30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spass am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen werden dir häufig in der Mathematik begegnen. Hier sollst du einen Überblick erhalten, wie du eine solche Gleichung lösen kannst.

Alle Klassen

Mit Spass
Noten verbessern

  • 11'948

    Lernvideos
  • 39'849

    Übungen
  • 31'499

    Arbeitsblätter
  • 24h

    Hilfe von Lehrern
30 Tage kostenlos testen Testphase jederzeit online beenden

Themenübersicht in Lineare Gleichungen

Was ist eine lineare Gleichung?

In einer linearen Gleichung kommt die Variable $x$ linear vor. Das bedeutet, dass $x$ mit dem Exponenten $1$ vorkommt. Durch Termumformungen kannst du eine lineare Gleichung umstellen. Dadurch kannst du die Gleichung beispielsweise in die Form$m\cdot x+n=0$ bringen. Dabei muss $m\neq 0$ gelten.

Du wirst im Folgenden sehen, wie du eine solche Gleichung aufstellen und lösen kannst.

Dabei bedeutet das „Lösen einer Gleichung“, dass du einen Wert für $x$ findest, der die Gleichung zu einer wahren Aussage führt.

Aufstellen einer linearen Gleichung

Wie du eine Gleichung aufstellen kannst, schauen wir uns an einem Beispiel an: Paul möchte einen neuen Handyvertrag abschließen. Die Grundgebühren betragen $19~€$. Für jede Minute muss Paul $0,20~€$ bezahlen. Wie viele Minuten kann Paul telefonieren, wenn er insgesamt $25~€$ zur Verfügung hat?

Die unbekannte Anzahl der Minuten sei $x$. Du erhältst dann die folgende Gleichung $0,2~€\cdot x+19~€=25~€$. Auf der linken Seite stehen dabei die Kosten für $x$ telefonierte Minuten.

Lösen einer linearen Gleichung

Wir lösen die Gleichung von Paul weiter unten. Zunächst schauen wir uns die lineare Gleichung $x-6=0$ an. Kannst du die Lösung schon sehen? Du kannst in diesem Beispiel eine Lösung $x=6$ durch Probieren finden. Ein anderer Weg ist der, dass du „rückwärts“ rechnest.

Mathematisch ausgedrückt führst du Äquivalenzumformungen durch. Was sind Äquivalenzumformungen? Dies sind

  • Termumformungen,
  • die Additon oder die Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  • die Multiplikation oder Division mit einem Term oder einer Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

Bei der Gleichung $x-6 = 0$ erhältst du durch eine Addition von $6$ auf beiden Seiten $x = 6$.

Nun kannst du die obige Gleichung mit Pauls Telefoneinheiten wie folgt lösen:

$\begin{array}{rclll} 0,2~€\cdot x+19~€&=&25~€&|&-19~€\\\ 0,2~€\cdot x&=&6~€&|&:0,2~€\\\ x&=&30 \end{array}$

Paul kann also insgesamt $30$ Minuten telefonieren.