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Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren 03:34 min

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Transkript Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren

Das sind Klara und ihre Mitbewohnerin Maria. Klara ist ein Freigeist. Das geht meistens in Ordnung, doch zu Marias Leidwesen mixt Klara für gemeinsame Mahlzeiten gerne die wildesten Menüs zusammen. Steak-Taco mit Banane, Kuchen mit Käsedip, Fisch und Schokolade. Während Klara schläft, jubelt ihr Maria eine ungewöhnliche Musikauswahl unter. Es wird nur eine Botschaft vermittelt: Kombiniere keine Dinge, die nicht zusammenpassen! Maria weiß nicht, wie viele Blaubeer-Marshmallow-Pizzas sie noch ertragen kann. Am nächsten Tag erwartet Maria eine weitere Portion Marmeladen-Blumenkohl mit Vanilleeis. Aber sie bekommt ein köstlich aussehendes Essen vorgesetzt. Jetzt ist sie neugierig, was eigentlich auf der Kassette war. Was für ein seltsamer Titel für ein Programm zur Selbstverbesserung: Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren. Hören wir mal rein. Willkommen in einer Welt der Entspannung. Du bist völlig entspannt. Deine Augen werden schwer. Du solltest Dinge genau so kombinieren, wie du Wurzelausdrücke addierst und subtrahierst. Wurzelausdrücke wirken beängstigend, aber das sind sie nicht. Sie sind deine Freunde. Wurzelausdrücke sind nicht schwierig. Überzeuge dich selbst. Wir haben 4√3 + 5√5 + 6√3 + 2√5. Nun müssen wir erst einmal schauen, wie viele unterschiedliche Zahlen wir unter den Wurzelzeichen haben. In diesem Term sind es die Zahlen 3 und 5. Zuerst ersetzen wir die Wurzel von 3 mit x und die Wurzel von 5 mit y. Jetzt können wir die gleichartigen Terme, nach den üblichen Regeln, zusammenfassen. 4x + 6x = 10x und 5y - 2y = 3y. Wenn wir den Term so weit wie möglich vereinfacht haben, können wir unsere Wurzeln wieder einsetzen und auch das Ergebnis berechnen. Wenn wir das machen, bekommen wir 10√3 + 3√5. Möchte man noch das Ergebnis berechnen, kann man diesen Term in den Taschenrechner eingeben. Gerundet ergibt das 24,03. Schauen wir uns die Lösungsschritte noch einmal mit anderen Zahlen an. Schritt 1: Ordne jedem unterschiedlichen Wurzelausdruck eine Variable zu. Schritt 2: Ersetze identischen Wurzelausdrücke mit der gleichen Variable. Schritt 3: Vereinfache den Term soweit wie möglich. Schritt 4: Ersetze die Variablen durch die ursprünglichen Wurzelausdrücke. Schritt 5: Löse den vereinfachten Term. Jetzt wissen wir, wie man Wurzelausdrücke addiert und subtrahiert. Also zurück in die Küche unserer Wohngemeinschaft. Ach was! Maria hat gekocht. Klara sieht beeindruckt aus… für den Moment.

Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne korrekte Aussagen über das Rechnen mit Wurzelausdrücken.

    Tipps

    Der Radikand ist die Zahl unter der Wurzel.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Um das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln zu erleichtern, kann man die Wurzelausdrücke durch Variablen substituieren.
    Es kann am Anfang helfen, die Wurzeln durch Variablen zu substituieren, die Rechnung mit den Variablen durchzuführen und anschließend die Wurzeln wieder einzusetzen.

    • Wurzeln mit gleichen Radikanden kann man voneinander abziehen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.
    Man kann nur Wurzeln mit gleichen Radikanden verrechnen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben. Demnach kann man sie auch voneinander abziehen.

    • Man kann Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden miteinander verrechnen, indem man sie als Dezimalzahlen schreibt.
    Man könnte Wurzeln auch als Dezimalzahlen ausschreiben und diese anschließend miteinander verrechnen. Das sollte allerdings vermieden werden, da man hier oft runden muss, um die Lösung anzugeben.

    Diese Aussage ist falsch:

    • Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden kann man addieren, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.
    Man kann nur Wurzeln mit gleichen Radikanden miteinander verrechnen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.

  • Gib die Lösungschritte zum Addieren und Subtrahieren von Wurzelausdrücken wieder.

    Tipps

    Es hilft, sich vor der Substitution der Wurzelausdrücke erst einmal zu notieren, welchen Ausdruck man durch welche Variable ersetzen möchte.

    Lösung

    Allgemein vereinfacht man Wurzelterme so:

    • Ordne zuerst jedem unterschiedlichen Wurzelausdruck eine Variable zu.
    • Ersetze dann alle gleichen Wurzelausdrücke mit der gleichen Variablen.
    Mit den bekannten Variablen lässt es sich leichter rechnen.

    • Fasse im Term alle Ausdrücke mit gleichen Variablen zusammen.
    • Nachdem der Term sich nicht mehr vereinfachen lässt, kannst du die Wurzelausdrücke wieder einsetzen.
  • Gib die Rechnung zum Vereinfachen von Wurzeltermen wieder.

    Tipps

    Man schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.

    Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.

    Variablen werden am Ende resubstituiert.

    Lösung

    Der Term

    $8 \sqrt{6} +3\sqrt{7} -9 \sqrt{6} +2\sqrt{7}$

    soll vereinfacht werden.

    Man schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.

    Man wählt:

    $ \sqrt{6}= x $

    und

    $ \sqrt{7}= y $

    und setzt ein.

    Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.

    $ 8 x + 3y -9 x +2y$

    Die Variablen wurden eingesetzt

    $\Leftrightarrow~ -x +5y$

    und ausgerechnet.

    $\Leftrightarrow~- \sqrt{6} +5\sqrt{7}$

    Variablen werden am Ende resubstituiert.

  • Erschließe die Regeln zur Multiplikation von Wurzeln.

    Tipps

    Rechnungen unter der Wurzel werden zuerst ausgeführt.

    Lösung

    Wurzeln werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht.

    $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =\sqrt{a \cdot b} $

    Also ergibt sich:

    $\sqrt{3} \cdot \sqrt{4} =\sqrt{12} $

    $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9}= 3$

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} =\sqrt{6} $

    Beim Multiplizieren von Wurzeln multipliziert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.

    Wurzeln werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht.

    $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

    Also ergibt sich:

    $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

    $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$

    $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3$

    Beim Dividieren von Wurzeln dividiert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.

  • Ermittle die vereinfachten Wurzelterme.

    Tipps

    Die Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.

    Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.

    Lösung

    Die Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst. Zum Beispiel:

    $3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5} $

    Man wählt:

    $\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$

    Damit ergibt sich:

    $3x-4y+2y $

    $=3x-2y $

    Und mit der Resubstitution erhält man:

    $=3\sqrt{3}-2\sqrt{5} $

    Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:

    Zu $3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:

    $3\sqrt{3}-5\sqrt{5}+3\sqrt{5} $

    $3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$

    $4\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5} $

    Zu $2\sqrt{3}+5\sqrt{7}$ gehören die Terme:

    $\sqrt{3}+8\sqrt{7}+\sqrt{3}-3\sqrt{7}$

    $3\sqrt{3}+5\sqrt{7}-\sqrt{3}$

    Zu $\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:

    $5\sqrt{7}-2\sqrt{5}-4\sqrt{7}$

    $8\sqrt{7}-7\sqrt{7}-2\sqrt{5}$

  • Bestimme die Vereinfachung der Wurzelterme.

    Tipps

    Die Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.

    Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.

    Lösung

    Die Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst. Zum Beispiel:

    $3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7} $

    Man wählt:

    $\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$,$\sqrt{7}=z$

    Damit ergibt sich:

    $3x+2z-4y+2y-2z $

    $=3x-2y $

    Und mit der Resubstitution erhält man:

    $=3\sqrt{3}-2\sqrt{5} $

    Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:

    Zum ersten Partner $\sqrt{8}-2\sqrt{5}$ gehört:

    $4\sqrt{5}+3\sqrt{8}-6\sqrt{5}-2\sqrt{8}$

    Zum zweiten Partner $3\sqrt{3}-2\sqrt{5} $ gehört:

    $3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7} $

    Zum dritten Partner $8\sqrt{3}+4\sqrt{5} $ gehört:

    $4\sqrt{3}+\sqrt{5}+4\sqrt{3}+3\sqrt{5} $

    Zum vierten Partner $-5\sqrt{8}+2\sqrt{5}$ gehört:

    $-2\sqrt{8}+4\sqrt{5}-3\sqrt{8}-2\sqrt{5}$