Volumen von Rotationskörpern

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Rotationskörper?
• Beispiele für Rotationskörper
• Herleitung einer Formel zur Volumenberechnung
• Die Volumenformel für Rotationskörper
• Das Volumen eines Zylinders
• Das Volumen eines Kegels
• Die Kepler'sche Fassregel

Was ist ein Rotationskörper?

Was ein Rotationskörper ist, kannst du teilweise aus dem Namen herleiten. Ein Rotationskörper ist ein Körper, welcher durch Rotation, also Drehung, entsteht. Die Frage ist nun, was wie gedreht wird:

• Du betrachtest den Graphen einer Funktion $f$ über dem Intervall $[a;b]$ und
• drehst den Graph um die $x$-Achse.

Beispiele für Rotationskörper

Wir schauen uns ein erstes Beispiel an. Die Funktionsgleichung $f(x)=r$ ist konstant. Der Funktionsgraph ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade.

Wenn nun die Fläche unter dem Funktionsgraph über dem Intervall $[a;b]$ um die $x$-Achse rotiert wird, entsteht ein Zylinder.

Der Funktionsgraph einer linearen Funktionsgleichung $f(x)=m\cdot x$ ist eine Ursprungsgerade, also eine Gerade, welche durch den Koordinatenursprung verläuft. Wenn die Fläche unterhalb einer positiven Ursprungsgeraden über dem Intervall $[0;h]$ um die $x$-Achse rotiert wird, entsteht ein Kegel. Im Folgenden ist $m=\frac rh$.

Herleitung einer Formel zur Volumenberechnung

Im Folgenden siehst du eine Herleitung der Volumenformel.

Schaue dir den folgenden Rotationskörper an:

Das Volumen dieses Rotationskörpers kannst du mit Hilfe von Zylindern näherungsweise berechnen:

Jeder dieser Zylinder ($Z_i$), in diesem Bild sind dies $5$, hat die Höhe $h=\frac{b-a}{5}$. Die Radien der Zylinder ergeben sich aus den jeweiligen Funktionswert am linken Rand mit $x_i$, $i=0,\dots, 4$, des jeweiligen Intervalls. Somit hat jeder der Zylinder das Volumen:

$V_{Z_i}=\pi\cdot (f(x_i))^2\cdot \frac{b-a}5$.

Wenn du nun diese Volumina addierst, erhältst du:

$V=\sum\limits_{i=0}^4\pi\cdot (f(x_i))^2\cdot \frac{b-a}5$.

Nun kannst du die Unterteilung des Intervalls $[a;b]$ immer feiner wählen. Dadurch nähert sich die Summe der Zylindervolumina immer genauer dem Volumen des Rotationskörpers an:

$V=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^n\pi\cdot (f(x_i))^2\cdot \frac{b-a}n$.

Der Grenzwert der Summen ist das bestimmte Integral

$V=\int\limits_{a}^b\left(\pi\cdot (f(x))^2\right)dx$.

Zuletzt kannst du noch $\pi$ aus dem Integral herausziehen und erhältst damit die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

Die Volumenformel für Rotationskörper

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers lautet:

$V=\pi\cdot \int\limits_{a}^b(f(x))^2dx$.

• $\pi=3,1415...$ ist die Kreiszahl.
• $a$ und $b$ sind die Grenzen, in welchen der Funktionsgraph rotiert wird. Die Höhe des resultierenden Körpers ist dann $h=b-a$.
• $f$ ist die Funktion, deren Graph rotiert wird.

Wir schauen uns nun die oben bereits erwähnten Beispiele von Rotationskörpern an. Dabei können wir das jeweilige Ergebnis mit den bekannten Formeln zur Berechnung des Volumens eines Zylinders sowie eines Kegels vergleichen.

Das Volumen eines Zylinders

Für die konstante Funktion$f$ mit Funktionsgleichung $f(x)=r$ auf dem Intervall $[a;b]$ erhältst du als Rotationskörper einen Zylinder:

Mit der Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers ergibt sich somit:

$V=\pi\cdot \int\limits_{a}^b r^2 dx=\pi\cdot \left[r^2\cdot x\right]_a^b=\pi\cdot r^2\cdot (b-a)=\pi\cdot r^2\cdot h$.

Das Volumen eines Kegels

Für die lineare Funktion $f(x)=\frac rh\cdot x$ auf dem Intervall $[0;h]$ erhältst du als Rotationskörper einen Kegel:

Mit der Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers erhältst du:

$V=\pi\cdot \int\limits_{0}^h \left(\frac rh\cdot x\right)^2 dx$.

Wir benötigen noch einige Zwischenrechnungen:

• $\left(\frac rh \cdot x\right)^2=\frac{r^2}{h^2}\cdot x^2$
• Eine hierzu gehörende Stammfunktion ist gegeben durch: $\frac{r^2}{h^2}\cdot \frac13\cdot x^3$.

Nun kann das Volumen wie folgt berechnet werden:

$V=\pi\cdot \int\limits_{0}^h \left(\frac rh\cdot x\right)^2 dx=\pi\cdot\left[\frac{r^2}{h^2}\cdot \frac13\cdot x^3\right]_0^h=\pi\cdot \frac{r^2}{h^2}\cdot \frac13\cdot h^3=\frac13\pi\cdot r^2\cdot h$.

Die Kepler'sche Fassregel

Zuletzt schauen wir uns noch an, wie solche Volumina berechnet wurden, bevor die Integration bekannt war. Die Keplersche Fassregel ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung eines Integrals. Insbesondere kann damit auch des Volumen eines Rotationskörpers näherungsweise berechnet werden.

Johannes Kepler (27.Dez 1571 - 15.Nov 1630) war ein deutscher Mathematiker. Er gab die folgende Formel zur näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals an:

$\int\limits_a^b f(x) dx\approx \frac{b-a}6\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)$.

Er verwendet also ausschließlich die Funktionswerte am linken sowie rechten Rand des Intervalls und dem genau in der Mitte.

Der Name rührt daher, dass man damit das Volumen, also das Fassungsvermögen, eines Fasses recht genau berechnen kann.

Bekannt ist dabei die Querschnittsfläche $\pi\cdot (f(x))^2$ des Fasses senkrecht zur Rotationsachse an der Stelle $x\in[a;b]$.