Gebrochenrationale Funktionen
- Was sind gebrochenrationale Funktionen?
- Echt gebrochenrationale Funktion vs. unecht gebrochenrationale Funktion
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Lerntext zum Thema Gebrochenrationale Funktionen
Was sind gebrochenrationale Funktionen?
Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die durch einen Bruch zweier Polynomfunktionen beschrieben wird. Allgemein hat eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ die Form:
$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$
Dabei sind $p(x)$ und $q(x)$ Polynomfunktionen der Form
Echt gebrochenrationale Funktion vs. unecht gebrochenrationale Funktion
Man unterscheidet zwei Arten von gebrochenrationalen Funktionen:
- Eine echt gebrochenrationale Funktion liegt vor, wenn der Grad (die höchste $x$-Potenz) des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms.
Beispiel:
$$f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 4}$$
- Eine unecht gebrochenrationale Funktion hat ein Zählerpolynom, dessen Grad mindestens genauso groß wie der des Nennerpolynoms ist.
Beispiel:
$$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$$
Eine unecht gebrochenrationale Funktion lässt sich durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochenrationalen Anteil zerlegen.
Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen haben besondere Merkmale, die bei der Analyse der Funktionskurven eine wichtige Rolle spielen:
Definitionslücken und Polstellen
Eine gebrochenrationale Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen der Nenner $q(x)$ gleich null ist (also an den Nullstellen der Polynomfunktion im Nenner). Solche Stellen heißen Definitionslücken. Ist die Definitionslücke nicht durch Kürzen des Funktionsterms zu beseitigen, spricht man von einer Polstelle.
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Ein wichtiges Merkmal gebrochenrationaler Funktionen sind die sogenannten Asymptoten. Diese sind Geraden, denen sich der Graph der Funktion immer weiter annähert, ohne sie zu erreichen.
Es gibt:
- senkrechte Asymptoten an Polstellen,
- waagerechte Asymptoten, wenn der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem des Nenners ist,
- schräge Asymptoten, wenn der Grad des Zählers genau um $1$ größer ist als der des Nenners.
Beispiele:
Die gebrochenrationale Funktion $f(x)=\dfrac{x^2-3}{4x}$ hat eine senkrechte Asymptote bei $x=0$ und eine schräge Asymptote bei $y=\dfrac{1}{4}x$.
Die gebrochenrationale Funktion $g(x)=\dfrac{x^2+2}{x^3}+1$ hat eine senkrechte Asymptote bei $x=0$ und eine waagerechte Asymptote bei $y=1$.
Asymptoten verhalten sich ähnlich wie eine „magnetische“ Grenze, die von der Kurve nicht überschritten wird, egal wie nah sie ihr kommt.
Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen
Die Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen beinhaltet typischerweise folgende Schritte:
- Definitionsbereich bestimmen: alle Werte von $x$, für die der Nenner nicht Null wird
- Nullstellen berechnen: Zähler Null setzen und lösen
- Polstellen und Definitionslücken bestimmen: Nenner Null setzen und überprüfen, ob der Funktionsterm kürzbar ist
- Asymptoten bestimmen: horizontale, vertikale oder schräge Asymptoten
- Extrempunkte und Wendepunkte berechnen: Ableitungen bestimmen, um lokale Hoch-, Tiefpunkte und Wendepunkte zu finden
Ein weiteres, typisches Aufgabenformat ist die Rekonstruktion von gebrochenrationalen Funktionen.
Aufgaben zu gebrochenrationalen Funktionen
Ausblick – das lernst du nach gebrochenrationalen Funktionen
Als Nächstes kannst du dein Wissen über die Ableitungen vertiefen, um weitere Funktionsanalysen durchzuführen.
Zusammenfassung zum Thema gebrochenrationale Funktionen
- Gebrochenrationale Funktionen bestehen aus Polynomen im Zähler und Nenner.
- Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.
- Wichtige Eigenschaften sind Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten.
- Die Kurvendiskussion umfasst die Analyse dieser Eigenschaften zur genauen Bestimmung des Funktionsgraphen.
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