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Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln

Inhalt

Die Logarithmusgesetze in Mathe

In der Mathematik gibt es für die meisten Rechenoperationen Rechenregeln. So auch für den Logarithmus. Die wichtigsten dieser Rechenregeln, die man auch Logarithmusgesetze nennt, wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Logarithmusgesetze – Definitionen und Beispiele

Wir listen zunächst die Definitionen der einzelnen Regeln auf, um sie dann anhand einiger Beispiele nachzuvollziehen.


Definition des Logarithmus und Nullstellenregel

Zu Beginn wiederholen wir die Definition des Logarithmus und besprechen zwei direkte Folgen dieser Definition. Der Logarithmus ist definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

$x = \log_b(a) \Leftrightarrow a = b^{x}$

Dabei heißt $b$ die Basis der Potenz $a=b^{x}$. Bei der Potenz $a$ und der Basis $b$ muss es sich um positive, reelle Zahlen handeln. Aus der Definition können wir zwei grundlegende Rechenregeln folgern. Zunächst betrachten wir den Fall, dass $a=b$ gilt:

$\log_b(b) = x \Leftrightarrow b = b^{x}$

Gesucht wird eine Zahl $x$, mit der $b$ potenziert werden muss, um $b$ zu ergeben. Die einzige Zahl, die diese Gleichung erfüllt, ist die Eins. Die Eins erfüllt diese Gleichung auch unabhängig davon, welchen Wert $b$ annimmt. Wir können also als Regel schreiben:

$\log_b(b) = 1$

Als Zweites betrachten wir den Fall, dass $a=1$ ist:

$\log_b(1) = x \Leftrightarrow 1 = b^{x}$

Wir können hier zwei Fälle unterscheiden. Wenn $b=1$ ist, haben wir denselben Fall wie oben und das Ergebnis ist immer eins. Für alle $b>1$ wird sie nur durch $x=0$ erfüllt, denn jede positive reelle Zahl, die mit null potenziert wird, ergibt eins. Wir können daher als Regel aufschreiben:

$\log_b(1) = 0$

Produktregel des Logarithmus

Wir wollen uns nun anschauen, wie es sich mit dem Logarithmus eines Produkts verhält. Wir betrachten also den Fall:

$x = \log_b(a \cdot c) \Leftrightarrow a \cdot c = b^{x}$

Wir schreiben die Rechenregel für Produkte ohne Herleitung auf:

$ \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)$

Diese Regel hilft oft, Aufgaben zu vereinfachen.

Beispiel

Als Beispiel berechnen wir den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$. Um die Aufgabe zu vereinfachen, stellen wir die $32$ als Produkt dar:

$\log_2(32) = \log_2(4 \cdot 8)$

Auf das Produkt wenden wir nun die Produktregel des Logarithmus an:

$\log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8)$

Die einzelnen Terme auf der rechten Seite sind leicht im Kopf zu lösen, denn $2^{2}=4$ und $2^{3} = 8$:

$\log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5 = \log_2(32)$

Zur Probe kann mit dem Taschenrechner die Umkehrung berechnet werden:

$2^{5} = 32$

Potenzregel des Logarithmus

Wir wollen uns nun anschauen, wie es sich mit dem Logarithmus einer Potenz verhält. Wir betrachten also den Fall:

$x = \log_b(a^{c}) \Leftrightarrow a^{c} =b^{x}$

Die Rechenregel für Potenzen folgt direkt aus der Produktregel. Die Potenz $a^{c}$ können wir auch folgendermaßen schreiben:

$a^{c} = \underbrace{a \cdot a \cdot … \cdot a}_{c ~ \text{mal}}$

Wenn wir das Argument des Logarithmus so schreiben und die Produktregel anwenden, erhalten wir:

$\log_b(\underbrace{a \cdot a \cdot … \cdot a}_{c ~ \text{mal}}) = \underbrace{ \log_b(a) + \log_b(a) + … + \log_b(a)}_{c ~ \text{mal}} = c \cdot \log_b(a)$

Das ist gerade die Potenzregel des Logarithmus:

$\log_b(a^{c}) = c \log_b(a)$

Beispiel

Als Beispiel berechnen wir den Logarithmus von $4^{2}$ zur Basis $2$:

$\log_2(4^{2}) = 2 \cdot \log_2(4) = 2\cdot 2 = 4 = \log_2(16)$

Zusammenfassung des Videos Logarithmus - Drei Rechenregeln

In diesem Video lernst du die wichtigsten Rechenregeln für den Logarithmus kennen. Video und Text werden durch Übungen ergänzt, mit denen du dein neues Wissen vertiefen kannst.

Transkript Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln

Hallo! In diesem Film möchte ich 3 kleine Rechenregeln vorstellen, die Logarithmen betreffen. Es ist nichts dolles, aber gut zu wissen. Wir haben den Logarithmus zur Basis, was nehmen wir denn mal, 5 von 5. Ich glaube, ich hab´s in einem vorigen Film schon mal aufgeschrieben mit 5, mit den Würfeln oder so, ist auch Wurst. Ich möchte eine Zahl wo sich 5 potenzieren, damit 5 rauskommt, und das ist 1. Ja, weil 51=5. Ich kann das auch machen mit dem Logarithmus zur Basis 7 von 7, ich darf auch eine Klammer rumschreiben, ist auch egal. Das ist ebenfalls 1. Auch der Logarithmus zur Basis 103, ich kann da hier alle möglichen positiven Zahlen einsetzen, ich kann auch 103,5 nehmen oder was. Der Logarithmus zur Basis 103 von 103=1, denn 1031=103. Und allgemein kann man das eben so aufschreiben: der Logarithmus zur Basis b von b=1. Hier ein kleines Logarithmengesetz. Eigentlich heißen die nicht richtig Logarithmengesetz, sondern einfach Rechenregel. Logarithmengesetze sind noch was anderes. Aber so genau muss man das nicht nehmen. Auf jeden Fall hier: Logarithmus zur Basis b von b=1. Dann haben wir Logarithmus zur Basis 3 von 1. Was ist das? Mit welcher Zahl muss ich die 3 potenzieren, damit 1 rauskommt? Na ja, es ist 0. Ich habe mich da schon mal dazu geäußert in dem Film „Exponentialfunktion mit Salzteig“. Irgendwas hoch 0 ist 1. Es gibt übrigens die Diskussion darüber, ob 00 auch 1 sei oder nicht. Du kannst dir ja mal nen Spaß draus machen, deinen Lehrer mal fragen oder so was. Es gibt dann unterschiedliche Lehrer die unterschiedliche Antworten geben. Das scheint noch nicht ganz geklärt zu sein, es ändert sich dann auch immer wieder so ein bisschen. Aber, will ich auch gar nicht weiter darauf eingehen, ist auch egal, spielt in der Mathematik jetzt nicht so die große Rolle. Wüsste ich jetzt nicht. Wenn wir eine Zahl haben, die ungleich 0 ist, dann ist diese Zahl hoch 0 gleich 1. Das ist auf jeden Fall klar. Hier zum Beispiel ist 30=1. Übrigens ist auch 180=1 usw. Deshalb kann man hier also schreiben der Logarithmus zur Basis 18 von 1=0, denn 180=1. Hier also die Regel dazu, so schreibt man das auf: Logarithmus zu irgendeiner Basis b von 1=0. 2. Rechenregel hier für Logarithmen. Und dann, wie angekündigt, die 3. auch noch. Die passt noch in diesen Film. Wir könnten folgende Situation vorfinden. Wir haben den Logarithmus zur Basis 4 von 48. Vielleicht kann man das hier einklammern, um es genauer zu sehen, was man meint. Also, ich möchte erst 48 ausrechnen. Von dieser Zahl berechne ich dann den Logarithmus zur Basis 4. Nun, 48 kann ich nicht im Kopf. Aber ich weiß, dass der Logarithmus zur Basis 4 von 48=8 ist. Denn die Frage ist ja, mit welcher Zahl muss ich 4 potenzieren, damit 48 herauskommt. Nun, es ist die 8. Das ist ein bisschen stumpf, aber richtig. Ich kann auch irgendwelche abstrusen Zahlen nehmen. Was heißt abstrus, jetzt hier zumindest, was die Logarithmen angeht. Eher ungewöhnlich, nicht so oft gebraucht. Ich kann zum Beispiel mich fragen, ich nehme mal 37,6. Logarithmus zur Basis 37,6 von 37,628. Hab ich die schon? Nein, die 18 hatte ich. Was ist der Logarithmus von 37,628 zur Basis 37,6? Das ist die Antwort auf die Frage: Mit welcher Zahl muss ich 37,6 potenzieren, damit 37,628 rauskommt? Und es ist die 28. Allgemein kann man also schreiben: Der Logarithmus zur Basis b von bn, schreib ich schön in Klammern hier, ist gleich n. Also, die 3. Rechenregel. Ich hoffe, das macht dir keine Probleme, diese etwas längere Formulierung hier. Das ist auf jeden Fall richtig. Wenn dir das noch nicht ganz geläufig ist, nimm dir mehrere Zahlen, probier es einfach aus und dann läuft das richtig glatt durch. Viel Spaß, bis bald! Tschüss!

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. Dankeschön!!

    Ist auch ne irre Kunst, von oben schreiben.

    Von Juliane Viola D., vor etwa 7 Jahren
  2. Servus,kann mir jemand Erklären was genau der Unterschied zwischen Ln und Log ist ?

    Noch ne Frage zur einer Aufgabe
    3*ln(2)+ln(20)
    aus mal wird plus und aus plus mal
    dann wäre doch das Ergebnis
    ln(5)*ln(20)
    =ln(100)
    oder ?

    Von Marcus Sl, vor fast 8 Jahren
  3. super, danke!

    Von Lisza Neumeier, vor fast 8 Jahren
  4. War leider nicht hilfreich

    Von Caramel500, vor mehr als 8 Jahren
  5. Warum ist kein Bild mehr zu sehen?

    Von Ruth Herzet, vor mehr als 8 Jahren
Mehr Kommentare

Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusgesetze – Drei Rechenregeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne Regeln zum Rechnen mit Logarithmen.

    Tipps

    Der Logarithmus zur Basis $b$ von $a$ beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten $b$ potenziert werden muss, damit man $a$ erhält.

    Womit muss man eine Basis potenzieren, damit die Basis selbst herauskommt?

    Womit muss man eine Basis potenzieren, damit $0$ heraus kommt?

    Du kannst die jeweilige Antwort auch überprüfen, indem du zur Potenzschreibweise übergehst.

    Lösung

    Wir können drei Rechenregeln für Logarithmen aufstellen:

    1. Der Logarithmus

    $\log_55=1$, da $5^1=5$ ist.

    Man kann allgemein feststellen, dass der Logarithmus zu einer Basis von der Basis selbst $1$ ist, da $b^1=b$ ist. Wir haben also

    $\log_bb=1$.

    2. Mit welcher Zahl muss man eine beliebige Basis potenzieren, damit $1$ herauskommt? Es gilt $b^0=1$ für $b\neq 0$. Daraus kann man die Rechenregel

    $\log_b1=0$

    ableiten.

    3. Der Logarithmus stellt allgemein die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, damit ein gegebener Numerus herauskommt. Wenn der Numerus selbst eine Potenz zu der gegebenen Basis ist, so ist die Antwort klar. Mit welcher Zahl muss $4$ potenziert werden, damit $4^8$ herauskommt? Richtig: $8$. Dies führt zu der Rechenregel

    $\log_b\left(b^n\right)=n$.

  • Bestimme den Logarithmus.

    Tipps

    Du kannst jeweils eine der folgenden Rechenregeln anwenden:

    1. $\log_bb=1$,
    2. $\log_b1=0$ oder
    3. $\log_b\left(b^n\right)=n$.

    Umgekehrt kannst du dir auch jeweils die Frage stellen, mit welchem Exponenten die Basis potenziert werden muss, um einen gegebenen Numerus zu erhalten.

    Es ist zum Beispiel $23456^0=1$. Umgekehrt ist $\log_{23456}1=0$.

    Lösung

    Wir wenden Rechenregeln für Logarithmen an:

    1. Man kann allgemein feststellen, dass der Logarithmus zu einer Basis von der Basis selbst $1$ ist, da $b^1=b$ ist. Deshalb ist

    $\log_77=1$.

    2. Es gilt $b^0=1$ für $b\neq 0$. Also ist $\log_b1=0$. Somit ist

    $\log_31=0$.

    3. Wenn der Numerus selbst eine Potenz zu der gegebenen Basis ist, so ist die Antwort auf die folgende Frage klar. Mit welcher Zahl muss $b$ potenziert werden, damit $b^n$ herauskommt? Richtig: $n$.

    Es kann also die Regel $log_b\left(b^n\right)=n$ abgeleitet werden.

    Somit ist

    • $\log_{37,6}\left(37,6^28\right)=28$
    • $\log_{4}\left(4^8\right)=8$
  • Untersuche, ob die Rechenregeln für Logarithmen richtig verwendet wurden.

    Tipps

    Die Rechenregeln für Logarithmen lauten:

    • $\log_bb=1$,
    • $\log_b1=0$ oder
    • $\log_b\left(b^n\right)=n$.
    Wurden diese richtig angewendet?

    Jede der drei Regeln wird mindestens einmal verwendet.

    Lösung

    Es können die drei Rechenregeln

    • $\log_bb=1$,
    • $\log_b1=0$ oder
    • $\log_b\left(b^n\right)=n$
    verwendet werden:

    1. $\log_{1234}1234=1$. Dies wäre das Ergebnis unter Verwendung der ersten Regel. In der obigen Rechnung liegt ein Fehler vor.
    2. $\log_{25}\left(25^3\right)=3$. Hier wurde die letzte Regel verwendet.
    3. $\log_{13}1=0$. Hier wurde die mittlere Regel verwendet.
    4. $\log_{1234}1=0$. Dies wäre das richtige Ergebnis unter Verwendung der mittleren Regel. Auch hier liegt ein Fehler vor.
  • Prüfe die folgenden Logarithmusgleichungen.

    Tipps

    Verwende die Regeln

    1. $\log_bb=1$,
    2. $\log_b1=0$ und
    3. $\log_b\left(b^n\right)=n$.

    Die 3. Regel gilt auch bei negativen Exponenten.

    Es sind ebensoviele Gleichungen richtig wie falsch.

    Beachte, dass $2^4=16$ gilt.

    Lösung

    Zur weiteren Vertiefung der Regeln werden nun noch weitere Beispiele betrachtet.

    Die verwendeten Regeln lauten:

    1. $\log_bb=1$,
    2. $\log_b1=0$ und
    3. $\log_b\left(b^n\right)=n$.
    Damit haben wir:

    • $\log_{231}231=1$ statt $\log_{231}231=0$,
    • $\log_{231}1=0$ statt $\log_{231}0=1$,
    • $\log_{231}\left(231^{-2}\right)=-2$,
    • $\log_{231}\left(231^3\right)=3$,
    • $\log_216=\log_2\left( 2^4\right) =4$ statt $\log_216=3$ sowie
    • $\log_{16}\left(16^2\right)=2$.
  • Berechne den angegebenen Logarithmus.

    Tipps

    Der Logarithmus zur Basis $b$ von $a$ beantwortet die Frage, mit welcher Zahl die Basis potenziert werden muss, damit man $a$ erhält.

    Du kannst eine der folgenden Rechenregeln verwenden:

    1. $\log_bb=1$,
    2. $\log_b1=0$ oder
    3. $\log_b\left(b^n\right)=n$ .

    Lösung

    Wie kann man den Logarithmus zur Basis $4$ von einer Potenz mit der gleichen Basis berechnen?

    Da der Logarithmus zur Basis $b$ von $a$ die Frage beantwortet, mit welcher Zahl die Basis potenziert werden muss, damit man $a$ erhält, ist die Antwort hier direkt zu sehen.

    Es gilt $4^8=4^8$: Man muss $4$ mit $8$ potenzieren, damit $4^8$ heraus kommt.

    Dies kann zu der Regel $\log_b\left(b^n\right)=n$ verallgemeinert werden.

    Somit ist $\log_4\left(4^8\right)=8$.

  • Berechne den Logarithmus.

    Tipps

    Verwende die Regel $\log_b\left(b^n\right)=n$.

    Um diese Regel zu verwenden, musst du $0,125$ als Potenz mit der Basis $2$ schreiben.

    Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Das Ergebnis ist eine negative Zahl.

    Es gilt $0,125=\frac1{2^3}$.

    Lösung

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $2$ von $0,125$.

    Die Frage hierzu lautet: Womit muss $2$ potenziert werden, um als Potenzwert $0,125$ zu erhalten?

    Um diese Frage zu beantworten, muss man $0,125$ als Potenz mit der Basis $2$ schreiben:

    $0,125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}=\frac1{2^3}$.

    Nun kann man die Potenzregel verwenden, welche besagt, dass eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch geschrieben werden kann: $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Also ist $0,125=\frac1{2^3}=2^{-3}$.

    Umgekehrt bedeutet dies, dass $\log_2 0,125=-3$ ist.

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