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Potenzgesetze – Einführung

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Potenzgesetze – Einführung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzgesetze – Einführung

Potenzgesetze – Übersicht

Für die Multiplikation und Division von Potenzen gibt es verschiedene Rechenregeln, die das Rechnen mit Potenzen erleichtern.

Die Potenzgesetze sind Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen.

Die folgende Nummerierung der Potenzgesetze ist nicht allgemeingültig. Wir nutzen sie hier nur für eine bessere Übersicht.

Nr. Potenzgesetz Erläuterung Beispiel
1. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren $3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$
2. $a^n : a^m = a^{n-m}$ Potenzen mit gleicher Basis dividieren $2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2$
3. $a^n \cdot b^n = \left( a \cdot b\right)^n$ Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren $3^2 \cdot 4^2 = \left( 3 \cdot 4 \right)^2 = \left( 12 \right)^2$
4. $a^n : b^n = \left( a : b \right)^n$ Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren $6^3 : 2^3 = \left( 6 : 2 \right)^3 = \left( 3 \right)^3$
5. $\left( a^n \right)^m = a^{n \, \cdot \, m}$ Potenzen potenzieren $\left( 3^2 \right)^5 = 3^{2 \, \cdot \, 5}= 3^{10}$
6. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ Potenz mit rationalem Exponenten umwandeln $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2}$

Bevor wir uns die einzelnen Potenzgesetze genauer ansehen, wiederholen wir kurz, was eine Potenz ist.

Potenzen – Wiederholung

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem der gleiche Faktor mehrmals vorkommt:

$a^n=\underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{n\text{-mal}}$

Zum Beispiel ist $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

  • $a^n$ wird als Potenz oder Potenzwert bezeichnet.
  • $a$ ist die Basis und $n$ der Exponent der Potenz.

Basis Exponent Potenz

$a^n$ ist eine Potenz mit Basis $a$ und Exponent $n$.

Potenzgesetze – gleiche Basis

Potenzen mit gleicher Basis können multipliziert und dividiert werden. Das sehen wir uns im Einzelnen an.

Potenzgesetze – Potenzen multiplizieren

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Basis beibehalten wird und die Exponenten addiert werden. In allgemeiner Form geschrieben sieht das so aus:

1. Potenzgesetz – Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Dieses Gesetz ist auch als erstes Potenzgesetz bekannt. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$3^2 \cdot 3^5 = \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \right) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^7$

Wie oft wir die Basis $3$ mit sich selbst multiplizieren müssen, ergibt sich aus den Exponenten. Deshalb können wir diese einfach addieren: $2 + 5 = 7$

Potenzgesetze – Potenzen dividieren

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die Basis beibehalten wird und die Exponenten subtrahiert werden. In allgemeiner Form geschrieben sieht das so aus:

2. Potenzgesetz – Potenzen mit gleicher Basis dividieren:

$\dfrac{a^n}{a^m}=a^n: a^m=a^{n-m}$

Dieses Gesetz wird auch zweites Potenzgesetz genannt. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$\dfrac{2^{5}}{2^{3}} = 2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$\dfrac{2^{5}}{2^{3}} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = 2 \cdot 2 = 2^2$

Wie oft die Basis $2$ im Zähler und Nenner der Bruchrechnung jeweils vorkommt (und demnach gekürzt werden kann), ergibt sich aus den Exponenten. Wir können diese einfach subtrahieren, um herauszufinden, welcher Exponent nach dem Kürzen übrig bleibt: $5 - 3 = 2$

Bei Potenzen mit gleicher Basis können wir also folgenden Merksatz festhalten:

Werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert bzw.dividiert, so können wir die Exponenten addieren bzw. subtrahieren.

Potenzgesetze – gleicher Exponent

Auch für Potenzen mit gleichem Exponenten gibt es Rechenregeln für Multiplikation und Division. Diese sehen wir uns im Folgenden an.

Potenzgesetze – Multiplikation mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird. In allgemeiner Form geschrieben sieht das so aus:

3. Potenzgesetz – Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren:

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

Dieses Gesetz nennen wir drittes Potenzgesetz. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$3^2 \cdot 4^2 = \left( 3 \cdot 4 \right)^{2} = {12}^2$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$3^2 \cdot 4^2 = \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 4 \cdot 4 \right) = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 = 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 = \left( 3 \cdot 4 \right) \cdot \left( 3 \cdot 4 \right) = \left( 3 \cdot 4 \right)^2 = {12}^2$

Aufgrund des Kommutativgesetzes können wir die einzelnen Faktoren beliebig vertauschen. Da die Exponenten gleich sind, können wir die Basen $3$ und $4$ paarweise gruppieren und erhalten so eine neue Basis: $3 \cdot 4 = 12$

Potenzgesetze – Division mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem die Basen dividiert werden und der Quotient mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird. In allgemeiner Form geschrieben sieht das so aus:

4. Potenzgesetz – Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren:

$a^n : b^n = (a : b)^n \quad$ oder $\quad \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

Dieses Gesetz ist auch als viertes Potenzgesetz bekannt. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$6^3 : 2^3 = \left( 6 : 2 \right)^3 = 3^3$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$6^3 : 2^3 = \dfrac{6^3}{2^3} = \dfrac{6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac{3\, \cdot \not{2} \cdot 3\, \cdot \not{2} \cdot 3\, \cdot \not{2}}{\not{2}\, \cdot \not{2}\, \cdot \not{2}} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Da Zähler und Nenner den gleichen Exponenten haben, werden die Basen $6$ und $3$ gleich oft mit sich selbst multipliziert und können demnach Faktor für Faktor geteilt (bzw. gekürzt) werden. Deshalb kann der Exponent auch nach außen gezogen und somit erst nach dem Teilen bzw. Kürzen verrechnet werden.

Bei Potenzen mit gleichem Exponenten können wir also folgenden Merksatz festhalten:

Werden Potenzen mit gleichem Exponenten multipliziert bzw. dividiert, so können wir erst die Basen multiplizieren bzw. dividieren und den Exponenten beibehalten bzw. danach verrechnen.

Potenzgesetze – Potenzen potenzieren

Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. In allgemeiner Form geschrieben sieht das so aus:

5. Potenzgesetz – Potenzen potenzieren:

$\left( a^n \right)^m = a^{n \, \cdot \, m}$

Dieses Gesetz ist unser fünftes Potenzgesetz. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$\left( 3^2 \right)^5 = 3^{2 \, \cdot \, 5} = 3^{10}$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$\left( 3^2 \right)^5 = \left( 3 \cdot 3 \right)^5 = \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 3 \cdot 3 \right) \cdot \left( 3 \cdot 3 \right) = 3^{10}$

Wie oft wir die Basis $3$ mit sich selbst multiplizieren müssen, ergibt sich aus den beiden Exponenten. Deshalb können wir in diesem Fall multiplizieren: $2 \cdot 5 = 10$

Bei Potenzen, die noch einmal potenziert werden, können wir also folgenden Merksatz festhalten:

Werden Potenzen mehrfach potenziert, so können wir die aufeinanderfolgenden Exponenten miteinander multiplizieren.

Potenzgesetze – Wurzel

Eine Potenz kann auch eine rationale Zahl in Form eines Bruchs als Exponenten haben. Vielleicht weißt du schon, dass die Potenz $a^{\frac{1}{2}}$ gleichbedeutend ist mit der Wurzel aus $a$, also:

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Für die dritte bzw. vierte Wurzel aus $a$ gilt in ganz ähnlicher Weise:

$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a} \quad$ bzw. $\quad a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$

Allgemein lässt sich schreiben:

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

Die $n$‑te Wurzel aus $a$ ist also gleichbedeutend mit „$a$ hoch $1$ durch $n$“.

Aber was ist, wenn der Zähler des rationalen Exponenten nicht gleich $1$ ist? In diesem Fall gilt folgende Regel:

6. Potenzgesetz – Potenzen potenzieren:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Das ist unser sechstes Potenzgesetz. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Warum funktioniert das? Das wird klar, wenn wir die Rechnung im Detail betrachten:

$8^{\frac{2}{3}} = 8^{\, 2 \, \cdot \frac{1}{3}} = \left( 8^2 \right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Der entscheidende Schritt ist die umgekehrte Anwendung des fünften Potenzgesetzes. Damit können wir den Exponenten $\frac{2}{3}$ als Produkt der Exponenten $2$ und $\frac{1}{3}$ schreiben und nacheinander berechnen. Außerdem nutzen wir, dass der Exponent $\frac{1}{3}$ gleichbedeutend mit der dritten Wurzel ist.

Bei rationalen Potenzen, die sich aus einem Bruch mit dem Zähler $m$ und dem Nenner $n$ zusammensetzen, können wir also folgenden Merksatz festhalten:

Eine rationale Potenz $a^{\frac{m}{n}}$ kann als Potenzierung der Potenz $a^m$ mit dem Exponenten $\frac{1}{n}$ geschrieben werden: $\left( a^m \right)^{\frac{1}{n}}$.
Dann kann zuerst $a^m$ berechnet und anschließend die $n$‑te Wurzel aus $a$ gezogen werden.

Anwendung der Potenzgesetze

Mithilfe der Potenzgesetze lassen sich auch einige Rechnungen erklären, auf die du vielleicht schon einmal gestoßen bist. Im Folgenden betrachten wir ein paar Beispiele.

Potenzgesetze – Addition von gleichen Potenzen

Potenzen, bei denen sowohl die Basis als auch der Exponent übereinstimmen, können zusammengefasst werden. Mehrere gleiche Potenzen können auf diese Weise einfach addiert werden. Zum Beispiel so:

$2^4+ 3 \cdot 2^4 = 1 \cdot 2^4+ 3 \cdot 2^4 = \left( 1 +3 \right) \cdot 2^4 = 4 \cdot 2^4$

Die Zahl $4$ kann ebenfalls als Potenz geschrieben werden $\left(4 = 2^2 \right)$. Mithilfe des ersten Potenzgesetzes lässt sich die Rechnung dann noch weiter vereinfachen:

$4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6$

Nur Potenzen, bei denen sowohl Basis als auch Exponent übereinstimmen, können einfach addiert oder subtrahiert werden.

Spezialfälle bei den Potenzgesetzen

Auch für einige Spezialfälle können die Rechenregeln der Potenzgesetze ohne Probleme angewendet werden, solange folgende Punkte beachtet werden:

  • Der Exponent $0$: Es gilt für alle $a \neq 0$, dass $a^0=1$ ist.
  • Der Term $0^0$ ist nicht definiert.
  • Die Basis $0$: Es ist $0^n=0$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
  • Die Basis $1$: Es ist $1^n=1$ für alle $n \in \mathbb{N}_0$.
  • Ist die Basis negativ, müssen Klammern gesetzt werden. Dann kann das dritte Potenzgesetz angewendet werden sowie die Regel Minus mal Minus ergibt Plus:
    $\left( -a \right)^n = \left(-1 \right)^n \cdot \left(a \right)^n$
  • Negative Exponenten: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
  • Rationale Exponenten: $a^{\frac {1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.
  • Wird ein Bruch mit einem negativen Exponenten potenziert, kann so vereinfacht werden: $\biggl(\dfrac ab\biggr)^{-n}=\biggl(\dfrac ba\biggr)^{n}$

Was machst du nun also, wenn es zum Beispiel beim Potenzieren einer Potenz einen negativen Exponenten gibt?
Um Potenzen mit negativer Hochzahl zu potenzieren, multiplizierst du die Exponenten und beachtest die Vorzeichenregel. Dann ist das Produkt, also die neue Hochzahl, auch negativ. Die Basis bleibt gleich.

Sehen wir uns ein Beispiel dazu an:

$\left( 3^{-2} \right)^3 = 3^{-2 \,\cdot \, 3} = 3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$

Beim Multiplizieren der Potenzen wird also einfach das Minuszeichen mitgenommen. Erst am Ende der Vereinfachung wird dann die negative Potenz in einen Bruch umgewandelt.

Potenzgesetze – Aufgaben

Hier kannst du noch ein paar Übungsaufgaben zu den Potenzgesetzen rechnen.
Wende die Potenzgesetze an, um die jeweiligen Potenzen zu vereinfachen.
Versuche es erst selbst und überprüfe dann die Lösungen!

Aufgabe 1: $\quad 2^3\cdot 2^5$
Aufgabe 2: $\quad 20^3\cdot 5^3$
Aufgabe 3: $\quad \dfrac{3^7}{3^4}$
Aufgabe 4: $\quad \dfrac{16^3}{8^3}$
Aufgabe 5: $\quad \left(7^4\right)^2$
Aufgabe 6: $\quad 27^{\frac{4}{3}}$
Aufgabe 7: $\quad 4^2 \cdot \dfrac{3^5}{3^3}$
Aufgabe 8: $\quad \left( \dfrac{81^4}{9^4} \right)^{\dfrac{1}{4}}$

Zusammenfassung der Potenzgesetze

  • Die Potenzgesetze sind Rechenregeln, die das Rechnen mit Potenzen erleichtern.
  • Wir haben sechs Potenzgesetze formuliert, die in der folgenden Tabelle noch einmal zusammengefasst sind. Außerdem sind dort einige Spezialfälle aufgelistet, die beim Rechnen mit Potenzen zu beachten sind.
Potenz allgemein Potenz $a^n$ Basis $a$, Exponent $n$
Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren $a^n \cdot a^m =a^{n+m}$ Exponenten addieren, Basis beibehalten
Potenzen mit gleicher Basis dividieren $a^n : a^m = a^{n-m}$ Exponenten subtrahieren, Basis beibehalten
Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren $a^n \cdot b^n = \left( a \cdot b\right)^n$ Basen multiplizieren, Exponenten beibehalten
Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren $a^n : b^n = \left( a : b \right)^n$ Basen dividieren, Exponenten beibehalten
Potenzen potenzieren $\left( a^n \right)^m = a^{n \, \cdot \, m}$ Exponenten multiplizieren
Potenzen mit rationalem Exponenten $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ Nenner des Exponenten in Wurzel umwandeln
Exponent $0$ $a^0 = 1$ für alle $a \neq 0$
Basis $0$ $0^n = 0$ für alle natürlichen Zahlen $n > 0$
$0^0$ -- ist nicht definiert
Basis $1$ $1^n = 1$ für alle natürlichen Zahlen $n$
Basis negativ $\left( -a \right)^n = \left(-1 \right)^n \cdot \left(a \right)^n$ Klammern setzen und Vorzeichenregel beachten
negative Exponenten $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ist der Kehrwert von $a^n$
rationale Exponenten $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ ist die $n$-te Wurzel von $a$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzgesetze

Wie viele Potenzgesetze gibt es?
Was sind Potenzgesetze?
Wie lauten die Potenzgesetze?
Wie rechnet man mit negativen Potenzen?
Wie berechne ich Potenzen mit gleichen Basen und unterschiedlichen Exponenten?
Was ist das Ergebnis bei einer Potenz mit einem negativen Exponenten?
Wie berechne ich Potenzen mit rationalen Exponenten?
Was ist eine Potenz von Null?

Transkript Potenzgesetze – Einführung

Hey, was ist hier los? Was hat der denn verbrochen? Wie bitte?! Er hat gegen die Potenzgesetze verstoßen?! Nun ja, ob man ihm das jetzt wirklich vorwerfen kann? Aber Unwissenheit schützt vor Strafe nicht. Am besten werfen wir nochmal gemeinsam einen Blick auf die „Potenzgesetze“. Wow, das sollen wir uns alles merken? So ein erster Blick auf die Potenzgesetze kann einem schnell mal die Laune verderben. Aber keine Sorge! Wir gehen jedes Gesetz einzeln durch und du wirst sehen, dass sie gar nicht so kompliziert sind. Bei den ersten beiden Potenzgesetzen geht es jeweils um zwei Potenzen, die einmal multipliziert und einmal dividiert werden. Die BASIS der Potenzen ist dabei jeweils die gleiche. Lass uns zuerst die Multiplikation genauer anschauen! Wenn wir „x hoch m“ mit „x hoch n“ multiplizieren möchten – also mit einer Potenz, die die gleiche Basis hat – machen wir das, indem wir die Basis beibehalten, und die Exponenten addieren. Dazu ein konkretes Zahlenbeispiel: Wir multiplizieren „drei hoch zwei“ mit „drei hoch vier“. Unser Gesetz sagt uns jetzt, dass wir „drei hoch zwei plus vier“ erhalten. Also „drei hoch sechs“. Um uns zu veranschaulichen, warum dieses Gesetz gilt, schreiben wir die Potenzen als Produkte aus. Dann erhalten wir einmal zwei Dreien, und einmal vier Dreien als Faktoren. Also insgesamt sechs Dreien! Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis funktioniert die Umformung nach dem gleichen Prinzip. In diesem Fall müssen wir die Exponenten einfach subtrahieren. Auch hierzu ein Beispiel: Wir teilen „fünf hoch sechs“ durch „fünf hoch drei“. Das ergibt laut Gesetz „fünf hoch sechs minus drei“, also „fünf hoch drei“. Das sieht doch schon viel besser aus! Mit Hilfe dieser Gesetze können wir Potenzen mit gleicher Basis ganz leicht multiplizieren oder dividieren. Nice, zwei Gesetze abgehakt, drei stehen noch aus. Auch bei den nächsten beiden Gesetzen geht es wieder um Multiplikation und Division. Jetzt sind allerdings nicht die Basen der Potenzen sondern die Exponenten gleich! Ist das der Fall, können wir die Basen erst in einer Klammer zusammenfassen und dann mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren. Zuerst wieder ein Zahlenbeispiel zur Multiplikation. Wenn wir „zwei hoch vier“ mit „drei hoch vier“ multiplizieren, ist das dasselbe, wie wenn wir die Potenz von „zwei mal drei“, also „sechs hoch vier“ berechnen. Dass es sich auch hier lohnt gesetzestreu zu bleiben, erkennen wir, wenn wir die Potenzen nochmal ausschreiben. Denn wenn wir die Faktoren mit Hilfe des Kommutativgesetzes umordnen, und anschließend Klammern setzen, zeigt sich, dass „zwei hoch vier“ mal „drei hoch vier“ und „sechs hoch vier“ tatsächlich gleichwertig sind. Wollen wir zwei Potenzen mit gleichen Exponenten dividieren, dann können wir nach dem gleichen Schema vorgehen und zuerst die Basen dividieren. Das kann uns die Rechenarbeit erheblich erleichtern Läuft bei uns! Jetzt fehlt nur noch das letzte Potenzgesetz, die Königsdisziplin: Das Potenzieren von Potenzen. Wenn wir eine Potenz potenzieren wollen, also die Potenz innerhalb der Klammern ein weiteres mal potenzieren, müssen wir die Exponenten multiplizieren. Zum Beispiel wenn wir den Term „vier hoch zwei hoch drei“ vereinfacht darstellen wollen. Nach unserem Gesetz ergibt das „vier hoch zwei mal drei“, also letztendlich „vier hoch sechs“. Wir veranschaulichen uns auch dieses Gesetz noch kurz, indem wir die Potenzen ausschreiben. Dann sehen wir, dass der Faktor vier tatsächlich sechs mal in unserem Produkt vorkommt. Geht also alles mit rechten Dingen zu. Und schon haben wir die wichtigsten Potenzgesetze beisammen. Natürlich kannst du sie auswendig lernen! Noch besser ist es allerdings, zu hinterfragen warum diese Gesetze sinnvoll sind, um sie so wirklich zu verstehen. Denn wenn wir verstehen, wie Exponenten wirklich funktionieren, können wir uns die Potenzgesetze im Zweifel manchmal auch einfach selbst herleiten. Und sollten dann in Zukunft auch nicht mehr allzu häufig in Konflikt mit den Gesetzen kommen. Im Zweifel für den Angeklagten! Wir plädieren auf Freispruch!

6 Kommentare
6 Kommentare
  1. Das Video war sehr hilfreich Danke <3

    Von Sophie <3<3, vor 5 Monaten
  2. Super Erklärung 👍

    Von Jolina, vor 7 Monaten
  3. ehrenmann

    Von Utaschaf, vor 10 Monaten
  4. Sehr gut erklärt

    Von Blutfleck, vor mehr als einem Jahr
  5. Tolles Video, sehr ausführlich erklärt!!

    Von beluga, vor mehr als einem Jahr
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Potenzgesetze – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgesetze – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Belege die beiden Potenzgesetze zur Multiplikation mit Beispielen.

    Tipps

    Beispiel:

    $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

    Bei einer Potenz gibt der Exponent an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

    Lösung

    Die beiden Potenzgesetze zur Multiplikation behandeln die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis und die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten.

    Potenzgesetz zur Multiplikation mit gleicher Basis:
    $\color{#99CC00}{x^m \cdot x^n = x^{m+n}}$
    Wir betrachten als Beispiel die Rechnung $3^2 \cdot 3^4$
    Um das Ergebnis zu ermitteln, schreiben wir zunächst die Potenzen aus:
    $3^2 = \color{#99CC00}{3 \cdot 3}$
    $3^4 = \color{#99CC00}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
    Wenn wir beide Potenzen multiplizieren, müssen wir die beiden Produkte hintereinanderschreiben:
    $3^2 \cdot 3^4 = \underbrace{3 \cdot 3}_{2~\text{mal}} ~\cdot~ \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4~\text{mal}}$
    Wir erhalten also ein Produkt mit insgesamt $2+4=\color{#99CC00}{6}$ Faktoren.
    Daher gilt:
    $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$

    Potenzgesetz zur Multiplikation mit gleichem Exponenten:
    $\color{#99CC00}{x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n}$
    Wir betrachten als Beispiel die Rechnung $2^4 \cdot 3^4$
    Um das Ergebnis zu ermitteln, schreiben wir zunächst die Potenzen aus:
    $2^4 \cdot 3^4 = \color{#99CC00}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \color{black}{~\cdot~} \color{#99CC00}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
    Wenn wir Faktoren neu ordnen, können wir immer zwei Faktoren zusammenfassen:
    $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2\cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2\cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)$
    Wir erhalten also ein Produkt aus vier Faktoren, welche das Produkt $\color{#99CC00}{(2 \cdot 3)}$ sind.
    Daher gilt:
    $2^4 \cdot 3^4=(2 \cdot3)^4 = 6^4$

  • Vervollständige die Potenzgesetze.

    Tipps

    Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, indem wir die Exponenten addieren und die Basis beibehalten.

    Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, indem wir die Basen multiplizieren und den Exponenten beibehalten.

    Lösung

    Die Potenzgesetze helfen uns, Terme mit Potenzen zusammenzufassen und zu vereinfachen. Wir können dabei die folgenden Potenzgesetze anwenden:

    Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
    Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, indem wir die Exponenten addieren und die Basis beibehalten. Kurz gefasst:
    $x^m \cdot x^n = x^\color{#99CC00}{m~+~n}$
    Beispiel: $5^3 \cdot 5^5 = 5^{3~+~5} = 5^8$

    Division von Potenzen mit gleicher Basis:
    Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis dividieren, indem wir die Exponenten subtrahieren und die Basis beibehalten. Kurz gefasst:
    $\dfrac{x^m}{x^n} = x^\color{#99CC00}{m~-~n}$
    Beispiel: $\dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8~-~5} = 3^3$

    Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten:
    Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, indem wir die Basen multiplizieren und den Exponenten beibehalten. Kurz gefasst:
    $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^\color{#99CC00}{n}$
    Beispiel: $5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$

    Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:
    Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren, indem wir die Basen dividieren und den Exponenten beibehalten. Kurz gefasst:
    $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^\color{#99CC00}{\!n}$
    Beispiel: $\dfrac{15^2}{5^2} = \left(\dfrac{15}{5}\right)^2 = 3^2$

    Potenzieren von Potenzen:
    Wir können eine Potenz potenzieren, indem wir die Basis beibehalten und die Exponenten multiplizieren. Kurz gefasst:
    $(x^m)^n = x^\color{#99CC00}{m ~\cdot~ n}$
    Beispiel: $(2^2)^5 = 2^{2 ~\cdot~ 5} = 2^{10}$

  • Fasse die Potenzen zusammen.

    Tipps

    Überlege zunächst, ob die Basen gleich sind oder ob die Exponenten gleich sind.

    Potenzgesetzte zur Division:

    $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$

    Lösung

    Die Potenzgesetze geben uns vor, wie wir Potenzen vereinfachen und zusammenfassen können:

    • $x^m \cdot x^n = x^{m~+~n}$
    • $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m~-~n}$
    • $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
    • $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
    • $(x^m)^n = x^{m ~\cdot~ n}$
    Da es sich bei unseren Aufgaben nur um Multiplikationen und Divisionen handelt, benötigen wir nur die ersten vier Gesetze.

    Wir betrachten die einzelnen Aufgaben und überlegen, welches Gesetz wir anwenden können:

    Aufgabe 1:
    $3^5 \cdot 4^5 = \square^{\,5}$
    Es handelt sich um eine Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
    $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
    Wir fassen also die Basen zusammen:
    $3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = \color{#99CC00}{12}^\color{black}{\,5}$

    Aufgabe 2:
    $\dfrac{7^5}{7^3} = \square^{\,2}$
    Es handelt sich um eine Division von Potenzen mit gleicher Basis. Das passende Gesetz lautet:
    $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m~-~n}$
    Wir fassen also die Exponenten zusammen:
    $\dfrac{7^5}{7^3} =7^{5~-~3} = \color{#99CC00}{7}^\color{black}{\,2}$

    Aufgabe 3:
    $\square^{\,4} \cdot 4^4 = 24^4$
    Es handelt sich um eine Multiplikation. Der Exponent bleibt erhalten. Es geht also um die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
    $x^n \cdot y^n = (x ~\cdot~ y)^n$
    Die Basen wurden also zu $24$ zusammengefasst. Um die fehlende Basis zu ermitteln, rechnen wir $24:4$ und erhalten:
    $\color{#99CC00}{6}^{\color{black}{\,4}} \color{black}{\cdot 4^4 = 24^4}$

    Aufgabe 4:
    $6^4 : \square^{\,4} = 2^4$
    Es handelt sich um eine Division. Der Exponent bleibt erhalten. Es geht also um die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
    $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
    Die Basen wurden also zu $2$ zusammengefasst. Um die fehlende Basis zu ermitteln, rechnen wir $6 \cdot 2$ und erhalten: $6^4 : \color{#99CC00}{3}^{\color{black}{\,4}} \color{black}{= 2^4}$

  • Wende die Potenzgesetze an.

    Tipps

    Unterscheide:

    • Multiplikation bei gleicher Basis: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
    • Multiplikation bei gleichem Exponenten: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$

    Beispiel:

    $(5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15}$

    Lösung

    Um Potenzen zu vereinfachen und zusammenzufassen, können wir bei den einzelnen Rechenoperationen Potenzgesetze anwenden:

    • Multiplikation bei gleicher Basis:
    $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
    • Division bei gleicher Basis:
    $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
    • Multiplikation bei gleichem Exponenten:
    $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
    • Division bei gleichem Exponent:
    $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
    • Potenzieren:
    $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$


    Wir wenden die Gesetze auf die gegebenen Aufgaben an:

    $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

    $(3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20}$

    $\dfrac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3$

    $4^3 \cdot 3^3 = (4 \cdot 3)^3 = 12^3$

    $\dfrac{12^4}{3^4} = \left( \dfrac{12}{3} \right)^4 = 4^4$

  • Stelle die Potenzen in der ausführlichen Schreibweise dar.

    Tipps

    Der Exponent (die Hochzahl) gibt die Anzahl der Faktoren an:

    $x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots x}_{n\text{-mal}}$

    Beispiel:

    $7^5 = \underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}_{5\text{-mal}}$

    Lösung

    Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für eine wiederholte Multiplikation. Den Faktor, welcher mit sich selbst multipliziert wird, schreiben wir dabei nach unten als Basis. Die Anzahl der Faktoren kommt in die Hochzahl, den Exponenten.
    Umgekehrt können wir also auch jede Potenz als Multiplikation ausschreiben, indem wir die Basis als Faktor verwenden und so viele Faktoren notieren, wie der Exponent vorgibt.

    Allgemein gilt: $~x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots x}_{n\text{-mal}}$

    Für die Beispiele dieser Aufgabe ergibt sich somit:

    • $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
    Die Zahl $3$ wird $4$-mal mit sich selbst multipliziert.
    • $4^2 = 4 \cdot4$
    Die Zahl $4$ wird $2$-mal mit sich selbst multipliziert.
    • $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
    Die Zahl $2$ wird $4$-mal mit sich selbst multipliziert.
    • $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
    Die Zahl $2$ wird $3$-mal mit sich selbst multipliziert.
    • $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$
    Die Zahl $5$ wird $3$-mal mit sich selbst multipliziert.
  • Überprüfe die Anwendung der Potenzgesetze.

    Tipps

    Rechne immer von innen nach außen. Beginne also immer mit der innersten Klammer.

    Bei einer Multiplikation zweier Brüche rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Die Faktoren im Zähler und die Faktoren im Nenner kannst du dann jeweils vertauschen.

    Lösung

    Um Terme mit Potenzen zusammenzufassen, müssen wir uns an die Potenzgesetze halten. Diese lauten:

    • Multiplikation bei gleicher Basis:
    $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
    • Division bei gleicher Basis:
    $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
    • Multiplikation bei gleichem Exponenten:
    $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
    • Division bei gleichem Exponent:
    $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
    • Potenzieren:
    $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

    Wir überprüfen die Rechnungen:

    Erste Rechnung:
    $\begin{array}{ll} \dfrac{(a^3 \cdot b^3)^4}{b^2} &= \dfrac{a^{12} \cdot b^{12}}{b^2} = a^{12} \cdot b^{12-2} \\ & \\ &= a^{12} \cdot b^{10} \end{array}$
    Dieser Term wurde richtig zusammengefasst.

    Zweite Rechnung:
    $\left( \dfrac{x^8}{x^3} \right) \cdot y^6 \color{red}{~\neq~} \color{black}{\dfrac{(xy)^6}{x^3}}$
    Dieser Term wurde falsch zusammengefasst. Korrekt gehen wir wie folgt vor:
    $\left( \dfrac{x^8}{x^3} \right) \cdot y^6 = x^{8-3} \cdot y^6 = x^5 \cdot y^6 = \dfrac{(xy)^6}{x}$

    Dritte Rechnung:
    $\begin{array}{ll} \left( \dfrac{z^5}{y^5} \cdot \dfrac{1}{z^3} \right)^4 &= \left( \dfrac{z^5}{z^3} \cdot \dfrac{1}{y^5} \right)^4 = \left( z^{5-3} \cdot \dfrac{1}{y^5} \right)^4 \\ & \\ &= \left( \dfrac{z^2}{y^5} \right)^4 = \dfrac{z^8}{y^{20}} \end{array}$
    Dieser Term wurde richtig zusammengefasst.

    Vierte Rechnung:
    $\dfrac{(3^x \cdot 5^x)^4}{15^y} \color{red}{~\neq~} \color{black}15^{\small{\frac{4x}{y}}}$
    Dieser Term wurde falsch zusammengefasst. Korrekt gehen wir wie folgt vor:
    $\begin{array}{ll} \dfrac{(3^x \cdot 5^x)^4}{15^y} &= \dfrac{((3 \cdot5)^x)^4}{15^y} = \dfrac{(15^x)^4}{15^y} = \dfrac{15^{4x}}{15^y} \\ & \\ &= 15^{4x-y} \end{array}$