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Mit Einheiten rechnen – Division 04:25 min

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Transkript Mit Einheiten rechnen – Division

Charlotte und ihr Bruder Gottfried reisen mit der Kutsche von Süddeutschland bis hoch in den Norden. Das ist ziemlich weit, aber sie nehmen die Reise auf sich, weil sie ihren Eltern ihre Kleinen vorstellen wollen. Gottfried findet, dass seine Schwester Charlotte ihren ganzen Stolz, Sophia, ziemlich verwöhnt und Charlotte denkt das Gleiche über Gottfried und seinen geliebten Monty. Beide Geschwister glauben, dass es eine lange und schwierige Reise werden wird. Um herauszufinden, wie lang und wie schwierig, müssen sie Divisionen mit Einheiten durchführen. Die beiden wollen wissen, wann die Reise endlich vorbei ist. Darum behält Gottfried seine Taschenuhr im Auge, während Charlotte immer wieder die Karte studiert. Wenn die beiden bloß miteinander sprechen würden, könnten sie gemeinsam ihre Reisegeschwindigkeit herausfinden. Eine Geschwindigkeit berechnet man, indem man den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit teilt. Gottfried weiß, dass sie bisher 3 Stunden lang gereist sind, und er ist schrecklich genervt davon, dass seine Schwester die gesamten 3 Stunden mit Sophia gespielt hat. Charlotte sieht auf der Karte, dass sie 21 Kilometer hinter sich gebracht haben. Für sie bedeutet das, sie musste 21 Kilometer lang zuschauen, wie ihr Bruder Monty verwöhnt. Um die Reisegeschwindigkeit herauszufinden, teilen wir den Weg durch die Zeit, also 21 Kilometer durch 3 Stunden. 21 geteilt durch 3 zu rechnen ist einfach, das Ergebnis lautet 7. Aber was ist mit den Einheiten? Da wir unterschiedliche Einheiten miteinander verrechnen, können wir sie nicht einfach wegkürzen. Wir schreiben kurz h für Stunden und können den Bruch so umformen dann erhalten wir die Einheit Kilometer pro Stunde, kurz km/h. Das bedeutet, dass die beiden in jeder Stunde 7 Kilometer hinter sich bringen. Gottfried findet es furchtbar, wie Charlotte unentwegt mit Sophias Rassel herumspielt. Sie rasselt 12-mal pro Stunde und an ihrem ersten Tag waren sie 8 Stunden lang unterwegs. Gottfried möchte wissen, wie oft seine Schwester mit der Rassel gespielt hat. Er multipliziert 12-mal Rasseln pro Stunde mit der Anzahl der Stunden, also 8. Schau, die Einheit "Stunden" lässt sich kürzen. Das bedeutet, Charlotte hat an einem Tag 96-mal mit der Rassel gespielt. 96-mal zu oft für Gottfrieds Geschmack. Aber auch Charlotte hat Grund, sich zu beschweren. Denn Gottfried gibt seinem geliebten Monty immer wieder Kaviar, bietet ihr aber keinen an. 5-mal am Tag füttert er sein Goldstück. Die Reise dauert 6 Tage, wie oft gibt es also Kaviar für den Kleinen? Dazu können wir die Anzahl der Fütterungen pro Tag mal die Anzahl der Tage nehmen. 5 Fütterungen pro Tag mal die Reisezeit von 6 Tagen ergibt die Gesamtzahl der Fütterungen in 6 Tagen. Schau, die Einheit "Tage" findet sich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Sie kürzt sich also weg. In den 6 Tagen isst Monty 30-mal Kaviar. Der muss ihm doch zu den Ohren rauskommen. Fassen wir zusammen. Bei manchen Divisionen mit Einheiten sind die Einheiten unterschiedlich und lassen sich nicht kürzen. Diese Einheiten bleiben dann stehen und bilden zusammen die Einheit des Ergebnisses. Im ersten Beispiel ist aus den Einheiten "Kilometer" und "Stunde", "Kilometer pro Stunde" entstanden. In anderen Fällen lassen sich Einheiten kürzen. Das passiert nur, wenn sich die Einheit sowohl im Zähler als auch im Nenner findet. Im Beispiel mit der Rassel konnte man die Einheit "Stunden" kürzen. Im Beispiel mit dem Kaviar konnte man die Einheit "Tage" kürzen. Endlich haben Charlotte und Gottfried die Reise hinter sich gebracht. Und Oma und Opa können endlich die Kleinen kennenlernen, von denen sie schon so viel gehört haben.

15 Kommentare
  1. Viedeo:12 mal mit der rassel gestillt in 1h .Sie fahren 8h am Tag
    Ich denke mir: wie oft hat sich die Kutsche verfahren?!

    Von E Klattig, vor etwa einem Monat
  2. kaviar🤣🤣🤣

    Von Redaktion. , vor 8 Monaten
  3. #5sterne

    Von Redaktion. , vor 8 Monaten
  4. NNNNNNNNNNNNNNNNNNIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIICCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEEEEEEEEEE

    Von Nico S., vor 11 Monaten
  5. Ok!

    Von Decotrade, vor etwa einem Jahr
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Mit Einheiten rechnen – Division Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Einheiten rechnen – Division kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Geschwindigkeit der Reise.

    Tipps

    Eine Geschwindigkeit gibt an,

    • wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird oder
    • wie viel Zeit für eine bestimmte Strecke benötigt wird.

    „Stunde“ heißt auf Englisch „hour“, was man mit „h“ abkürzen kann.

    Lösung

    Auf ihrer Reise legen Gottfried und Charlotte die ersten $21$ Kilometer in $3$ Stunden zurück. Um die Reisegeschwindigkeit zu berechnen, müssen sie den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit teilen.

    • Eine Geschwindigkeit gibt an, wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird (oder wie viel Zeit man für eine bestimmte Strecke benötigt). Um eine Geschwindigkeit zu berechnen, teilst du also immer eine Strecke durch eine Zeit.
    Ausgedrückt durch eine Gleichung sieht das so aus:

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Weg}}{ \text{Zeit}} $

    Dann setzen sie die Zahlenwerte ein und erhalten:

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{21~ \text{km}}{3~ \text{Stunden}} $

    • Um die Geschwindigkeit zu berechnen, setzt du die Zahlenwerte in die Gleichung ein und rechnest aus.
    Sie schreiben die Gleichung um und rechnen aus:

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{21}{3 }~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}=7~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}$

    Sie wissen, dass man Stunden normalerweise mit $\text{h}$ abkürzt, also beschreiben sie die Reisegeschwindigkeit durch:

    $\text{Geschwindigkeit}=7 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

    • Um sich Schreibarbeit zu sparen, kürzt man Stunden normalerweise mit „$\text{h}$“ (englisch: hour) ab.
  • Berechne die Anzahl der Fütterungen für Monti.

    Tipps

    Um die gesamte Anzahl an Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Fütterungsrate mit der Anzahl der Tage.

    Wenn du dir einen besseren Überblick über die Rechnung verschaffen möchtest, schreibe sie so um, dass Gleiches bei Gleichem steht (also Zahlen bei Zahlen und Einheiten bei Einheiten).

    Lösung

    Die Menge des Kaviars berechnet sich durch:

    $\frac{5~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen}}{\text{Tag}} \cdot 6~ \text{Tage}$

    • Um die gesamte Anzahl der Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Rate der Fütterungen mit der Anzahl der Tage.
    Das kannst du auch schreiben als:

    $ 5 \cdot 6 ~\frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $

    • Um dir einen Überblick über die Rechnung zu verschaffen, ist es immer hilfreich, die Rechnung so umzuschreiben, dass Gleiches bei Gleichem steht.
    Die Zahlen berechnest du zuerst:

    $ 30~ \frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $

    Und schließlich die Einheiten:

    $ 30~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} $

    • In der Mathematik verrechnen wir nämlich am liebsten Gleiches mit Gleichem (hier also Zahlen mit Zahlen und Einheiten mit Einheiten). Diese Rechnungen führen wir schrittweise nacheinander durch.
    Monti bekommt also insgesamt $30$ Portionen Kaviar.

    • Den Antwortsatz nicht vergessen!
  • Entscheide, welche Lösung zu welcher Rechnung gehört.

    Tipps

    Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die eine Strecke durch eine Zeit teilst.

    Längen erhältst du durch Multiplikation einer Geschwindigkeit mit einer Zeit.

    Lösung

    Um die Lösungen zuzuordnen, musst du die Geschwindigkeiten bzw. Längen berechnen. Die Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die Strecke durch die Zeit teilst. Zum Beispiel:

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{ 10~\text{km}}{ 5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

    Die Längen erhältst du durch Multiplikation der Geschwindigkeiten mit den Zeiten. Beispielsweise:

    $\text{Weg}= 5~\frac{ \text{km}}{ \text{h}} \cdot 3~\text{h} =15~\text{m}$

    Damit können den Rechnungen folgende Lösungen zugeordnet werden:

    1) In $5$ Stunden werden $10$ Kilometer zurückgelegt.

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{10~\text{km}}{5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

    2) Du reist $3$ Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von $5 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$.

    $\text{Weg}=5~\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 3~\text{h}=15~\text{km}$

    3) Eine Rakete legt $300$ Meter in $20$ Sekunden zurück.

    $\text{Geschwindigkeit}=\frac{300~\text{m}}{20~\text{s}}=15 ~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

    4) Ein Skateboard rollt $8$ Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von $2~ \frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

    $\text{Weg}=2~\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 8~\text{s}=16~\text{m}$

  • Entscheide, wozu die Rechenschritte gehören.

    Tipps

    Rechne rückwärts, um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören.

    Überlege dir, wie du die Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken kannst. Frage dich also zum Beispiel, durch welche Multiplikation zweier Zahlen du das gegebene Ergebnis erhalten kannst.

    Lösung

    Um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören, rechnen wir rückwärts. Wir überlegen uns also, wie wir die gegebenen Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken können.

    • Zur Lösung $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ gehören:
    $5~\text{m}$ in $3~\text{s}$.

    $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

    $=\frac{5~ \text{m}}{3~ \text{s}}$

    Schreibst du jeweils die Zahlen und Einheiten in einen getrennten Bruch, erhältst du $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

    $\approx 1,66~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

    Das erhältst du durch Berechnen des Bruchs $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

    • Zur Lösung $15~ \text{m}$ gehören:
    $15~ \text{m}$

    $=5~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 3 \text{s}$

    $=5\cdot 3~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$

    $=15~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$

    • Zur Lösung $80~ \text{m}$ gehören:
    $80~ \text{m}$

    $=10~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 8 \text{s}$

    $=10\cdot 8~ \text{m}$

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Einheiten.

    Tipps

    Ein Teiler ist eine Zahl, durch die du eine andere Zahl ohne Rest teilen kannst. $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

    Um einen Bruch aus Einheiten verschwinden zu lassen, kann man beispielsweise folgendes tun:

    $\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs unterschiedliche Einheiten, kann man diese kürzen.
    Wir können immer nur gleiche Einheiten in einem Bruch kürzen. In folgendem Beispiel kann also nur $\text{h}$ gekürzt werden, da es jeweils einmal im Nenner und Zähler vorkommt:

    $\frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}}= \text{km} $

    • Sind Einheiten in einem Bruch gegeben, kann man den Bruch verschwinden lassen, indem man mit dem Zähler des Bruchs multipliziert.
    Um den Bruch verschwinden zu lassen, müssen wir mit der Einheit des Nenners multiplizieren. Zum Beispiel:

    $\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Möchte man zwei Zahlen mit Einheiten verrechnen, verrechnet man Zahlen und Einheiten getrennt.
    In der Mathematik kann man generell nur Gleiches mit Gleichem verrechnen. Deshalb verrechnet man Zahlen und Einheiten getrennt.

    • Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs Zahlen mit gleichen Teilern, kann man diese kürzen.
    Ein Teiler ist eine Zahl, durch die du eine andere Zahl ohne Rest teilen kannst. $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

    • Nur wenn im Nenner und Zähler eines Bruchs gleiche Einheiten stehen, kann man diese kürzen.
    Wie Zahlen, kann man auch Einheiten in Brüchen kürzen. Dabei können allerdings nur gleiche Einheiten gekürzt werden.

  • Erschließe wie man Einheiten umrechnet.

    Tipps

    Die Vorsilbe "Kilo" zeigt immer an, dass die Einheit mit $1000$ multipliziert wurde.

    Lösung

    Folgendes muss in den Lückentext eingesetzt werden:

    • Ein Kilometer entspricht $1000$ Metern.
    • Ein Meter entspricht $\frac{1}{1000}$ Kilometer.
    • Eine Stunde hat $60$ Minuten.
    Eine Stunde hat $3600$ Sekunden, also:

    • Eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}$ Stunde.
    • Die Umrechnung von Meter auf Kilometer lautet:
    $7900 ~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}= 7900 \cdot \frac{1}{1000} ~\frac{\text{km} }{ \text{s}}=7,9 ~\frac{\text{km} }{ \text{s}}$

    • Die Umrechnung von Sekunde auf Stunde lautet:
    $7,9 ~\frac{\text{km} }{ \text{s}} =7,9 \cdot \frac{1}{\frac{1}{3600}} ~\frac{\text{km} }{ \text{h}} =7,9 \cdot 3600~\frac{\text{km} }{ \text{h}}=28440~\frac{\text{km} }{ \text{h}}$

    Um durch einen Bruch zu teilen, muss man mit dem Kehrbruch multiplizieren. Deshalb gilt:

    $ \frac{1}{\frac{1}{3600}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3600}{1} = 3600$

    Allgemein kannst du die eine Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ in die Einheit $\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$ umrechnen, indem du mit dem Faktor $3,6$ multiplizierst.

    $1~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}= \frac{3600}{1000} \frac{ \text{km}}{ \text{h}}= 3,6 \frac{ \text{km}}{ \text{h}}$