Logarithmusgesetze

Was ist der Logarithmus?

Die Anwendung des Logarithmus ist die Umkehrung vom Potenzieren.

Schaue Dir hierfür ein Beispiel an.

• Du weißt, dass $2^5=32$ ist.
• Du könntest auch umgekehrt fragen, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, damit $32$ herauskommt. Du suchst also die Lösung der Gleichung $2^x=32$.

Der Logarithmus beantwortet somit die Frage: Mit welcher Zahl muss man $2$ potenzieren, damit $32$ herauskommt?

Die Lösung der Gleichung $2^x=32$ ist gegeben durch $x=\log_2{32}$.

Ganz allgemein wird die Gleichung $a^x=b$ gelöst durch $y=\log_a{b}$, dem Logarithmus zur Basis $a$ von $b$.

Bezeichnungen

Hier siehst Du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts).

• Die Zahl $a$, die potenziert wird, wird als Basis bezeichnet.
• Die Zahl, mit der die Basis potenziert wird, wird als Exponent bezeichnet.
• Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.

Der Logarithmus zu einer Basis einer Zahl ist der Exponent, mit welchem eine Basis potenziert werden muss, damit die Zahl herauskommt.

• Der Exponent der Potenz ist der Logarithmus.
• Die Basis $a$ ist auch die Basis des Logarithmus.
• Der Potenzwert, das Argument des Logarithmus, wird als Numerus bezeichnet.

Spezielle Logarithmen

Die Basis eines Logarithmus muss positiv sein.

• Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet: $\log_{10}=\lg$.
• Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.

Diese beiden Logarithmen findest du auf deinem Taschenrechner.

• Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Alle folgenden Rechenregeln für Logarithmen gelten unabhängig von der Logarithmusbasis.

1. Logarithmengesetz: Logarithmen-Addition

Das 1. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.

Nachweis dieses Gesetzes

• Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
• Damit ist $u\cdot v=a^c\cdot a^d=a^{c+d}$.
• Dies bedeutet wiederum, dass $\log_a(u\cdot v)=c+d$ ist.
• Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden: $\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.

Beispiele

• $\ln(2\cdot e)=\ln(2)+ \ln(e)$
• $\text{ld}(5)+\text{ld}(3,2)=\text{ld}(5\cdot 3,2)=\text{ld}(16)$

2. Logarithmengesetz: Logarithmen-Subtraktion

Das 2. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.

Nachweis dieses Gesetzes

• Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
• Damit ist

$\quad~~~\frac u v=\frac{a^c}{a^d}=a^{c-d}.$

• Dies bedeutet wiederum, dass

$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=c-d$ ist.

• Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.

Beispiele

• $\lg\left(\frac{100}2\right)=\lg(100)-\lg(2)$
• $\lg(50)-\lg(5)=\lg\left(\frac{50}5\right)=\lg(10)$

3. Logarithmengesetz: Logarithmus einer Potenz/Wurzel

Das 3. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a(u^r)=r\cdot \log_a(u)$

Dieses Gesetz gilt auch für Wurzeln - Du kannst diese als Potenzen schreiben:

$\log_a(\sqrt[r]u)=\frac1r\cdot \log_a(u)$.

Nachweis dieser Regel

• Sei $\log_a(u^r)=c$, dann gilt $a^c=u^r$.
• Nun kann auf beiden Seiten die $r$-te Wurzel gezogen werden:

$\quad~~a^{\frac cr}=u$.

• Dies wiederum bedeutet

$\quad~~~\log_a (u)=\frac cr$.

• Zuletzt muss noch mit $r$ multipliziert werden: $r\cdot \log_a (u)=c$
• und $c=\log_a(u^r)$ eingesetzt werden: $r\cdot \log_a (u)=\log_a(u^r)$.

Beispiele

• $\lg(10^5)=5\lg(10)$
• $\ln(0,9^n)=n\cdot \ln(0,9)$

Sonderfälle und weitere Beispiele

• $\log_a(1)=0$, da $a^0=1$ ist.
• $\log_a(a)=1$, da $a^1=a$ ist.
• Damit gilt: $\ln(e)=1$, ld$(2)=1$ sowie $\lg(10)=1$.
• $\log_a(a^n)=n\cdot \log_a(a)=n\cdot 1=n$.
• Somit kannst Du $\text{ld}(16)= \text{ld}\left(2^4\right)=4$ sowie $\lg(100)=\lg\left(10^2\right)=2$ berechnen.

Wie kann der Logarithmus zu einer belieben Basis $a$ berechnet werden?

Der Logarithmus $x=\log_a(b)$ löst die Gleichung $a^x=b$. Wenn du einen anderen Logarithmus als die zur Basis $a$ verwendest, zum Beispiel $\lg$, dann gehst du wie folgt vor:

$\begin{array}{rclll} a^x&=&b&|&\lg(~~~)\\ \lg(a^x)&=&\lg(b)&|&\text{3. Logarithmusgesetz}\\ x\cdot \lg(a)&=&\lg(b)&|&:\lg(a)\\ x&=&\frac{\lg(b)}{\lg(a)} \end{array}$

Es gilt also allgemein:

$\log_a(b)=\frac{\lg(b)}{\lg(a)}$.

Du kannst natürlich auch jede andere Basis als $10$ für den Logarithmus wählen.

Ein etwas komplexeres Beispiel

Mit den Logarithmusgesetzen kannst du auch etwas komplexere Logarithmen behandeln. Schaue Dir hierfür das folgende Beispiel an.

$\begin{array}{rcll} \log_a\left(\frac{a\cdot b\cdot x^{2}}{c\cdot y^{3}}\right)&=&\log_a(a\cdot b\cdot x^{2})-\log_a(c\cdot y^{3})&|\text{ 2. Logarithmusgesetz}\\ &=&\log_a(a)+\log_a(b)+\log_a(x^{2})-\left(\log_a(c)+\log_a(y^{3})\right)&|\text{ 1. Logarithmusgesetz}\\ &=&1+\log_a(b)+2\log_a(x)-\log_a(c)-3\log_a(y)&|\text{ 3. Logarithmusgesetz} \end{array}$