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Logarithmus – Definition

Logarithmen sind in der Mathematik eine Umkehrung der Potenzrechnung. Sie helfen, den Exponenten herauszufinden, mit dem die Basis potenziert werden muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten. Verstehe, wie Logarithmen funktionieren und finde den richtigen Exponenten heraus. Interessiert? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Text!

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Team Digital
Logarithmus – Definition
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Logarithmus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zur Definition des Logarithmus.

    Tipps

    Bei einer Potenz gibt der Exponent an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert wird.
    Zum Beispiel bedeutet $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

    Auch das Wurzelziehen ist eine Umkehroperation zum Potenzieren, mit der wir die Basis einer Gleichung bestimmen können:

    $\begin{array}{lcll} x^3 & = & 8 & \vert \sqrt[3]{} \\ x & = & \sqrt[3]{8} & \\ x & = & 2 & \end{array}$

    Lösung

    Der Logarithmus, kurz $\text{log}$, ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Dabei gilt der folgende Zusammenhang:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Der Logarithmus hilft uns also, den Exponenten $x$ zu bestimmen. Man sagt: „Der Logarithmus von $b$ zur Basis $a$.“ Dieser gibt an, wie oft wir die Basis $a$ mit sich selbst multiplizieren müssen, um $b$ zu erhalten.

  • Gib die Lösungen der Gleichungen an.

    Tipps

    Du kannst die Gleichungen dieser Art mit dem Logarithmus lösen.

    Der Logarithmus einer Zahl $b$ zur Basis $a$ gibt an, wie oft du $a$ mit sich selbst multiplizieren musst, um $b$ zu erhalten, also den Exponenten $x$, für den $a^x = b$ gilt.

    Lösung

    Wenn bei einer Gleichung der Exponent gesucht ist, dann können wir den Logarithmus als Gegenoperation zum Potenzieren verwenden.

    Bei $a^x = b$ gibt der Exponent $x$ an, wie oft du die Zahl $a$ mit sich selbst multiplizieren musst, um $b$ zu erhalten.

    Die Lösung einer solchen Gleichung kannst du mit dem Taschenrechner über den Logarithmus bestimmen. Es gilt:

    $x = \text{log}_a (b)$

    1. Beispiel: $2^x = 8$

    • Lösung mit dem Logarithmus: $x = \text{log}_2 (8) = 3$
    • Probe: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

    2. Beispiel: $3^x = 81$

    • Lösung mit dem Logarithmus: $x = \text{log}_3 (81) = 4$
    • Probe: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

  • Ermittle die Formel zur Lösung der Gleichung mit dem Logarithmus.

    Tipps

    Es gilt dieser Zusammenhang:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Beispiel:

    Die Lösung zu $4^x = 2$ mit dem Logarithmus ist $x = \text{log}_4 (2)$.

    Lösung

    Der Logarithmus ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Dabei gibt der Logarithmus einer Zahl $b$ zur Basis $a$ an, wie oft wir die Basis $a$ mit sich selbst multiplizieren müssen, um $b$ zu erhalten. Dies ist der gesuchte Exponent.

    1. Beispiel: $5^x = 125 \rightarrow x = \text{log}_5 (125) = 3 \Longrightarrow$ Probe: $5^3 = 125$

    2. Beispiel: $2^x = 0{,}5 \rightarrow x = \text{log}_2 (0{,}5) = -1 \Longrightarrow$ Probe: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

    3. Beispiel: $125^x = 5 \rightarrow x = \text{log}_{125} (5) = \frac{1}{3} \Longrightarrow$ Probe: $125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

    4. Beispiel: $1{,}5^x = 2{,}25 \rightarrow x = \text{log}_{1{,}5} (2{,}25) = 2 \Longrightarrow$ Probe: $1{,}5^2 = 2{,}25$

  • Prüfe die Aussagen zum Logarithmus.

    Tipps

    Versuche, Beispiele zu finden, welche die Aussagen widerlegen.

    Der Logarithmus ist folgendermaßen definiert:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Lösung

    Um die Richtigkeit einer Aussage zu prüfen, gibt es folgende Möglichkeiten:

    • Du kannst eine Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
    • Um eine Aussage zu bestätigen, kannst du die Definition des Logarithmus nutzen.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Der Logarithmus zur Basis $-2$ ist dasselbe wie der Logarithmus zur Basis $2$: $\text{log}_{-2} ≙ \text{log}_2$.
    Wir wissen zum Beispiel, dass $\text{log}_2 (8) = 3$ gilt. Dann müsste auch $\text{log}_{-2} (8) = 3$ gelten. Da aber $(-2)^3 = -8$ und nicht $= 8$ ist, haben wir ein Gegenbeispiel, welches die Aussage widerlegt.

    • Es gilt $\text{log}_a (-8) = \text{log}_a (8)$.
    Betrachten wir zum Beispiel $a = 2$, dann ist $\text{log}_2 (8) = 3$, da $2^3 = 8$ gilt. Allerdings kann nicht gleichzeitig $2^3 = -8$ sein, was aber gelten müsste, damit $\text{log}_2 (-8) = \text{log}_2 (8)$.

    • Der Wert des Logarithmus ist nie negativ: $\text{log}_a (b) \geq 0$.
    Ein Gegenbeispiel widerlegt diese Aussage:

    $\text{log}_5 (0,2) = -1$, da gilt: $0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Es gilt $\text{log}_a (1) = 0$.
    Nach der Definition des Logarithmus ist $\text{log}_a (1) = 0$ gleichbedeutend mit $a^0 = 1$. Diese Aussage ist nach den Potenzgesetzen allgemein gültig.

    • Die Basis $a$ darf nicht $1$ sein: $a \neq 1$.
    Angenommen, es wäre $a = 1$. Dann wäre nach der Definition des Logarithmus $\text{log}_1 (5)$ der Exponent $x$, der die Gleichung $1^x = 5$ löst. Da aber für beliebige Exponenten immer $1^x = 1$ gilt, hat diese Gleichung keine Lösung. Also muss $a$ ungleich $1$ sein.

  • Gib die allgemeine Lösung mit dem Logarithmus an.

    Tipps

    Die Basis des Logarithmus entspricht der Basis der Potenz.

    Mithilfe des Logarithmus kann der Exponent $x$ berechnet werden.

    Zum Beispiel gilt $\text{log}_2 (8) = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8$.

    Lösung

    Beim Logarithmus handelt es sich um eine Umkehroperation zum Potenzieren, wobei das Ergebnis dem Exponenten, hier $x$, entspricht. Daher steht auf der linken Seite rechts neben dem Gleichheitszeichen ein $x$.
    Die Basis steht als kleiner Index beim Logarithmus. Da die Basis der Potenz $a$ ist, haben wir den Logarithmus zur Basis $a$, also $\text{log}_a$.
    Die Zahl im Logarithmus entspricht dem Potenzwert, was hier $b$ ist.

    Der allgemeine Zusammenhang lautet:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Der Logarithmus zur Basis $a$ von $b$ ergibt den Wert $x$ genau dann, wenn $a^x = b$ ist.

  • Berechne die Lösung mit dem Logarithmus.

    Tipps

    Du kannst den Exponenten $x$ mithilfe des Logarithmus im Taschenrechner berechnen.

    Deine Ergebnisse kannst du einfach überprüfen, indem du dein Ergebnis für $x$ wieder als Exponent einsetzt und schaust, ob du den richtigen Wert erhältst.

    Lösung

    Wenn bei einer Gleichung der Exponent gesucht ist, dann können wir den Logarithmus als Gegenoperation zum Potenzieren verwenden.

    Bei $a^x = b$ gibt der Exponent $x$ an, wie oft du die Zahl $a$ mit sich selbst multipliziert musst, um $b$ zu erhalten.

    Die Lösung einer solchen Gleichung kannst du mit dem Taschenrechner über den Logarithmus bestimmen. Es gilt:

    $x = \text{log}_a (b)$

    1. Beispiel: $4^x = 2$
    $x = \text{log}_4 (2) = 0{,}5 \Longrightarrow$ Probe: $4 ^{0{,}5} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

    2. Beispiel: $7^x = 343$
    $x = \text{log}_7 (343) = 3 \Longrightarrow$ Probe: $7^3 = 343$

    3. Beispiel: $0{,}2^x = 25$
    $x = \text{log}_{0{,}2} (25) = -2 \Longrightarrow$ Probe: $0{,}2^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$

    4. Beispiel: $81^x = 3$
    $x = \text{log}_{81} (3) = 0{,}25 \Longrightarrow$ Probe: $81^{0{,}25} = 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$