Zinsrechnung

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Wiederholung: Prozentrechnung
• Zinsrechnung: Begriffe und Formel
• Beispiele zur Zinsrechnung
  • Berechnung von Zinsen
  • Zins und Zinseszins
  • Berechnung des Kapitals
  • Berechnung des Zinssatzes
• Kredit und Tilgung

Wiederholung: Prozentrechnung

Die Zinsrechnung hat große Ähnlichkeit mit der Prozentrechnung, welche du bereits kennst. Aus der Prozentrechnung sind dir folgende Begriffe und Formelzeichen bekannt:

• Grundwert $G$
• Prozentwert $W$
• Prozentsatz $p\%$

$p$ ist die Prozentzahl. Die Formel für die Prozentrechnung lautet wie folgt:

$\dfrac{W}{G}=p\%$

Diese Formel kannst du mittels Äquivalenzumformungen nach der Größe, die du berechnen möchtest, umstellen.

Zinsrechnung: Begriffe und Formel

In der Zinsrechnung geht es darum, beim Geld auf deinem Sparbuch die Zinsen zu berechnen. Wichtig sind auch die Zinsen, die du der Bank zahlen musst, wenn du dir dort Geld leihst.

Du rechnest ebenso wie bei der Prozentrechnung. Da das Rechnen mit Geld aber aus einem finanzwirtschaftlichen Bereich kommt, werden hier andere Begriffe verwendet. Diese lauten wie folgt:

• Der Grundwert aus der Prozentrechnung ist das Kapital $K$ oder das Guthaben oder ein Kredit.
• Der Prozentwert wird in der Zinsrechnung als Zinsen bezeichnet.
• Der Prozentsatz entspricht dem Zinssatz $p\%$. Der Zinssatz wird meist „pro Jahr“ angegeben. Dies erkennst du an „$p~\%$ p.a.“. „p.a.“ steht für „per annum“, also „pro Jahr“.

Legt man Geld für ein Jahr an, so kann man die Zinsen, die man nach einem Jahr erhält, mit folgender Formel berechnen:

$Z=\dfrac{K\cdot p}{100}$

Beachte, dass in dieser Formel nicht $p\%$, sondern $p$ verwendet wird. Der Umrechnungsfaktor $100$ steht deshalb noch im Nenner.

Beispiele zur Zinsrechnung

Damit du nun auch mit deinem Geld vernünftige Zinsen bekommen kannst, schauen wir uns nun noch ein Paar Beispiele an.

Berechnung von Zinsen

Lisa legt ein Kapital $K=700~€$ an. Der Zinssatz beträgt $p\%=0,03=3\%$ p.a., das bedeutet: $p=3$. Die Zinsen für ein ganzes Jahr kann man nun mit der Formel zur Zinsrechnung berechnen.

Zinsen für ein Jahr

$\begin{array}{rcl} Z &=& \dfrac{K\cdot p}{100} \\ \\ Z &=& \dfrac{700\cdot 3}{100} \\ \\ Z &=& 21 \end{array}$

Lisa erhält also nach einem Jahr $Z=21~€$ Zinsen. Man kann mit diesen Zinsen auch berechnen, wie viel Zinsen Lisa pro Monat oder pro Tag erhält. Die Rechnungen hierzu sehen wie folgt aus:

Zinsen pro Monat

Hierfür werden die Zinsen durch $12$ dividiert.

$Z=\dfrac{K\cdot p}{100}\cdot \dfrac1{12}=\dfrac{21}{12}=1,75~[€]$

Zinsen pro Tag

Hierfür dividierst du die Zinsen durch $360$, denn die Bank rechnet mit $360$ Tagen pro Jahr.

$Z=\dfrac{K\cdot p}{100}\cdot \dfrac1{360}=\dfrac{21}{360}=0,06~[€]$

Lisa erhält also monatlich $1,75~€$ und täglich $0,06~€$ Zinsen.

Zins und Zinseszins

Lisa hat für $K=700~€$ bei einem Zinssatz von $p\%=0,03$ Zinsen in Höhe von $Z=21~€$ erhalten. Diese Zinsen kommen zu dem Kapital dazu. Das bedeutet, dass Lisa nach einem Jahr bereits $700~€+21~€=721~€$ hat. Auch dieses Kapital kann sie wieder zu $p\%=0,03$ (also $p=3$) anlegen. So erhält sie folgende Zinsen:

$Z=\dfrac{721\cdot 3}{100}=21,63~[€]$

Diese Zinsen werden also mit dem Ausgangskapital und den darauf erhaltenen Zinsen berechnet. Dies nennt man Zinseszins.

Das Kapital nach zwei Jahren beträgt dann $721~€+21,63~€=742,63~€$.

Für Rechnungen mit Zinseszins verwendet man in der Regel folgende Formel:

$K_n=K\cdot \left(1+\frac p{100}\right)^n$

Hierbei ist $K_n$ das Kapital nach der Verzinsung über $n$ Jahre. $K$ ist das Kapital vor der Verzinsung, also das Anfangskapital. Für das obige Beispiel ist $K=700~€$, $p=3$ und $n=2$, sodass folgende Rechnung folgt:

$K_2=700~€\cdot \left(1+\frac 3{100}\right)^2=700~€\cdot 1,03^2=742,63~€$

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der ersten Rechnung überein.

Berechnung des Kapitals

Paul überlegt sich, wie viel Geld er zu dem Zinssatz $p\%=0,05$, also $p=5$ anlegen muss, damit er $Z=100~€$ erhält. Es ist also das Kapital $K$ gesucht. Hier kannst du die Formel wie folgt umstellen:

$\begin{array}{rcll} Z &=& \dfrac{K\cdot p}{100} & \vert \cdot 100 \\ \\ Z\cdot 100 &=& K\cdot p & \vert :p \\ \\ \dfrac{Z\cdot 100}{p} &=& K & \end{array}$

Die bekannten Größen für $Z$ sowie $p$ werden nun wie folgt eingesetzt:

$K=\dfrac{100\cdot 100}{5}=2000$

Paul müsste also $K=2000~€$ anlegen, um bei einem Zinssatz von $p\%=0,05$ Zinsen in Höhe von $Z=100~€$ zu erhalten.

Berechnung des Zinssatzes

Luke hat $K=1200~€$, die er so anlegen will, dass er $Z=42~€$ Zinsen erhält. Dieses Mal ist nach dem Zinssatz $p\%$ gefragt. Du stellst die Formel wie folgt um:

$\begin{array}{rcll} Z &=& \dfrac{K\cdot p}{100} & \vert \cdot 100 \\ \\ Z\cdot 100 &=& K\cdot p & \vert :K \\ \\ \dfrac{Z\cdot 100}{K} &=& p & \end{array}$

Auch hier werden die bekannten Größen eingesetzt und man erhält:

$p=\dfrac{42\cdot 100}{1200}=3,5$

Luke müsste sein Kapital zu $3,5~\%$ anlegen, um die gewünschten Zinsen zu erhalten.

Kredit und Tilgung

Du kannst nicht nur Kapital anlegen und dafür Zinsen von der Bank bekommen. Umgekehrt kannst du dir auch Geld von der Bank leihen. Zum Beispiel, wenn du dir ein neues Fahrrad kaufen willst und dafür $250~€$ benötigst.

Du nimmst also einen Kredit bei der Bank auf. Die Bank gibt dir das Geld allerdings nicht einfach so. Sie möchte das Geld von dir zurückbekommen und verlangt auch Zinsen, zum Beispiel $7,5\%$. Auch diese Zinsen werden pro Jahr berechnet.

Du überlegst dir, dass du pro Monat eine Rate von $90~€$ zurückzahlen könntest. Wie lange musst du dann an die Bank Geld zurückzahlen? Du kannst dies Monat für Monat rechnen:

monatlichen Zinsen

$p_m=\dfrac{p}{12}=0,625$

Das bedeutet, dass in dem ersten Monat die folgenden Zinsen anfallen:

$Z=\dfrac{250\cdot 0,625}{100}=1,56~[€]$

Diese $1,56~€$ deiner Rate fallen für die Zinsen an. Der Rest dient zur Tilgung des Kredites. Merke dir:

• $\text{Rate} - \text{Zinsen} = \text{Tilgung}$

Nach einem Monat hast du also noch $250~€+1,56~€-90~€=161,56~€$ Schulden bei der Bank. Auch diese werden wieder verzinst:

$Z=\dfrac{161,56\cdot 0,625}{100}=1,01~[€]$

Nach zwei Monaten betragen deine Schulden noch $161,56~€+1,01~€-90~€=72,57~€$. Diese werden wieder verzinst:

$Z=\dfrac{72,57\cdot 0,625}{100}=0,45~[€]$

Damit beträgt deine letzte Rate $72,57~€+0,45~€=73,02~€$

Du hast also bei zwei Monatsraten in Höhe von $90~€$ und einer Abschlussrate in Höhe von $73,02~€$ deinen Kredit nach drei Monaten abbezahlt.