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Kreisdiagramme 06:01 min

Textversion des Videos

Transkript Kreisdiagramme

Jedes Jahr nach den Ferien erzählt Otto ganz stolz, was er in der freien Zeit alles gemacht hat. Um einen Überblick über seine Ferienabenteuer zu haben, helfen uns Kreisdiagramme. In diesem Video lernst du, wie ein Kreisdiagramm aufgebaut ist, wie du Daten aus ihm ablesen kannst und wie du es erstellen kannst. Ein Kreisdiagramm ist in verschiedene Sektoren eingeteilt, die einen Anteil des Gesamten darstellen und der Kreis gibt somit die Summe dieser Anteile an. Schauen wir uns doch zunächst einmal an diesem Kreisdiagramm an, was Otto letztes Jahr in seinen Ferien gemacht hat. Die Summe in diesem Kreisdiagramm entspricht den 40 Ferientagen. Der größte Sektor ist dieser hier, der den Tagen entspricht, an denen Otto Fußball gespielt hat. Er entspricht der Hälfte des Kreises. Da der Kreis insgesamt einen Winkel von 360 Grad hat, ist die Hälfte davon 180 Grad. Dieser Sektor entspricht also der Hälfte der Ferientage. Otto hat daher an 20 Tagen Fußball gespielt. Der nächste Sektor entspricht den Tagen, an denen Otto am Strand war. Dies ist ein 90 Grad Winkel, also haben wir hier 90 Grad von 360 Grad und das sind ein Viertel. Wollen wir die Ferientage berechnen, an denen Otto am Strand war, so rechnen wir ein Viertel von 40 und das sind 10. Der dritte Sektor gibt die Tage an, an denen Otto im Kino war. Aber woher wissen wir denn, wie viele Tage das sind? Dazu nehmen wir uns ein Geodreieck zur Hilfe. Dieser Winkel ist 36 Grad groß. Mithilfe des Dreisatzes können wir nun bestimmen, wie viele Tage das sind. 360 Grad, also der gesamte Kreis, steht für 40 Tage. Teilen wir diese beiden Werte nun durch 360 und multiplizieren dann mit 36 so sehen wir, dass dieser Anteil 4 Tagen entspricht. Ebenso kann man diesen Anteil durch das Verhältnis von 36 zu 360 berechnen. Dies ist gekürzt Ein Zehntel und Ein Zehntel von 40 Tagen sind ebenfalls 4 Tage. Nun haben wir schon gesehen, was Otto an 10 + 20 + 4, also 34 Tagen seiner Ferien gemacht hat. Da das Kreisdiagramm alle Ferientage angibt, wissen wir nun, dass der letzte Abschnitt 40 Tagen minus 34 Tagen entspricht. Otto hat also an 6 Tagen Eis gegessen. Schauen wir doch mal, was Otto dieses Jahr in seinen Ferien gemacht hat. Dann können wir dies ebenso in ein Kreisdiagramm eintragen. Insgesamt gab es wieder 40 Tage Ferien und er hat diese mit 5 verschiedenen Aktivitäten verbracht. 14 Tage davon ist er auf einem Drachen geritten. Um den zugehörigen Winkel zu berechnen multiplizieren wir Vierzehn Vierzigstel mit dem Wert des Winkels eines vollen Kreises, also 360 Grad. Dieser Anteil hat einen Winkel von 126 Grad. Zeichnen wir diesen Winkel doch schonmal in unser Kreisdiagramm ein. Wir orientieren uns dabei immer an dem Mittelpunkt des Kreises. Jetzt müssen wir diesen Vorgang nur noch für jede weitere Aktivität wiederholen. 5 Tage hintereinander hat er ein riesiges Feuerwerk gesehen. Wir rechnen also fünf vierzigstel mal 360 Grad und zeichnen den Winkel von 45 Grad so in das Kreisdiagramm ein. 6 Tage lang war er Tiefseetauchen und hat seltene Fische gesehen. Wir rechnen also sechs vierzigstel mal 360 Grad und erhalten einen Winkel von 54 Grad. Außerdem ist er 3 Tage lang in einem Raumschiff geflogen und wurde 12 Tage lang von einer Sterneköchin bekocht. Weil er insgesamt nur 5 Sachen gemacht hat, müssen wir hier nur eine der Winkelgrößen berechnen, da der letzte Abschnitt dem Rest der Ferien entspricht. Berechnen wir den Winkel für die 3 Tage und zeichnen ihn in das Kreisdiagramm ein, so erhalten wir am Ende dieses Kreisdiagramm. Dann können wir erkennen, was Otto in seinen Ferien am meisten gemacht hat. Fassen wir das doch noch einmal zusammen. Ein Kreisdiagramm ist in verschiedene Sektoren eingeteilt, die einen Anteil des Gesamten darstellen. Da die Summe der Anteile die Gesamtzahl ergibt, entspricht die Summe der Sektoren den ganzen Kreis. Man kann mithilfe der Winkelgrößen den Anteil des Ganzen berechnen. Außerdem kann man mithilfe des Anteils die entsprechende Winkelgröße des Kreisdiagramms berechnen und dann einzeichnen. Zum Beweis seiner Ferienabenteuer zeigt Otto allen seine Fotos. Da hat Otto wohl sehr viel Fantasie.

Kreisdiagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreisdiagramme kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die korrekten Aussagen.

    Tipps

    Der größte Sektor des Kreisdiagramms gibt die Aktivität an, die Otto am häufigsten ausgeführt hat.

    Ist ein Sektor doppelt so groß wie ein anderer Sektor, bedeutet das, dass Otto mit dieser Aktivität doppelt so viel Zeit verbracht hat.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • „Otto hat die meiste Zeit seiner Ferien mit Fußballspielen verbracht.“ Dieser Sektor ist der größte in dem Kreisdiagramm.
    • „Er hat genauso viel Zeit mit Fußballspielen verbracht, wie mit allen anderen Aktivitäten zusammen.“ Das Fußballspielen nahm genau die Hälfte der Zeit ein. Dies ist zu erkennen, da der Sektor „Fußballspielen“ genau die Hälfte des ganzen Kreisdiagramms einnimmt.
    • „Insgesamt hat er in seinen Ferien $4$ verschiedene Aktivitäten unternommen.“ Das Kreisdiagramm ist in vier verschiedene Sektoren eingeteilt, die für die verschiedenen Aktivitäten stehen.
    • „Entspricht der Kreissektor genau dem halben Kreis, ist der Winkel $180^\circ$ groß.“ Ein Kreis hat einen Innenwinkel von $360^\circ$. Die Hälfte davon sind $180^\circ$.
    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    • „Die geringste Zeit seine Ferien hat am Strand verbracht.“ Der kleinste Sektor gibt an, mit welcher Aktivität er am wenigstens Zeit verbracht hat. Das ist in diesem Fall der Sektor „Kino“. Die geringste Zeit hat er also im Kino verbracht. Am Strand war er ein Viertel seiner Zeit. Dies erkennt man, da der Sektor „Strand“ einen Winkel von $90^\circ$ besitzt, was genau ein Viertel des gesamten Kreisinnenwinkels von $360^\circ$ ausmacht.
    • „Er hat nur an halb so vielen Tagen Eis gegessen, wie er am Strand war.“ Der Sektor „Eis essen“ ist nicht halb so groß, wie der Sektor „Strand“. Dies ist erkennbar, da „Kino“ und „Eis essen“ zusammen genauso groß sind, wie der Sektor „Strand“. Jedoch ist der Sektor „Kino“ kleiner als „Eis essen“, weshalb das "Eis essen" mehr als die Hälfte der Strand-Zeit eingenommen hat. Somit ist diese Aussage falsch.
    • „Je größer der Kreissektor ist, desto kleiner ist der Winkel des Sektors.“ Je größer der Kreissektor ist, desto größer wird auch der entsprechende Winkel des Kreissektors.
  • Bestimme das korrekte Kreisdiagramm und die passenden Winkel.

    Tipps

    Die Aktivität, für die Otto die meiste Zeit seine Ferien verbracht hat, ist mit dem größten Kreissektor dargestellt.

    Je größer an Anteil ist, desto größer ist der entsprechende Kreissektor.

    Hat Otto $4$ von $16$ Tagen Eis gegessen, kann man den Winkel des zugehörigen Sektors wie folgt ermitteln:

    $\dfrac{4}{16} \cdot 360^\circ = \dfrac{1}{4} \cdot 360^\circ=90^\circ$

    Lösung

    Wir sehen hier das korrekte Kreisdiagramm. Die meiste Zeit seiner Ferien hat Otto mit Fußballspielen verbracht. Insgesamt hat er an $20$ von $40$ Tagen Fußball gespielt. Das ist die Hälfte der gesamten Zeit. Insofern muss auch das rote Kreissegment, welches für das Fußballspielen steht, die Hälfte des Kreises einnehmen.

    $\frac{1}{4}$ der Zeit hat er am Strand verbracht. Das sind $10$ von $40$ Tagen. Somit muss dieser Anteil auch dem zweitgrößten Segment des Kreises entsprechen. Dies ist hier beim gelben Segment auch der Fall.

    An $4$ von $40$ Tagen war er im Kino. Das der geringste Anteil. Somit muss aus das entsprechende blau Kreissegment das kleinste Segment sein.

    Somit bleibt nur noch ein Kreissegment übrig. Es ist das grüne Kreissegment, dass für „Eis essen“ steht. Das hat Otto an $6$ von $40$ Tagen gemacht und somit ist es das drittgrößte Segment.

    Den passenden Winkel können wir wie folgt herausfinden und berechnen:
    An $20$ von $40$ Tagen spielt er Fußball. Das entspricht genau der Hälfte aller Tage. Somit ist der passende Winkel auch exakt die Hälfte des Vollwinkels eines Kreises. Das sind dann $180°$.
    Einen weiteren korrekten Winkel kann man über den Dreisatz berechnen. $40$ Tage entsprechen $360°$. Wenn wir wissen wollen, wie viel Grad $4$ Tagen entsprechen, rechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{llrll} 40~ \text{Tage} & \widehat{=} & 360° &\vert& : 40 \\ 1~ \text{Tag} & \widehat{=} & 9° &\vert& \cdot ~4 \\ 4~ \text{Tage} & \widehat{=} & 36° \end{array}$

  • Ergänze die fehlenden Begriffe.

    Tipps

    Ein Kreisdiagramm ist in verschiedene Sektoren eingeteilt, die einen Anteil des Gesamten darstellen.

    Verbringt Otto die meiste Zeit mit Fußballspielen, dann ist dieser Anteil der größte im Diagramm.

    Lösung

    So kannst du den Text vervollständigen:

    Ein Kreisdiagramm ist ein besonderes Diagramm in Form eines Kreises. Es hilft uns dabei, Anteile miteinander zu vergleichen“.
    Es gibt verschiedene Diagrammtypen. Diese verwendet man häufig für unterschiedliche Zwecke. In einem Kreisdiagramm lassen sich sehr gut die einzelnen Anteile untereinander vergleichen. Es gibt zum Beispiel aber auch Säulen- oder Balkendiagramme.

    Die Anteile werden in Sektoren dargestellt. Das sind einzelne Kreisausschnitte, die die Form von Pizzastücken haben und deren Spitze immer auf dem Mittelpunkt des Kreises liegen. Je mehr Zeit Otto mit einer gewissen Aktivität verbracht hat, desto größer ist der Anteil. Der kleinste Anteil des Kreisdiagramms repräsentiert demnach die Aktivität, mit der sich Otto am wenigsten beschäftigt hat.“
    Um Anteile vom Ganzen in einem Kreisdiagramm darzustellen, teilt man den Kreis in entsprechend große Sektoren ein. Diese Sektoren sind sogenannte Kreisausschnitte, also nur Teile des Kreises. Je größer der Anteil vom Ganzen ist, desto größer ist auch der Kreisausschnitt.

    Die Summe aller Anteile des Kreises, ergibt dann die Gesamtheit aller Aktivitäten, die Otto in den Ferien gemacht hat. War Otto beispielsweise an $6$ von $40$ Tagen in der Tiefsee tauchen, dann entspricht dieser Anteil der $\frac{6}{40}$ des gesamten Kreises.“
    Die Anteile eines Kreisdiagramms lassen sich immer auch als Bruch darstellen. Addiert man alle Anteile und somit alle Brüche eines Kreisdiagramm, erhält man immer $1$ als Summe dieser Anteile.

    Um für einen Kreissektor den entsprechenden Winkel zu berechnen, multiplizieren wir den jeweiligen Anteil mit dem vollen Winkel eines Kreises, also $360°$. Der Anteil von $\frac{14}{40}$ entspricht somit einem Winkel von $126°$.“
    Um den Anteil mit $360°$ zu multiplizieren, schreiben wir ihn als Bruch. Beträgt der Anteil also zum Beispiel $\frac{14}{40}$, dann rechnen wir: $\frac{14}{40} \cdot 360° = 126°$

  • Bestimmte den Winkel des entsprechenden Kreisausschnitts und die Gesamtzahl des Kreisdiagramms.

    Tipps

    Der Kreis hat einen vollen Winkel von $360°$.

    Zur Berechnung der Anteile und des Ganzen kannst du den Dreisatz verwenden.

    Beispiel:

    $\begin{array}{lll} 3~ \text{Tage} & \widehat{=} & 90°\\ 1~ \text{Tag} & \widehat{=} & 30°\\ 12~ \text{Tage} & \widehat{=} & 360° \end{array}$

    Lösung

    Der Kreis hat einen vollen Winkel von $360°$. In allen Kreisdiagrammen sind bis auf ein Kreissegment alle Winkel gegeben. Der fehlende Winkel muss also in der Summe mit den anderen Winkel stets $360^\circ$ ergeben. Zur Berechnung können wir von $360^\circ$ auch die bereits gegebenen Winkel jeweils subtrahieren.

    Erste Kreisdiagramm:

    Es gilt: $360° - 120° - 60° = 80°$
    Der Winkel des letzten Kreissegments beträgt also $80°$.

    Es war die Gesamtzahl der Urlaubstage gesucht. Hier gilt dann:

    $\begin{array}{llrll} 120° & \widehat{=} & 6~ \text{Tagen} &\vert& : 120\\ 1° & \widehat{=} & \frac{1}{20}~ \text{Tagen} &\vert& \cdot ~360\\ 360° & \widehat{=} & 18~ \text{Tagen} \end{array}$

    Zweite Kreisdiagramm:

    Wir können folgendes rechnen: $360° - 108° - 72° - 86,4° - 36° = 57,6°$
    Der fehlende Winkel dieses Kreissegments beträgt also $57,6°$.

    Bei Diagramm $2$ war die Anzahl des verkauften Stracciatellaeises gesucht. Auch hier kann der Dreisatz benutzt werden.

    $\begin{array}{llrll} 108° & \widehat{=} & 150 ~\text{Kugeln} &\vert& :108\\ 1° & \widehat{=} & \frac{25}{18} ~ \text{Kugeln} &\vert& \cdot ~57,6\\ 57,6° & \widehat{=} & 80~\text{Kugeln} && \end{array}$

    Die Gesamtzahl an verkauften Eiskugeln lässt sich nun auch sehr leicht ermitteln. Hier gilt: $\begin{array}{llrll} 108° & \widehat{=} & 150~ \text{Kugeln} &\vert& : 108\\ 1° & \widehat{=} & \frac{25}{18}~ \text{Kugeln} &\vert& \cdot ~360\\ 360° & \widehat{=} & 500~ \text{Kugeln} \end{array}$

    Dritte Kreisdiagramm:

    Wir rechnen wie folgt: $360° - 94° - 18° - 56° - 105,5° - 25° = 61,5°$
    Hier beträgt der gesuchte Winkel also $61,5°$.

    Um zu ermitteln, wieviele Personen den $61,5°$ entsprechen, können wir wieder den Dreisatz benutzen. Hierzu können wir die Information, dass $94°$ genau $188$ Personen entsprechen, benutzen.

    $\begin{array}{llrll} 94° & \widehat{=} & 188 ~\text{Personen} &\vert& : 94\\ 1° & \widehat{=} &2~\text{Personen} &\vert& \cdot~ 61,5\\ 61,5° & \widehat{=} & 123~\text{Personen} && \\ \end{array}$

    Es war die Gesamtzahl der wählenden Schüler*innen gesucht. Hier gilt dann: $\begin{array}{llrll} 94° & \widehat{=} & 188~ \text{Personen} &\vert& : 94\\ 1° & \widehat{=} & 2~ \text{Personen} &\vert& \cdot ~360\\ 360° & \widehat{=} & 720~ \text{Personen} \end{array}$

  • Ordne die Anteile den passenden Winkelgrößen zu.

    Tipps

    Insgesamt wurden $1000\text{€}$ ausgegeben. Das entspricht den vollen $360°$ des Kreises. $500\text{€}$ entsprechen demnach $180°$.

    Der entsprechen Winkel lässt sich auch mit folgender Formel berechen:

    $\frac{\text{Anteil}}{1000\text{€}} \cdot 360°$

    Anteil meint hier den jeweils ausgegebenen Betrag.

    Für denn Fall, dass beispielsweise $400\text{€}$ ausgegeben wurde, lässt sich der Winkel so ausrechnen:

    $\frac{400\text{€}}{1000\text{€}} \cdot 360° = \frac{2}{5}\cdot 360° = 144°$

    Lösung

    Zur Berechnung des Winkels multiplizieren wir den entsprechenden Anteil (als Bruch) mit den vollen $360°$ des Kreises. Den Anteil erhalten wir, indem wir den jeweiligen Wert durch das Ganze, also in diesem Fall $1000 \text{€}$ teilen. So schreiben wir beispielsweise, dass $600 \text{€}$ von $1000 \text{€}$ dem Bruch $\frac{600\text{€}}{1000\text{€}}$ entspricht.

    Die Winkel berechnen sich also folgendermaßen:

    • Ausgaben von $600\text{€}$: $\frac{600\text{€}}{1000\text{€}} \cdot 360° = 216°$
    • Ausgaben von $200\text{€}$: $\frac{200\text{€}}{1000\text{€}} \cdot 360° = 72°$
    • Ausgaben von $150\text{€}$: $\frac{150\text{€}}{1000\text{€}} \cdot 360° = 54°$
    • Ausgaben von $50\text{€}$: $\frac{50\text{€}}{1000\text{€}} \cdot 360° = 18°$
  • Ermittle die Anteile.

    Tipps

    $180°$ entsprechen beispielsweise $250$ Pizzen. Du kannst den Dreisatz verwenden, um die entsprechende Anzahl an Pizzen zu berechnen.

    $\dfrac{\text{Anteil}}{\text{Ganzes}} \cdot 360° = \text{Winkel des Kreissegments}$ kannst du umstellen zu: $\dfrac{\text{Winkel des Kreissegments}}{360°} \cdot \text{Ganzes} = \text{Anteil}$

    Das Ganze sind $500$ Pizzen.

    $500$ Pizzen entsprechen $360°$.

    Somit entsprechen $\frac{25}{18}$ Pizzen $1°$

    Lösung

    Wir können die Anteile entweder mit dem Dreisatz oder mit der Formel $\frac{\text{Winkel des Kreissegments}}{360°} \cdot \text{Ganzes} = \text{Anteil}$ berechnet. Für den Dreisatz berechnen wir zunächst den Anteil, der einem Grad im Kreis entspricht. Das sind $\frac{25}{18}$. Nun multiplizieren wir mit dem entsprechenden Winkel und erhalten den dazugehörigen Anteil an Pizzen. Mit der Formel berechnen sich die Anteile wie folgt:

    • Pizza Salame: $\frac{72°}{360°} \cdot 500 = 100$
    • Pizza Funghi: $\frac{36°}{360°} \cdot 500 = 50$
    • Pizza Tonno: $\frac{14,4°}{360°} \cdot 500 = 20$
    • Pizza Vegetariana: $\frac{54°}{360°} \cdot 500 = 75$
    • Pizza Hawaii: $\frac{3,6°}{360°} \cdot 500 = 5$
    • Pizza Margarita: $\frac{108°}{360°} \cdot 500 = 150$
    • Pizza Mozzarella: $\frac{28,8°}{360°} \cdot 500 = 40$
    • Pizza Prosciutto: $\frac{43,2°}{360°} \cdot 500 = 60$