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Potenzgesetze – Einführung

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Team Digital
Potenzgesetze – Einführung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzgesetze – Einführung

Inhalt

Einführung: Potenzen

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem der gleiche Faktor mehrmals vorkommt:

$a^n=\underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

Zum Beispiel ist $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

  • $a^n$ wird als Potenz oder Potenzwert bezeichnet.
  • $a$ steht in der Basis und $n$ im Exponenten der Potenz.

Basis Exponent Potenz

Potenzgesetze

Für die Multiplikation und Division von Potenzen gibt es verschiedene Rechenregeln, welche das Rechnen mit Potenzen klären.

Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Dieses Gesetz ist auch als erstes Potenzgesetz bekannt.

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert:

$\frac{a^n}{a^m}=a^n: a^m=a^{n-m}$

Dieses Gesetz ist auch als zweites Potenzgesetz bekannt.

Potenzen potenzieren

Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

Dieses Gesetz ist auch als drittes Potenzgesetz bekannt.

Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

$a^n: b^n=(a: b)^n$ oder $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$

Dieses Gesetz ist auch als viertes Potenzgesetz bekannt.

Potenzen addieren

Beim Addieren von Potenzen muss beachtet werden, dass das Zusammenfassen von Potenzen nur möglich ist, wenn sowohl die Basis als auch der Exponent übereinstimmen:

$2^4+3\cdot 2^4=4\cdot 2^4=2^2\cdot 2^4=2^{4+2}=2^6$

Potenzgesetze Übungen

  • $2^3\cdot 2^5=2^{3+5}=2^8$
  • $20^3\cdot 5^3=(20\cdot 5)^3=100^3$
  • $\frac{3^7}{3^4}=3^{7-4}=3^3$
  • $\frac{16^3}{8^3}=\left(\frac{16}8\right)^3=2^3$
  • $\left(7^4\right)^2=7^{4\cdot 2}=7^8$

Spezialfälle

  • Der Exponent $0$: Es gilt für alle $a\neq 0$, dass $a^0=1$ ist.
  • Der Term $0^0$ ist nicht definiert.
  • Die Basis $0$: Es ist $0^n=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$.
  • Die Basis $1$: Es ist $1^n=1$ für alle $n\in \mathbb{N}$.
  • Negative Exponenten: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  • Rationale Exponenten: $a^{\frac 1n}=\sqrt[n]{a}$.
  • Wird ein Bruch mit einem negativen Exponenten potenziert, kann so vereinfacht werden: $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}$

Potenzgesetze – Tabellarische Zusammenfassung

Potenz allgemein Potenz an mit Basis a und Exponent n
Potenz mit gleicher Basis multiplizieren an⋅am=an+m
Exponenten addieren, Basis beibehalten
Potenzen mit gleicher Basis dividieren an:am=an-m
Exponenten subtrahieren, Basis beibehalten
Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren an⋅bn=(a⋅b)n
Basen multiplizieren, Exponenten beibehalten
Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren an:bn=(a:b)n
Basen dividieren, Exponent beibehalten
Potenzen potenzieren (an)m=an⋅m
Exponenten multiplizieren
Exponent 0 a0=1,
für alle a≠0
Basis 0 0n=0,
für alle natürlichen Zahlen n>0
00 ist nicht definiert
Basis 1 1n=1,
für alle natürlichen Zahlen n
negative Exponenten a-n ist der Kehrwert von an
rationale Exponenten a1/n ist die n-te Wurzel von a |

Transkript Potenzgesetze – Einführung

Hey, was ist hier los? Was hat der denn verbrochen? Wie bitte?! Er hat gegen die Potenzgesetze verstoßen?! Nun ja, ob man ihm das jetzt wirklich vorwerfen kann? Aber Unwissenheit schützt vor Strafe nicht. Am besten werfen wir nochmal gemeinsam einen Blick auf die „Potenzgesetze“. Wow, das sollen wir uns alles merken? So ein erster Blick auf die Potenzgesetze kann einem schnell mal die Laune verderben. Aber keine Sorge! Wir gehen jedes Gesetz einzeln durch und du wirst sehen, dass sie gar nicht so kompliziert sind. Bei den ersten beiden Potenzgesetzen geht es jeweils um zwei Potenzen, die einmal multipliziert und einmal dividiert werden. Die BASIS der Potenzen ist dabei jeweils die gleiche. Lass uns zuerst die Multiplikation genauer anschauen! Wenn wir „x hoch m“ mit „x hoch n“ multiplizieren möchten – also mit einer Potenz, die die gleiche Basis hat – machen wir das, indem wir die Basis beibehalten, und die Exponenten addieren. Dazu ein konkretes Zahlenbeispiel: Wir multiplizieren „drei hoch zwei“ mit „drei hoch vier“. Unser Gesetz sagt uns jetzt, dass wir „drei hoch zwei plus vier“ erhalten. Also „drei hoch sechs“. Um uns zu veranschaulichen, warum dieses Gesetz gilt, schreiben wir die Potenzen als Produkte aus. Dann erhalten wir einmal zwei Dreien, und einmal vier Dreien als Faktoren. Also insgesamt sechs Dreien! Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis funktioniert die Umformung nach dem gleichen Prinzip. In diesem Fall müssen wir die Exponenten einfach subtrahieren. Auch hierzu ein Beispiel: Wir teilen „fünf hoch sechs“ durch „fünf hoch drei“. Das ergibt laut Gesetz „fünf hoch sechs minus drei“, also „fünf hoch drei“. Das sieht doch schon viel besser aus! Mit Hilfe dieser Gesetze können wir Potenzen mit gleicher Basis ganz leicht multiplizieren oder dividieren. Nice, zwei Gesetze abgehakt, drei stehen noch aus. Auch bei den nächsten beiden Gesetzen geht es wieder um Multiplikation und Division. Jetzt sind allerdings nicht die Basen der Potenzen sondern die Exponenten gleich! Ist das der Fall, können wir die Basen erst in einer Klammer zusammenfassen und dann mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren. Zuerst wieder ein Zahlenbeispiel zur Multiplikation. Wenn wir „zwei hoch vier“ mit „drei hoch vier“ multiplizieren, ist das dasselbe, wie wenn wir die Potenz von „zwei mal drei“, also „sechs hoch vier“ berechnen. Dass es sich auch hier lohnt gesetzestreu zu bleiben, erkennen wir, wenn wir die Potenzen nochmal ausschreiben. Denn wenn wir die Faktoren mit Hilfe des Kommutativgesetzes umordnen, und anschließend Klammern setzen, zeigt sich, dass „zwei hoch vier“ mal „drei hoch vier“ und „sechs hoch vier“ tatsächlich gleichwertig sind. Wollen wir zwei Potenzen mit gleichen Exponenten dividieren, dann können wir nach dem gleichen Schema vorgehen und zuerst die Basen dividieren. Das kann uns die Rechenarbeit erheblich erleichtern Läuft bei uns! Jetzt fehlt nur noch das letzte Potenzgesetz, die Königsdisziplin: Das Potenzieren von Potenzen. Wenn wir eine Potenz potenzieren wollen, also die Potenz innerhalb der Klammern ein weiteres mal potenzieren, müssen wir die Exponenten multiplizieren. Zum Beispiel wenn wir den Term „vier hoch zwei hoch drei“ vereinfacht darstellen wollen. Nach unserem Gesetz ergibt das „vier hoch zwei mal drei“, also letztendlich „vier hoch sechs“. Wir veranschaulichen uns auch dieses Gesetz noch kurz, indem wir die Potenzen ausschreiben. Dann sehen wir, dass der Faktor vier tatsächlich sechs mal in unserem Produkt vorkommt. Geht also alles mit rechten Dingen zu. Und schon haben wir die wichtigsten Potenzgesetze beisammen. Natürlich kannst du sie auswendig lernen! Noch besser ist es allerdings, zu hinterfragen warum diese Gesetze sinnvoll sind, um sie so wirklich zu verstehen. Denn wenn wir verstehen, wie Exponenten wirklich funktionieren, können wir uns die Potenzgesetze im Zweifel manchmal auch einfach selbst herleiten. Und sollten dann in Zukunft auch nicht mehr allzu häufig in Konflikt mit den Gesetzen kommen. Im Zweifel für den Angeklagten! Wir plädieren auf Freispruch!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt

    Von Annabelle, vor 21 Tagen
  2. Tolles Video, sehr ausführlich erklärt!!

    Von beluga, vor etwa 2 Monaten
  3. Wow ,sehr gutes Video!!! Hab alles verstanden:)

    Von Sophie, vor 3 Monaten
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