten etwas näher eingehen.

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Wenn du rationale Zahlen addieren oder subtrahieren möchtest, solltest du darauf achten, dass es sich entweder nur um Dezimalzahlen oder nur um Brüche handelt. Wenn du die beiden mischst, wird das nur unnötig kompliziert.

Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, verschiebst du das Komma nach rechts hinter die letzte Ziffer und teilst dann durch eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Anzahl der Stellen, um die du das Komma verschoben hast. Das sieht dann zum Beispiel so aus:

$3 = \dfrac{3}{1} \qquad$ (keine Verschiebung notwendig)
$0{,}3 = \dfrac{3}{10} \qquad$ (Verschiebung um eine Stelle)
$0{,}03 = \dfrac{3}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)
$0{,}33 = \dfrac{33}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)

Manchmal kann man dabei auch kürzen und vereinfachen:

$-0{,}25 = \dfrac{-25}{~100} = -\dfrac{1}{4}$

$1{,}5 = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$

Der umgekehrte Weg, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist nicht immer ganz so einfach. Das geht nur, wenn du den Nenner des Bruchs auf ein Vielfaches von $10$ erweiterst:

$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{10 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$

$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$

Bei einigen einfachen Brüchen solltest du die entsprechende Dezimalzahl auswendig kennen. Das spart einiges an Rechenarbeit. Folgende Beispiele solltest du dir merken:

Bruch Dezimalzahl Bruch Dezimalzahl
$\dfrac{1}{2} =$ $0{,}5$ $\dfrac{1}{3} =$ $0{,}\bar 3$
$\dfrac{1}{4} =$ $0{,}25$ $\dfrac{1}{5} =$ $0{,}2$
$\dfrac{2}{3} =$ $0{,}\bar 6$ $\dfrac{3}{4} =$ $0{,}75$
$\dfrac{3}{2} =$ $1{,}5$ $\dfrac{4}{3} =$ $1{,}\bar 3$

Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen gelten die gleichen Regeln wie bei den ganzen Zahlen.
Manchmal fällt dabei das Kopfrechnen leichter, wenn du das Komma der beiden Dezimalzahlen nach rechts verschiebst und das Ergebnis wieder durch $10$ teilst – oder durch $100$, wenn du das Komma (bei beiden Zahlen) zweimal verschoben hast (bzw. eine $0$ angehängt hast).

Hier siehst du ein paar Beispiele:

$0{,}3 + 0{,}4 = (3+4) : 10 = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$

$0{,}3 + 0{,}04 = (3+0{,}4) : 10 = (30+4) : 100 = \dfrac{34}{100} = 0{,}34$

$0{,}3 - 0{,}4 = (3-4) : 10 = \dfrac{-1}{~\,10} = -0{,}1$

$0{,}3 - 0{,}04 = (3-0{,}4) : 10 = (30-4) : 100 = \dfrac{26}{100} = 0{,}26$

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist zu beachten, dass diese immer auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden müssen!
Dann addierst bzw. subtrahierst du die beiden Zähler wie gewohnt und lässt den gemeinsamen Nenner stehen. Am Ende kannst du gegebenenfalls wieder vereinfachen.

Hier siehst du ein paar Beispiele:

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1+1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2+1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$

$\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \, \cdot \, 2}{3 \, \cdot \, 2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} = 0{,}\bar 3$

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \, \cdot \, 4}{3 \, \cdot \, 4} - \dfrac{3 \, \cdot \, 3}{4 \, \cdot \, 3} = \dfrac{8}{12}-\dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$

Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

Auch beim Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen gilt der Grundsatz, dass du Dezimalzahlen und Brüche nicht mischen solltest.

Bei der Multiplikation und Division von Dezimalzahlen nutzt du am besten wieder die Kommaverschiebung mit anschließender Division durch $10$, um bequem mit ganzen Zahlen rechnen zu können.
Hier solltest du das Komma bei jedem Faktor bzw. bei Dividend und Divisor einzeln verschieben. Du musst dann für jede einzelne Kommaverschiebung durch $10$ teilen!
Außerdem gilt die Regel Minus mal Minus gibt Plus (bzw. Minus geteilt durch Minus gibt Plus).

Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:

$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 3 : 10 \cdot 4 : 10 = (3 \cdot 4) : (10 \cdot 10) = (12) : (100) = 0{,}12$

$0{,}3 \cdot (-0{,}04) = 3 : 10 \cdot (-4) : 100 = (3 \cdot (-4)) : (10 \cdot 100) = (-12) : (1000) = -0{,}012$

$-0{,}4 : (-0{,}2) = (-4) : 10 : (-2) : 10 = ((-4) : (-2)) : (10 : 10) = (2) : (1) = 2$

$(-0{,}3) : 0{,}02 = (-3) : 10 : 2 : 100 = ((-3) : (2)) : (10 : 100) = -1{,}5 : 0{,}1 = \\ (-15) : 10 : 1 : 10 = ((-15) : 1) : (10 : 10) = (-15) : (1) = -15$

Bei der Multiplikation und Division von Brüchen ist eigentlich alles recht unkompliziert: Zähler und Nenner werden getrennt voneinander multipliziert bzw. dividiert. Gleiche Nenner sind nicht notwendig.
Eine Division durch einen Bruch ist immer gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch!
Außerdem gilt auch hier die Regel Minus mal Minus gibt Plus (bzw. Minus geteilt durch Minus gibt Plus). Am Ende kann oft noch gekürzt und vereinfacht werden.

Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \, \cdot \, 1}{2 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

$\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1 \, \cdot \, (-1)}{2 \, \cdot \, 4}= \dfrac{-1}{~\,8} = -\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{3 \, \cdot \, 4}{4 \, \cdot \, 1} = \dfrac{12}{4} = 3$

$\left(-\dfrac{2}{3}\right) : \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{(-2) \, \cdot \, (-3)}{3 \, \cdot \, 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

Zusammenfassung der rationalen Zahlen

  • Die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen schließt alle Zahlen ein, die man als Bruch darstellen kann. Neben Bruchzahlen sind damit auch endliche sowie periodische Dezimalbrüche gemeint.
  • In der Menge $\mathbb Q$ sind die natürlichen Zahlen $\mathbb N$ und die ganzen Zahlen $\mathbb Z$ enthalten, aber auch Dezimalzahlen wie $0{,}25$ und Brüche wie $-\frac{1}{3}$.
  • Dezimalzahlen und Bruchzahlen können ineinander umgewandelt werden. Das ist vor allem beim Rechnen mit verschiedenen rationalen Zahlen hilfreich.
  • Bei der Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen sind Kommaverschiebungen und die Bildung eines gemeinsamen Nenners unverzichtbare Hilfsmittel.
  • Bei der Multiplikation und Division von rationalen Zahlen müssen Kommaverschiebungen einzeln betrachtet werden und eine Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch.

Rationale Zahlen – Übungen

Im Folgenden siehst du noch einige Aufgaben, mit denen du den Umgang mit rationalen Zahlen üben kannst. Überlege erst selbst und vergleiche dann deine Antwort mit den Lösungen!

Ist $-8$ eine rationale Zahl?
Wie lautet die Dezimalzahl $0{,}125$ als Bruch geschrieben?
Berechne: $\frac{12}{8} + 0{,}25 = \,\text{?}$
Berechne: $0{,}25 - 0{,}5 = \,\text{?}$
Berechne: $-\frac{5}{6} : \frac{6}{5} = \,\text{?}$

Häufig gestellte Fragen zu den rationalen Zahlen

Was sind rationale Zahlen?
Welche Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen?
Wann ist eine Zahl rational?
Ist eine Dezimalzahl eine rationale Zahl?
Ist 8 eine rationale Zahl?
Was gehört alles zu den rationalen Zahlen?
Welche Zahlen gehören zu den natürlichen Zahlen?
Was ist das Zeichen für rationale Zahlen?
Sind Wurzeln rationale Zahlen?
Wo finde ich rationale Zahlen im Alltag?
Ist jede rationale Zahl eine ganze Zahl?
Wie kann man rationale Zahlen darstellen?
Ist 5 : 6 eine rationale Zahl?
Welche Zahlen gehören zu den ganzen Zahlen?
Sind die ganzen Zahlen rationale Zahlen?
Sind rationale Zahlen unendlich?
Welche Zahlen sind nicht rational?
Welche Rechenregeln zu rationalen Zahlen muss ich beachten?

Transkript Was sind rationale Zahlen?

Das ist Peter. Er liebt seinen Job als Paketbote, doch jeden Tag muss er andere Hindernisse überwinden. Wie das eine Mal als er im Aufzug stecken geblieben ist. Zwischen zwei Stockwerken. Also könnte man auch sagen, er ist im Stockwerk Vier Drei Viertel stecken geblieben. Aber was ist das denn überhaupt für eine Zahl? Das ist eine rationale Zahl und genau die schauen wir uns in diesem Video einmal genauer an. Du kennst bestimmt schon die natürlichen Zahlen, die sogenannten "Zählzahlen", wie zum Beispiel die 5, 89 oder auch 300. Fügen wir zu den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Nehmen wir dazu dann noch alle negativen und positiven Zahlen, die man als Bruch schreiben kann, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen. Wir bezeichnen sie mit einem großen Q. Aber welche Zahlen kann man denn als Bruch schreiben? Die ganzen Zahlen sind Teil der Menge der rationalen Zahlen, da man sie als Bruch schreiben kann. So kann man 5 als 5 Ganze schreiben und auch minus 4 als minus 4 Ganze schreiben. Auch endliche und periodische Dezimalbrüche können in einen Bruch umgewandelt werden. So sind minus 0,18 minus 18 Zehntel. 0, periode 3 sind 1 Drittel. Zu den rationalen Zahlen gehören also sowohl ganze Zahlen, als auch Dezimalbrüche und gemeine Brüche. Wir können rationale Zahlen auch auf einer Zahlengeraden darstellen. Es gibt die Null, die Zahlen größer als oder auch rechts von der null und die Zahlen kleiner als oder auch links von der Null. Die Zahlen größer null sind die positiven Zahlen. Die Zahlen kleiner null sind die negativen Zahlen. Die Zahlen werden von rechts nach links kleiner und von links nach rechts größer. Wir können zwischen den ganzen Zahlen dann Brüche und Dezimalbrüche eintragen zum Beispiel minus 3,5 minus 1,7 minus ein Drittel. Ein Drittel, 1,7 und 3,5. Ist dir bei diesen Zahlenpaaren etwas aufgefallen? Minus 3,5 und 3,5 Minus 1,7 und 1,7 und minus ein Drittel und ein Drittel haben alle jeweils paarweise den gleichen Abstand zur Null. Minus 3,5 und 3,5 sind also gleich weit von der Null entfernt. Und dieser Abstand zur 0 wird als Betrag bezeichnet. Man schreibt dies so. Der Betrag von 3,5 ist also gleich dem Betrag von minus 3,5 und das ist 3,5. Der Betrag einer Zahl ungleich 0 ist also immer positiv. Ist der Betrag positiver und negativer Zahlen gleich, so sind diese Zahlen Gegenzahlen zueinander. 3,5 ist also die Gegenzahl von minus 3,5 und umgekehrt. Man findet die Gegenzahl einer Zahl auf einer Zahlengerade, indem man die Zahl an der Null spiegelt. Bevor wir schauen, ob Peter mittlerweile aus dem Aufzug entkommen ist, fassen wir zusammen. Rationale Zahlen sind positive und negative Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Auch die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur 0. Eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl haben immer den gleichen Betrag. Steckt Peter denn immer noch im Aufzug fest? Oh! Da wartet ja doch jemand auf sein Paket. Da hat Peter wohl doch die richtige Adresse gefunden.

37 Kommentare
37 Kommentare
  1. Suuuuuper!!‼️🔝🔝🔝

    Von Kostas Lamaj, vor 4 Monaten
  2. Gut.
    👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻
    :)..
    ☺️

    Von Elisabeth, vor 4 Monaten
  3. Cooooool

    Von Puni 123, vor 5 Monaten
  4. Danke an dieses (keine ahnung wie man das sag)
    Teem gigitall

    Von Hallo, vor 6 Monaten
  5. echt hilfreich : )

    Von Hazal, vor 6 Monaten
Mehr Kommentare

Was sind rationale Zahlen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind rationale Zahlen? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was rationale Zahlen sind.

    Tipps

    Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst.

    $\mathbb N$ ist das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen.

    $0{,}75=\frac{3}{4}$ ist keine ganze Zahl und $-2$ ist keine natürliche Zahl.

    Lösung

    Rationale Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, mit denen zu zählst und Anzahlen bestimmst. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb N$ bezeichnet. Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit den negativen ganzen Zahlen und der $0$ die Menge der ganzen Zahlen. Für diese Menge verwendet man das Symbol $\mathbb Z$.

    Jede Zahl, die als Bruch geschrieben werden kann, heißt rationale Zahl. Zähler und Nenner dieses Bruches sind ganze Zahlen.

    Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb Q$ bezeichnet. Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen. Diese wiederum ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.

    Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, bestimmen dieselbe rationale Zahl. Dadurch ist jede ganze Zahl $z \in \mathbb Z$ auch eine rationale Zahl, denn man kann sie wie folgt als Bruch $z=\frac{z}{1}$ mit dem Nenner $1$ schreiben:

    $5 = \frac{5}{1}$ und $-4 =\frac{-4}{1} = -\frac{4}{1}$

    Jeden endlichen Dezimalbruch kann man ebenfalls als Bruch schreiben, nämlich als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Der Zähler dieses Bruches ergibt sich aus den Ziffern des Dezimalbruchs. Man geht also wie folgt vor:

    $-0{,}18 =-\frac{18}{100}$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Der Abstand einer Zahl zu $0$ ist dasselbe wie der Betrag der Zahl.

    Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen.

    Die Gegenzahl von $-2$ ist $-(-2) = 2$, der Betrag von $-2$ ist $|-2|=2$.

    Lösung

    Negative Zahlen liegen auf der Zahlengeraden links von $0$, positive rechts von $0$. Der Abstand einer Zahl zu $0$ ist ihr Betrag, er ist nicht negativ. Ist die Zahl von $0$ verschieden, so ist der Betrag sogar positiv. Eine Zahl und ihre Gegenzahl gehen durch Multiplikation mit $-1$ auseinander hervor. Sie haben jeweils den gleichen Abstand zu $0$, also den gleichen Betrag. Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl.

    Du erhältst daher folgende korrekten Sätze:

    • Jede Zahl $< 0$ heißt negative Zahl.
    • Jeder negative periodische Dezimalbruch ist eine negative rationale Zahl.
    • Eine rationale Zahl $>0$, die keine ganze Zahl ist, liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei natürlichen Zahlen.
    • Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zu $0$.
    • Der Betrag einer negativen Zahl ist dasselbe wie ihre Gegenzahl.
  • Bestimme die Gegenzahl.

    Tipps

    Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

    $3{,}4$ ist die Gegenzahl von $-3{,}4$.

    $\frac{3}{5}$ ist nicht die Gegenzahl von $\frac{5}{3}$.

    Lösung

    Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben genau denselben Abstand zu $0$, also denselben Betrag. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

    Gegenzahlen rationaler Zahlen sind nicht zu verwechseln mit den Kehrwerten: Die Gegenzahl von $\frac{3}{5}$ ist $-\frac{3}{5}$. Die Zahl $\frac{5}{3}$ ist nicht die Gegenzahl, sondern der Kehrwert von $\frac{3}{5}$.

    So erhältst du folgende Zuordnungen:

    • Die Gegenzahl von $3{,}5$ ist die Zahl $-3{,}5$.
    • Zu $2{,}1$ findest du die Gegenzahl $-2{,}1$.
    • $-1{,}2$ hat die Gegenzahl $1{,}2$.
    • $\frac{4}{3}$ hat die Gegenzahl $-\frac{4}{3}$.
    • Zu der Zahl $\frac{3}{4}$ dagegen gehört die Gegenzahl $-\frac{3}{4}$.
  • Analysiere die rationalen Zahlen.

    Tipps

    Je größer der Betrag einer negativen Zahl ist, desto kleiner ist die Zahl.

    Wandle die Brüche in gemischte Brüche oder Dezimalbrüche um.

    Lösung

    Je größer der Betrag einer positiven Zahl ist, desto größer ist die Zahl. Bei negativen Zahlen gilt das Umgekehrte: Je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. Positive Zahlen sind größer als negative Zahlen.

    Um die Größe eines unechten Bruches mit der eines Dezimalbruches zu vergleichen, hilft es, den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Die ganze Zahl eines positiven gemischten Bruches ist dann genau die nächstkleinere ganze Zahl, die ganze Zahl eines negativen gemischten Bruches ist die nächstgrößere ganze Zahl.

    Beispiel:

    $-2\frac{4}{5} = -2{,}8$

    Die ganze Zahl $-2$ ist die nächstgrößere ganze Zahl zu $-2{,}8$.

    Daher ist die folgende Sortierung korrekt (beginnend mit der kleinsten Zahl):

    $-5{,}2 < -\frac{23}{6} = -3{,}8\overline{3} < -\frac{23}{8} =-2{,}875 < -2{,}5 < -\frac{11}{10} =-1{,}1 < \frac{4}{3} = 1{,}\overline{3} < \frac{7}{4} = 1{,}75 < 2{,}3$

  • Bestimme die Positionen auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch das Vorzeichen, so liegen sie auf der Zahlengeraden gleich weit von $0$ entfernt.

    Je größer der Zahlenwert hinter dem negativen Vorzeichen ist, desto weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt eine Zahl.

    Im Bild liegt die Zahl $-3{,}5$ ganz links, die Zahl $3{,}5$ ganz rechts.

    Lösung

    Auf der Zahlengeraden kannst du zuerst die ganzen Zahlen abtragen. Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen ist stets der gleiche.

    Jede rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist, z. B. eine Kommazahl oder ein echter Bruch, liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.

    Der Abstand einer Zahl zu $0$ heißt der Betrag dieser Zahl. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zu $0$.

    Ein echter Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl stets zwischen $0$ und $1$, seine Gegenzahl zwischen $-1$ und $0$. Jede positive Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Nachfolger. Eine negative Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Vorgänger.

    Die Zahlen $-13$, $-5$, $5{,}3$ und $7{,}1$ liegen auf dem Zahlenstrahl jenseits des hier dargestellten Bereiches. Die Zahl $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ liegt zwischen $0$ und $1$, ihre Gegenzahl $-\frac{1}{3}$ zwischen $-1$ und $0$. Die Zahl $-1{,}7$ liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $-1$ und dem Vorgänger $-2$. Die Gegenzahl $1{,}7$ liegt deshalb zwischen $1$ und $2$. Die Zahl $3,5$ schließlich liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $3$ und deren Nachfolger $4$. Die zugehörige Gegenzahl $-3{,}5$ liegt daher zwischen $-4$ und $-3$.

  • Zeige die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Ein echter Bruch mit dem Nenner $4$ entspricht zum Beispiel der rationalen Zahl $0{,}25$ oder $0{,}5$ oder $0{,}75$.

    Lösung

    Du kannst die Markierungen auf dem Zahlenstrahl eintragen, indem du die rationalen Sprungstellen der Flöhe identifizierst:

    • Ganze Zahlen außer die $0$ auf dem Zahlenstrahl sind hier die Zahlen $\text{{\color{yellow}-1}}$ und $\text{{\color{yellow}1}}$. Diese Zahlen markierst du gelb.
    • Zahlen mit dem Betrag $0{,}3$ sind $\text{{\color{blue}0{,}3}}$ und $\text{{\color{blue}-0{,}3}}$, Zahlen mit dem Betrag $0{,}7$ sind $\text{{\color{blue}0{,}7}}$ und $\text{{\color{blue}-0{,}7}}$. Diese Zahlen markierst du blau.
    • Brüche mit dem Nenner $2$, die keine ganzen Zahlen beschreiben, entsprechen Kommazahlen mit der Nachkommastelle $5$, denn $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Hier sind daher die Zahlen $\text{{\color{purple}-1{,}5}}$ und $\text{{\color{purple}-0{,}5}}$ und $\text{{\color{purple}0{,}5}}$ und $\text{{\color{purple}1{,}5}}$ violett zu markieren.
    • Brüche mit dem Nenner $5$ zwischen $-1$ und $0$ entsprechen Bruchzahlen mit geraden Nachkommastellen $\neq 0$, denn $\frac{1}{5} = 0{,}2$. Hier sind nur die negativen solcher Zahlen grün zu markieren, also $\text{{\color{green}-0{,}8}}$ und $\text{{\color{green}-0{,}6}}$ und $\text{{\color{green}-0{,}4}}$ und $\text{{\color{green}-0{,}2}}$.