Hypothesentest – Übungen

a)
Wir formulieren zunächst die Nullhypothese:
Der Anteil fehlerhafter Schrauben beträgt höchstens $3\,\%$.

$\Rightarrow \quad H_0$: $p \leq 0{,}03$

Wir wollen prüfen, ob der tatsächliche Anteil höher ist. Deshalb führen wir einen einseitigen (rechtseitigen) Hypothesentest durch.

Alternativhypothese:
Der Anteil ist größer als $3\,\%$

$\Rightarrow \quad H_1$: $p > 0{,}03$

Die Stichprobe umfasst $n = 200$ Schrauben.

Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha = 10\,\%$. Es handelt sich um einen einseitigen Test. Wir betrachten die Bedingung: $$P(X \leq k) \geq 0{,}9 = 1 - 0{,}1$$

Wir betrachten die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung $B(200; 0{,}03)$:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} k & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}60632 & 0{,}74610 & 0{,}85040 & 0{,}91922 & 0{,}95987 \end{array}$$

$\Rightarrow \quad k = 9$ ist der kleinste Wert mit $P(X \leq k) \geq 0{,}9$.

• Annahmebereich: $[0; 9]$
• Ablehnungsbereich: $[10; 200]$

b)
Der Wert von $10$ fehlerhaften Schrauben in der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich.

Ergebnis:
Basierend auf der Stichprobe wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen.

a)
Wir vermuten, dass der tatsächliche Anteil kleiner ist als $30\,\%$.

Hypothesen:

• $H_0$: $p = 0{,}3$
• $H_1$: $p \lt 0{,}3$

Testart: einseitiger Test (links)

Die Stichprobe umfasst $100$ Personen:
$n = 100$

Das Signifikanzniveau beträgt $1\,\%$. Damit ergeben sich die Bedingungen:

$$P(X \leq k) \leq 0{,}001$$

Wir betrachten die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung $B(100; 0{,}30)$:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} k & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}00452 & 0{,}00889 & 0{,}01646 & 0{,}02883 & 0{,}04787 \\ \end{array}$$

$\Rightarrow \quad k = 19$ ist der größte Wert mit $P(X \leq k) \leq 0{,}01$.

• Annahmebereich: $[20; 100]$
• Ablehnungsbereich: $[0; 19]$

b)
Die $21$ Stimmen in der Stichprobe, liegen im Annahmebereich.

Ergebnis:
Die Nullhypothese wird beibehalten und die Alternativhypothese verworfen.

a)
Wir formulieren zunächst die Nullhypothese:
Der Würfel ist fair, d. h. die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs beträgt $\frac{1}{6}$.

$\Rightarrow \quad H_0$: $p = \frac{1}{6}$

Da die Fairness des Würfels untersucht wird, also ob die Wahrscheinlichkeit ganz allgemein abweicht (nicht nur in eine Richtung), handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.

Alternativhypothese:
Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist nicht $\frac16$.

$\Rightarrow \quad H_1$: $p \neq \frac16$

Die Stichprobe umfasst $50$ Würfe:
$n = 50$

Das Signifikanzniveau beträgt $5\,\%$ und wird für den zweiseitigen Test halbiert. Damit ergeben sich die Bedingungen:

Untere Grenze $a$: $$P(X \leq a) \leq 0{,}025$$

Obere Grenze $b$: $$P(X \leq b) \geq 0{,}975 = 1 - 0{,}025$$

Wir betrachten die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung $B(50; \frac16)$:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} k & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}00659 & 0{,}02382 & 0{,}06431 & 0{,}13882 & 0{,}25057 \\ \end{array}$$

$\Rightarrow \quad a = 3$ ist der größte Wert für $k$ im unteren Ablehnungsbereich.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} k & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline P(X \leq k) & 0{,}93733 & 0{,}96928 & 0{,}98616 & 0{,}99427 & 0{,}99781 \\ \end{array}$$

$\Rightarrow \quad b = 14$ ist der größte Wert für $k$ im Annahmebereich.

• Annahmebereich: $[4; 14]$
• Ablehnungsbereich: $[0; 3] \cup [15; 50]$

b)
Der in der Stichprobe ermittelte Wert von $18$ Sechsen liegt im Ablehnungsbereich.

Ergebnis:
Die Nullhypothese, dass der Würfel fair ist, wird verworfen.
Wir gehen auf Basis der Stichprobe davon aus, dass der Würfel nicht fair ist.

Wir formulieren die Nullhypothese:
Das Medikament wirkt bei mindestens $85\,\%$ der Personen.

$\Rightarrow \quad H_0$: $p \geq 0{,}85$

Die Alternativhypothese des Konkurenten lautet:
Die Wirksamkeit ist maximal als $75\,\%$.

$\Rightarrow \quad H_1$: $p \leq 0{,}75$

Es handelt sich um einen einseitigen linksseitigen Hypothesentest.

Die Stichprobe umfasst $n = 200$ Personen.

Die Entscheidungsvorschrift lautet:

• Annahmebereich: $[160; 200]$, $H_0$ wird beibehalten
• Ablehnungsbereich: $[0; 159]$, $H_0$ wird verworfen

Fehler 1. Art (fälschliches Verwerfen von $H_0$)

Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einer Stichprobe im Ablehnungsbereich zu landen, obwohl die Nullhypothese zutrifft.

Bedeutung im Kontext:
Es wird davon ausgegangen, dass die Wirksamkeit unter $85\,\%$ liegt, obwohl das Medikament tatsächlich in mindestens $85\,\%$ der Fälle wirkt.

Wir bestimmen $P(X \leq 159)$ für $n = 200$ und $p = 0{,}85$:

$$P(X \leq 159) \approx 0{,}02200$$

Fehler 2. Art (fälschliches Beibehalten von $H_0$)

Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einer Stichprobe im Annahmebereich zu landen, obwohl die Alternativhypothese $p = 0{,}75$ zutrifft.

Bedeutung im Kontext:
Es wird davon ausgegangen, dass die Wirksamkeit über $85\,\%$ liegt, obwohl das Medikament tatsächlich nur in $75\,\%$ der Fälle wirkt.

Wir bestimmen $P(X \geq 160)$ für $n = 200$ und $p = 0{,}75$:

$$\begin{array}{rcl} P(X \geq 160) &=& 1 - P(X \leq 159) \\ \\ &\approx& 1 - 0{,}94215 \\ \\ &=& 0{,}05785 \end{array}$$

Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ abgelehnt wird, obwohl $p = 0{,}85$ gilt, beträgt etwa $\alpha = 2{,}20\,\%$ (Fehler 1. Art).
Dagegen liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, $H_0$ beizubehalten, obwohl tatsächlich die Alternativhypothese $p = 0{,}75$ gilt, bei $\beta = 5{,}79\,\%$ (Fehler 2. Art).