Potenzgesetze – Einführung

Hey, was ist hier los? Was hat der denn verbrochen? Wie bitte?! Er hat gegen die Potenzgesetze verstoßen?! Nun ja, ob man ihm das jetzt wirklich vorwerfen kann? Aber Unwissenheit schützt vor Strafe nicht. Am besten werfen wir nochmal gemeinsam einen Blick auf die „Potenzgesetze“. Wow, das sollen wir uns alles merken? So ein erster Blick auf die Potenzgesetze kann einem schnell mal die Laune verderben. Aber keine Sorge! Wir gehen jedes Gesetz einzeln durch und du wirst sehen, dass sie gar nicht so kompliziert sind. Bei den ersten beiden Potenzgesetzen geht es jeweils um zwei Potenzen, die einmal multipliziert und einmal dividiert werden. Die BASIS der Potenzen ist dabei jeweils die gleiche. Lass uns zuerst die Multiplikation genauer anschauen! Wenn wir „x hoch m“ mit „x hoch n“ multiplizieren möchten – also mit einer Potenz, die die gleiche Basis hat – machen wir das, indem wir die Basis beibehalten, und die Exponenten addieren. Dazu ein konkretes Zahlenbeispiel: Wir multiplizieren „drei hoch zwei“ mit „drei hoch vier“. Unser Gesetz sagt uns jetzt, dass wir „drei hoch zwei plus vier“ erhalten. Also „drei hoch sechs“. Um uns zu veranschaulichen, warum dieses Gesetz gilt, schreiben wir die Potenzen als Produkte aus. Dann erhalten wir einmal zwei Dreien, und einmal vier Dreien als Faktoren. Also insgesamt sechs Dreien! Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis funktioniert die Umformung nach dem gleichen Prinzip. In diesem Fall müssen wir die Exponenten einfach subtrahieren. Auch hierzu ein Beispiel: Wir teilen „fünf hoch sechs“ durch „fünf hoch drei“. Das ergibt laut Gesetz „fünf hoch sechs minus drei“, also „fünf hoch drei“. Das sieht doch schon viel besser aus! Mit Hilfe dieser Gesetze können wir Potenzen mit gleicher Basis ganz leicht multiplizieren oder dividieren. Nice, zwei Gesetze abgehakt, drei stehen noch aus. Auch bei den nächsten beiden Gesetzen geht es wieder um Multiplikation und Division. Jetzt sind allerdings nicht die Basen der Potenzen sondern die Exponenten gleich! Ist das der Fall, können wir die Basen erst in einer Klammer zusammenfassen und dann mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren. Zuerst wieder ein Zahlenbeispiel zur Multiplikation. Wenn wir „zwei hoch vier“ mit „drei hoch vier“ multiplizieren, ist das dasselbe, wie wenn wir die Potenz von „zwei mal drei“, also „sechs hoch vier“ berechnen. Dass es sich auch hier lohnt gesetzestreu zu bleiben, erkennen wir, wenn wir die Potenzen nochmal ausschreiben. Denn wenn wir die Faktoren mit Hilfe des Kommutativgesetzes umordnen, und anschließend Klammern setzen, zeigt sich, dass „zwei hoch vier“ mal „drei hoch vier“ und „sechs hoch vier“ tatsächlich gleichwertig sind. Wollen wir zwei Potenzen mit gleichen Exponenten dividieren, dann können wir nach dem gleichen Schema vorgehen und zuerst die Basen dividieren. Das kann uns die Rechenarbeit erheblich erleichtern Läuft bei uns! Jetzt fehlt nur noch das letzte Potenzgesetz, die Königsdisziplin: Das Potenzieren von Potenzen. Wenn wir eine Potenz potenzieren wollen, also die Potenz innerhalb der Klammern ein weiteres mal potenzieren, müssen wir die Exponenten multiplizieren. Zum Beispiel wenn wir den Term „vier hoch zwei hoch drei“ vereinfacht darstellen wollen. Nach unserem Gesetz ergibt das „vier hoch zwei mal drei“, also letztendlich „vier hoch sechs“. Wir veranschaulichen uns auch dieses Gesetz noch kurz, indem wir die Potenzen ausschreiben. Dann sehen wir, dass der Faktor vier tatsächlich sechs mal in unserem Produkt vorkommt. Geht also alles mit rechten Dingen zu. Und schon haben wir die wichtigsten Potenzgesetze beisammen. Natürlich kannst du sie auswendig lernen! Noch besser ist es allerdings, zu hinterfragen warum diese Gesetze sinnvoll sind, um sie so wirklich zu verstehen. Denn wenn wir verstehen, wie Exponenten wirklich funktionieren, können wir uns die Potenzgesetze im Zweifel manchmal auch einfach selbst herleiten. Und sollten dann in Zukunft auch nicht mehr allzu häufig in Konflikt mit den Gesetzen kommen. Im Zweifel für den Angeklagten! Wir plädieren auf Freispruch!