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Zinseszinsen

Entdecke die faszinierende Welt der Zinsen und des Zinseszins-Effekts. Lerne, was unter Begriffen wie Kapital, Zinsen und Zinssatz zu verstehen ist und wie du diese berechnen kannst. Interessiert? Tauche ein in die Formeln und verstehe, wie dein angelegtes Geld wachsen kann!

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Team Digital
Zinseszinsen
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Zinseszinsen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinseszinsen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Zinseszins.

    Tipps

    Prozentsätze in Prozent kannst du in Dezimalzahlen umrechnen, indem du die Prozentzahl (also die Zahl vor dem Prozentzeichen) durch $100$ teilst.

    Zinseszinsen sind Zinsen, die in Zukunft zusammen mit dem Kapital verzinst werden müssen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Zinsen $Z$ kannst du mit dieser Formel berechnen: $Z=\frac{K}{p\%}$.“

    • Die Zinsen $Z$ in einem Verzinsungszeitraum bestimmst du immer durch: $Z=K \cdot p\%$
    „$3,5~\%$ kannst du auch als $0,35$ schreiben.“

    • Prozentsätze in Prozent kannst du in Dezimalzahlen umrechnen, indem du die Prozentzahl (also die Zahl vor dem Prozentzeichen) durch $100$ teilst. Hier erhältst du also $0,035$.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Den Zinssatz $p\%$ erhält man, indem man die entsprechenden Zinsen $Z$ durch das Kapital $K$ teilt. “

    „Zinseszinsen entstehen, wenn sich das Kapital $K$ durch gezahlte Zinsen bereits verändert hat. Diese gezahlten Zinsen werden anschließend ebenfalls verzinst.“

    „Durch den Zinseszins vergrößern sich die Zinsen bei einem positiven Zinssatz jedes Jahr.“

    • Diese Aussagen beschreiben den Zinseszins korrekt.
  • Beschreibe die Berechnung von Zinseszinsen.

    Tipps

    Die Zinsen werden auf Archies Konto gutgeschrieben. Deshalb hat er am Ende des ersten Jahres sein ursprüngliches Kapital plus die Zinsen auf dem Konto.

    Um die Zinsen des zweiten Jahres zu berechnen, kannst du die bekannte Formel

    $Z=K \cdot p\%$

    verwenden. Hier musst du allerdings das Kapital am Ende des ersten Jahres (also inklusive der Zinsen des ersten Jahres) einsetzen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Zinsen $Z$ des ersten Jahres berechnen wir wie folgt:

    $Z=K \cdot p\%=350\cdot 0,035=12,25$“

    • Zinsen für einen bestimmten Zeitraum berechnen wir immer mit der bekannten Formel. Hier setzen wir die gegebenen Zahlenwerte ein.
    „Also hat er am Ende des ersten Jahres ein Kapital von:

    $K_1=350+12,25=362,25$“

    • Die Zinsen werden auf Archies Konto gutgeschrieben. Deshalb hat er am Ende des ersten Jahres sein ursprüngliches Kapital plus die Zinsen auf dem Konto.
    „Die Zinsen des zweiten Jahres berechnen wir genauso und erhalten auf zwei Nachkommastellen gerundet:

    $Z \approx 12,68$

    Damit beträgt das Kapital am Ende des zweiten Jahres:

    $K_2=374,93$“

    • Im zweiten Jahr wenden wir die gleiche Formel an wie im ersten Jahr. Nur hat sich hier aufgrund der Zinsen des ersten Jahres das Kapital vergrößert. Das müssen wir auch in die Formel einsetzen.
    „Mit einer Formel können wir das Kapital nach einem bestimmten Zeitraum auch direkt bestimmen. Diese Formel lautet allgemein:

    $K_x=K \cdot (100~\% +p\%)^x$

    Setzen wir unsere Werte ein, erhalten wir folgende Rechnung für das Kapital nach zwei Jahren:

    $K_2=350\cdot 1,035^2=374,93$“

    • Die einzelne Berechnung des Kapitals am Ende jedes Jahres ist umständlich. Mit dieser Formel geht es einfacher.
  • Ermittle die Zinsen und das Kapital.

    Tipps

    Die Zinsen für jedes Jahr kannst du einzeln mit dieser Formel berechnen:

    $Z=K \cdot p\%$.

    Anschließend addierst du diese zum Kapital.

    Lösung

    Die Zinsen für jedes Jahr kannst du einzeln berechnen. Anschließend addierst du diese zum Kapital. So erhältst du:

    • $Z_1=K \cdot p\%=500 \cdot 0,02=10$
    Also beträgt das Kapital am Ende des ersten Jahres:

    • $K_1=K+Z_1=500+10=510$
    Die anderen Jahre berechnest du genauso:

    $\begin{array}{llllllll} \\ & Z_2 &=& K_1 \cdot p\% &=& 510 \cdot 0,02 &=& 10,2 \\ & K_2 &=& K_1+Z_2 &=& 510+10,2 &=& 520,2 \\ \\ & Z_3 &=& K_2 \cdot p\% &=& 520,2 \cdot 0,02 &=& 10,4 \\ & K_3 &=& K_2+Z_3 &=& 520,2+10,4 &=& 530,6 \\ \\ & Z_4 &=& K_3 \cdot p\% &=& 530,6 \cdot 0,02 &=& 10,6 \\ & K_4 &=& K_3+Z_4 &=& 530,6+10,6 &=& 541,2 \end{array}$

  • Erschließe das Kapital.

    Tipps

    Das Kapital nach den angegebenen Zeiträumen kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $K_x=K \cdot (100~\% +p\%)^x$ .

    Für das erste Kapital nach $3$ Jahren erhalten wir:

    $K_3=400~€\cdot 1,01^3=$.

    Lösung

    Das Kapital nach den angegebenen Zeiträumen kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $K_x=K \cdot (100~\% +p\%)^x$.

    Hier können wir nacheinander die gegebenen Werte einsetzen. So erhalten wir:

    • $K_3=400~€\cdot 1,01^3=412,12~€$
    • $K_2=450~€\cdot 1,015^2=463,6~€$
    • $K_5=430~€\cdot 1,02^5=474,75~€$
    • $K_3=500~€\cdot 1,005^3=407,54~€$
  • Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung von Zinseszinsen.

    Tipps

    Zinsen und Kapital werden jeweils mit ihrem Anfangsbuchstaben abgekürzt.

    Die Zinsen werden am Ende des Jahres auf das Konto gutgeschrieben.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zuerst bestimmst du die Jahreszinsen $Z$ des Kapitals $K$. Dazu verwendest du folgende Formel:

    $Z=K \cdot p\%$

    Anschließend addierst du die Zinsen $Z$ zu dem Anfangskapital $K$, um das Kapital $K_1$ am Ende des ersten Jahres zu erhalten.

    Danach beginnst du wieder von vorne und bestimmst die Jahreszinsen für das folgende Jahr.“

    • Dieses Vorgehen wiederholst du, bis du das Kapital für das gewünschte Jahr bestimmt hast.
    „Alternativ kannst du das Kapital für jedes Jahr auch direkt berechnen. Dazu verwendest du folgende Formel:

    $K_x=K \cdot (100~\% +p\%)^x$“

    • Mit dieser Formel rechnest du das Kapital für jedes Jahr schneller und einfacher aus.
  • Erschließe das Rechnen mit einem negativen Zins.

    Tipps

    Die Zinsen für obiges Beispiel im ersten Jahr kannst du so berechnen:

    $Z=K \cdot p\%= 100 \cdot (-0,02)=$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Leiht sich eine Bank $100~€$ bei einem negativen Zinseszins von $-2~\%$, muss sie nach zwei Jahren $104,04~€$ zurückzahlen.“

    • Hier wurde mit einem positiven Zins gerechnet. Die richtige Rechnung verläuft so: $K_2=100 \cdot ( 1-0,02)^2=100 \cdot 0,98^2=96,04$
    „Bei einem negativen Zinseszins steigen die Zinsen jedes Jahr.“

    • Ein negativer Zinseszins verringert die Zinsen jedes Jahr. Betrachten wir obiges Beispiel: Im ersten Jahr betragen die Zinsen: $Z=K \cdot p\%= 100 \cdot (-0,02)=-2$. Damit beträgt das Kapital am Ende des Jahres: $K_1=K+Z=100-2=98$. Jetzt berechnen wir die Zinsen des zweiten Jahres: $Z=98 \cdot (-0,02)=-1,96$. Der Betrag der Zinsen ist also kleiner geworden.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Leiht sich eine Bank $100~€$ bei einem negativen Zinseszins von $-2~\%$, muss sie nach zwei Jahren nur $96,04~€$ zurückzahlen.“

    „Bei einem negativen Zinseszins verringert sich der Betrag der Zinsen jedes Jahr.“

    „Legst du dein Geld zu einem negativen Zins an, dann hast du am Ende des Jahres weniger Geld auf dem Konto, als zu Beginn.“

    • Um dich zu vergewissern, dass diese Aussagen richtig sind, betrachte obige Beispiele.