30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte im Basis- oder Premium-Paket.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Was ist ein Funktionsgraph?

Der Funktionsgraph, oder auch kurz der Graph, einer Funktion $f(x)$ ist die Menge alle geordneten Zahlenpaare $(x|y)$, für die gilt: $y=f(x)$. Die Menge aller Werte für $x$ wird als Defintionsbereich oder Definitionsmenge der Funktion und die Menge aller Funktionswerte ($y$) als Wertebereich oder Wertemenge bezeichnet.

Da du nicht zu unendlich vielen Werten für $x$ die zugehörigen Funktionswerte bestimmen kannst, gehst du wie folgt vor.:

  • Du erstellst eine Wertetabelle. In diese trägst du für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen Funktionswerte $y=f(x)$ ein.
  • Die so erhaltenen Zahlenpaare (Punkte) $(x|y)$ überträgst du in ein Koordinatensystem.
  • Zuletzt verbindest du die Punkte zu dem Funktionsgraphen.
  • Bei nicht linearen Funktionen gilt: je mehr Punkte du in das Koordinatensystem einzeichnest, desto genauer entspricht der Funktionsgraph, dem wirklichen Graphen.

Lineare Funktionen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$ oder auch $f(x)=mx+b$. Dabei ist

Der Graph einer linearen Funktion entspricht einer Geraden.

Lass uns das Zeichnen eines Funktionsgraphen an einem ersten Beispiel üben:

$\quad f(x)=2x-3$.

  • Zunächst wählst du geeignete Werte für $x$ und erstellst eine Wertetabelle. Zum Beispiel ist:

$\quad~~~y=f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.

3099_Wertetabelle_1.jpg

  • Dann trägst du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dabei ist jeweils die erste Koordinate eines Punktes dessen x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

3099_Graph_y_2x-3.jpg

  • Natürlich kannst du den Funktionsgraphen einer lineare Funktionen auch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.
  • Hierfür trägst du den y-Achsenabschnitt (Schnittstelle des Graphen mit der $y$-Achse) an der y-Achse ab (Punkt: (0|-3)).
  • Dann zeichnest du ein Steigungsdreieck entsprechend der Steigung der Funktion. In diesem Beispiel ist der Anstieg: $m=2=\frac21$.
  • Von der Schnittstelle mit der y-Achse zeichnest du das Steigungsdreieck, in dem du 2 Einheiten nach oben abträgst und eine Einheit nach rechts. Du landest beim Punkt (1|-1).
  • Nun kannst du den Graphen der linearen Funktion zeichnen.

Eine spezielle lineare Funktion, die konstante Funktion

Wenn die Steigung $m=0$ ist, verläuft die Gerade der Funktion $f(x)=b$ parallel zur x-Achse durch $y=b$. Sei zum Beispiel $f(x)=2$. Wenn du eine Wertetabelle erstellen würdest, würde in der Zeile für $y$ jedes Mal die $2$ stehen. Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=2$.

3100_konstante_Funktion.jpg

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion kann beispielsweise

  • in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ oder
  • in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei $S(d|e)$ der Scheitelpunkt ist,

gegeben sein.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

Wir schauen uns die quadratische Funkion $f(x)=x^2$, also die sogenannte Normalparabel an.

  • Auch hier kannst du eine Wertetabelle erstellen:

3100_Wertetabelle_y_x_2.jpg

  • Nun überträgst du wieder die Punkte in ein Koordinatensystem. Zuletzt verbindest du die Punkte miteinander. Achte darauf, dass es sich um keine lineare Funktion handelt und du die Punkte nicht einfach gerade verbindest, sondern durch eine geschwungene Linie. Hier gilt, desto mehr Punkte du gegeben hast, desto genauer wird der Funktionsgraph. Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion:

3100_Graph_y_x_2.jpg

Die Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist wie folgt definiert

$\quad~~~f(x)=\begin{cases} x \text{, wenn } x > 0 \\ -x \text{, wenn }x \le 0 \end{cases}$

Lass uns einige Punkte berechnen, um den Graphen zu dieser Funktion zeichnen zu können:

  • $f(-2)=2 \rightarrow P_1(-2|2)$
  • $f(-1)=1 \rightarrow P_2(-1|1)$
  • $f(0)=0 \rightarrow P_3(0|0)$
  • $f(1)=1 \rightarrow P_4(1|1)$
  • $f(2)=2 \rightarrow P_5(2|2)$

Hier siehst du den zugehörigen Graphen, der eine V-Form hat.

3100_Graph_y__x_.jpg

Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen

Du kannst übrigens auch Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen.

Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=-0,25x^2+2$.

  • Wenn du wissen willst, welche Punkte auf dem Graphen liegen, kannst du von einem $x$ parallel zur y-Achse nach oben bis zu dem Graphen gehen. Dies siehst du in dem Bild rechts für $x=2$.

3100_Punkte_ablesen.jpg

  • Von dort aus gehst du parallel zur x-Achse zur y-Achse und liest dort den y-Wert, also den Funktionswert, ab.
  • So erhältst du den Punkt $P(2|1)$ des Funktionsgraphen.
  • Dies kannst du auch mit Hilfe der Punktprobe überprüfen:

$\quad~~~y=f(2)=-0,25\cdot (2)^2+2=-0,25\cdot 4+2=-1+2=1$.

Videos in diesem Thema

Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1) Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1)

Dir wird erklärt, woran man eine Funktion in einem Koordinatensystem ( Graph ) erkennt. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Was man unter Zuordnung versteht und…

Funktionsgraphen im Koordinatensystem (2) Funktionsgraphen im Koordinatensystem (2)

Man kann Funktionen veranschaulichen, indem man einen Graph in ein Koordinatensystem einzeichnet. Nicht jeder Graph wird durch einen durchgehenden Strich…

Funktionsgraphen im Koordinatensystem (3) Funktionsgraphen im Koordinatensystem (3)

Hier siehst du, wie man eine Linie in einem Koordinatensystem als Funktion interpretieren kann. Du erfährst, ob eine Ecke in einem Koordinatensystem ein Graph einer…

Funktionsgraphen – Beispiel Steigung einer Straße Funktionsgraphen – Beispiel Steigung einer Straße

Häufig wird der Schulmathematik vorgeworfen, dass sie zu wenig Bezug zum Alltag hat. Vielleicht hast auch du dich manchmal gefragt, wozu du das alles aus dem…

Funktionsgraphen – Beispiel Geschwindigkeit zu Benzinverbrauch Funktionsgraphen – Beispiel Geschwindigkeit zu Benzinverbrauch

Weiter geht es auch schon mit dem zweiten Video, in dem wir den Benzinverbrauch eines Autos untersuchen. Im ersten Video haben wir eine Wertetabelle betrachtet. Wir…

Funktionsgraphen – Beispiel Farbkopierer Funktionsgraphen – Beispiel Farbkopierer

In jedem Büro gibt es immer auch einen Kopierer. Leider verliert jedes technische Gerät mit den Jahren der Benutzung an Wert. Wenn sich also jemand also ein Gerät kauft…

Funktionsgraphen – Beispiel Camcorder Funktionsgraphen – Beispiel Camcorder

Wenn du dir einen Camcorder (oder ein anderes technisches Gerät) zulegen möchtest, informierst du dich vor dem Kauf sicher über die nötigen technischen Details und das…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x

Hallo und herzlich willkommen zu meinem zweiten Video in der Reihe „Wertetabelle und Graph einer Funktion“. Wir sind nachwievor bei der Beispielfunktion y = x. ich…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x-1 Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x-1

Herzlich willkommen zu meinem vierten Video und gleichzeitig dem zweiten Teil zu unserem Beispiel y = x – 1. Im vorherigen Video habe ich dir gezeigt, wie die…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x+2 Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x+2

Herzlich willkommen zu meinem zum zweiten Teil unseres Beispiels y = x + 2. Im vorherigen Video habe ich mit dir gemeinsam bereits die Wertetabelle für diese Funktion…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=-x Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=-x

Herzlich willkommen zum zweiten Teil unseres Beispiels y = -x in der Reihe „Wertetabelle und Graph einer Funktion“. Im vorherigen Video habe ich mit dir gemeinsam…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=-2 Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=-2

Herzlich willkommen zu einem ganz besonderen Beispiel in der Reihe „Wertetabelle und Graph einer Funktion“. In den vorangegangenen Videos hast du vier verschiedene…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=0,2x-0,5 (1) Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=0,2x-0,5 (1)

Herzlich willkommen zu einem Video von mir, in dem ich dir eine Funktion mit „krummer“ Zahl vorstelle. Was genau verstehe ich nun unter „krummer“ Zahl? Das erkläre ich…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=0,2x-0,5 (2) Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=0,2x-0,5 (2)

Herzlich willkommen zum zweiten Video von mir, in dem ich dir etwas zu Funktionen mit „krummen“ Zahlen erzähle. Unter einer „krummen“ Zahl verstehe ich – das weißt du…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x² Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=x²

Herzlich willkommen zum zweiten Teil unseres Beispiels y = x² in der Reihe „Wertetabelle und Graph einer Funktion“. Im vorherigen Video hast du ja bereits gelernt, dass…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=3-x² Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=3-x²

Herzlich willkommen zum zweiten Teil unseres Beispiels y = 3 - x² in der Reihe „Wertetabelle und Graph einer Funktion“. Die Wertetabelle haben wir ja bereits im letzten…

Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=|x| Funktionsgraphen – Funktionsgleichung y=|x|

Herzlich willkommen zum zweiten Teil, in der wir nun den Graphen der Betragsfunktion y = | x | zeichnen wollen. Damit bist du allerdings auch schon beim letzten Video in…

Funktionsgraphen – Punktprobe (1) Funktionsgraphen – Punktprobe (1)

Angenommen du hast eine Funktionsgleichung gegeben und möchtest überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf der Funktionsgleichung liegt. Was musst du dann machen? Hast du…

Funktionsgraphen – Punktprobe (2) Funktionsgraphen – Punktprobe (2)

Angenommen du hast eine Funktionsgleichung gegeben und möchtest nun überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf der Funktionsgleichung liegt. Dann hast du zwei Methoden, mit…

Funktionsgraphen – Punktprobe (3) Funktionsgraphen – Punktprobe (3)

Hallo, ein Beispiel möchte ich noch mit dir zu dem Thema, wie überprüft wird, ob ein Punkt auf einer Funktionsgleichung liegt, bearbeiten. Wir benutzen wieder dieselbe…

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Funktionsgraphen

Fb8077a74d4a4fc4f5e55f6847dde3a3 1 Funktionsgraphen im Koordinatensystem (2) Anzeigen Herunterladen
7d21b383dcf781d689ce0e558925c63a 1 Funktionsgraphen im Koordinatensystem (3) Anzeigen Herunterladen