Logarithmusgesetze
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- Was ist der Logarithmus?
- 1. Logarithmengesetz: Logarithmen-Addition
- 2. Logarithmengesetz: Logarithmen-Subtraktion
- 3. Logarithmengesetz: Logarithmus einer Potenz/Wurzel
- Sonderfälle und weitere Beispiele
- Wie kann der Logarithmus zu einer belieben Basis $a$ berechnet werden?
- Ein etwas komplexeres Beispiel
- Du weißt, dass $2^5=32$ ist.
- Du könntest auch umgekehrt fragen, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, damit $32$ herauskommt. Du suchst also die Lösung der Gleichung $2^x=32$.
- Die Zahl $a$, die potenziert wird, wird als Basis bezeichnet.
- Die Zahl, mit der die Basis potenziert wird, wird als Exponent bezeichnet.
- Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.
- Der Exponent der Potenz ist der Logarithmus.
- Die Basis $a$ ist auch die Basis des Logarithmus.
- Der Potenzwert, das Argument des Logarithmus, wird als Numerus bezeichnet.
- Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet: $\log_{10}=\lg$.
- Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.
- Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.
- Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
- Damit ist $u\cdot v=a^c\cdot a^d=a^{c+d}$.
- Dies bedeutet wiederum, dass $\log_a(u\cdot v)=c+d$ ist.
- Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden: $\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.
- $\ln(2\cdot e)=\ln(2)+ \ln(e)$
- $\text{ld}(5)+\text{ld}(3,2)=\text{ld}(5\cdot 3,2)=\text{ld}(16)$
- Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
- Damit ist
- Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:
- $\lg\left(\frac{100}2\right)=\lg(100)-\lg(2)$
- $\lg(50)-\lg(5)=\lg\left(\frac{50}5\right)=\lg(10)$
- Sei $\log_a(u^r)=c$, dann gilt $a^c=u^r$.
- Nun kann auf beiden Seiten die $r$-te Wurzel gezogen werden:
- Dies wiederum bedeutet
- Zuletzt muss noch mit $r$ multipliziert werden: $r\cdot \log_a (u)=c$
- und $c=\log_a(u^r)$ eingesetzt werden: $r\cdot \log_a (u)=\log_a(u^r)$.
- $\lg(10^5)=5\lg(10)$
- $\ln(0,9^n)=n\cdot \ln(0,9)$
- $\log_a(1)=0$, da $a^0=1$ ist.
- $\log_a(a)=1$, da $a^1=a$ ist.
- Damit gilt: $\ln(e)=1$, ld$(2)=1$ sowie $\lg(10)=1$.
- $\log_a(a^n)=n\cdot \log_a(a)=n\cdot 1=n$.
- Somit kannst Du $\text{ld}(16)= \text{ld}\left(2^4\right)=4$ sowie $\lg(100)=\lg\left(10^2\right)=2$ berechnen.
Was ist der Logarithmus?
Die Anwendung des Logarithmus ist die Umkehrung vom Potenzieren.
Schaue Dir hierfür ein Beispiel an.
Der Logarithmus beantwortet somit die Frage: Mit welcher Zahl muss man $2$ potenzieren, damit $32$ herauskommt?
Die Lösung der Gleichung $2^x=32$ ist gegeben durch $x=\log_2{32}$.
Ganz allgemein wird die Gleichung $a^x=b$ gelöst durch $y=\log_a{b}$, dem Logarithmus zur Basis $a$ von $b$.
Bezeichnungen
Hier siehst Du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts).
Der Logarithmus zu einer Basis einer Zahl ist der Exponent, mit welchem eine Basis potenziert werden muss, damit die Zahl herauskommt.
Spezielle Logarithmen
Die Basis eines Logarithmus muss positiv sein.
Diese beiden Logarithmen findest du auf deinem Taschenrechner.
Alle folgenden Rechenregeln für Logarithmen gelten unabhängig von der Logarithmusbasis.
1. Logarithmengesetz: Logarithmen-Addition
Das 1. Logarithmusgesetz besagt:
$\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.
Nachweis dieses Gesetzes
Beispiele
2. Logarithmengesetz: Logarithmen-Subtraktion
Das 2. Logarithmusgesetz besagt:
$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.
Nachweis dieses Gesetzes
$\quad~~~\frac u v=\frac{a\^c}{a\^d}=a\^{c-d}.$ * Dies bedeutet wiederum, dass
$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=c-d$ ist.
$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.
Beispiele
3. Logarithmengesetz: Logarithmus einer Potenz/Wurzel
Das 3. Logarithmusgesetz besagt:
$\log_a(u\^r)=r\cdot \log_a(u)$
Dieses Gesetz gilt auch für Wurzeln - Du kannst diese als Potenzen schreiben:
$\log_a(\sqrt[r]u)=\frac1r\cdot \log_a(u)$.
Nachweis dieser Regel
$\quad~~a^{\frac cr}=u$.
$\quad~~~\log_a (u)=\frac cr$.
Beispiele
Sonderfälle und weitere Beispiele
Wie kann der Logarithmus zu einer belieben Basis $a$ berechnet werden?
Der Logarithmus $x=\log_a(b)$ löst die Gleichung $a^x=b$. Wenn du einen anderen Logarithmus als die zur Basis $a$ verwendest, zum Beispiel $\lg$, dann gehst du wie folgt vor:
$\begin{array}{rclll} a\^x&=&b&|&\lg(~~~)\\\ \lg(a\^x)&=&\lg(b)&|&\text{3. Logarithmusgesetz}\\\ x\cdot \lg(a)&=&\lg(b)&|&:\lg(a)\\\ x&=&\frac{\lg(b)}{\lg(a)} \end{array}$
Es gilt also allgemein:
$\log_a(b)=\frac{\lg(b)}{\lg(a)}$.
Du kannst natürlich auch jede andere Basis als $10$ für den Logarithmus wählen.
Ein etwas komplexeres Beispiel
Mit den Logarithmusgesetzen kannst du auch etwas komplexere Logarithmen behandeln. Schaue Dir hierfür das folgende Beispiel an.
$\begin{array}{rcll} \log_a\left(\frac{a\cdot b\cdot x^{2}}{c\cdot y^{3}}\right)&=&\log_a(a\cdot b\cdot x^{2})-\log_a(c\cdot y^{3})&|\text{ 2. Logarithmusgesetz}\\ &=&\log_a(a)+\log_a(b)+\log_a(x^{2})-\left(\log_a(c)+\log_a(y^{3})\right)&|\text{ 1. Logarithmusgesetz}\\ &=&1+\log_a(b)+2\log_a(x)-\log_a(c)-3\log_a(y)&|\text{ 3. Logarithmusgesetz} \end{array}$
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