Die Funktion $f(x)$ ordnet jedem $x$-Wert einen $y$-Wert zu. Die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ ordnet dagegen umgekehrt dem $y$-Wert wieder den $x$-Wert zu.
Nur Funktionen, die durchgehend differenzierbar sind, können umgekehrt werden! Außerdem kann eine Funktion nur umgekehrt werden, wenn es für jeden Funktionswert ($y$) nur einen $x$-Wert gibt.
Für die Anwendung auf die trigonometrischen Funktionen bedeutet das, dass die Arkusfunktionen einem Verhältnis einen Winkel zuordnen. Ist beispielsweise $\cos(\alpha)=x$, folgt $\arccos(x)= \alpha$ durch Anwendung des Arkuscosinus. Dafür müssen die Sinus- und Cosinusfunktion sinnvoll eingeschränkt werden: Da diese beiden Funktionen einen Winkel auf das Intervall $[-1,1]$ abbilden, bilden die entsprechenden Arkusfunktionen einen Wert zwischen $-1$ und $1$ auf einen zugehörigen Winkel ab. Weil Sinus und Cosinus allerdings periodische Funktionen sind und es somit zu jedem Wert unendlich viele zughörige Winkel gibt, beschränkt man die Definitionsmenge der Umkehrfunktionen auf das Intervall, z. B. auf $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ bzw. $[0,\pi]$.Für diese Intervalle sind die Funktionen dann umkehrbar.
Ableitungen der Arkusfunktionen
Zunächst soll exemplarisch die Ableitung der Arkussinusfunktion hergeleitet werden. Davor benötigt man folgende Eigenschaft:
Ist $f$ umkehrbar und differenzierbar und ist $f^\prime (x_0) \neq 0$, gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$:
Ableitungen von Arkuscosinus- und Arkustangensfunktion
Möchte man die Ableitungen der beiden Funktionen $\arccos(x)$ und $\arctan(x)$ ebenfalls händisch herleiten, geht man nach dem gleichen Schema wie bei der Funktion $\arcsin(x)$ vor.
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