Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen

In diesem Video geht es um das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen. Nehmen wir uns mal die Graphen einer Funktion, die stetig und differenzierbar ist. Der Graph hat also keine Lücken und keine Ecken und unterteilen dann die x-Achse mal nach den Monotoniebereichen der Funktion. Also nach monoton wachsend und monoton fallend. So und jetzt schauen wir uns mal an, wie die Tangenten in den verschiedenen Bereichen aussehen. Lege ich hier die Tangente an, dann zeigt die nach oben, und wenn ich in den Bereich von monoton fallend gehe, dann zeigt die Tangente nach unten und im letztem Bereich, egal ob weiter vorn oder hinten, da zeigen die Tangenten wieder nach oben. Nach oben heißt dabei, dass die Steigung der Tangente > 0 ist, und nach unten heißt, dass die Steigung der Tangente < 0 ist. Das wissen wir von Geraden. Und die Steigung der Tangente in einem Punkt ist ja genau die erste Ableitung an dem Punkt. Und da kommt jetzt die Verknüpfung zwischen Ableitung und Monotonie. Sei die Funktion f also stetig auf dem abgeschlossenem Intervall [a;b], und differenzierbar auf dem offenem Intervall [a;b], dann gilt: (Schnell noch eine Skizze) f ist monoton wachsend auf dem Teilintervall [c;d] von [a;b] genau dann, wenn f´(x) >= 0 auf dem ganzem Intervall [c;d]. So, wenn das also c ist, und das d, bedeutet monoton wachsend, dass die Ableitung immer >= 0 ist. So wie wir uns das eben auch überlegt haben. Und wenn die Funktion streng monoton wachsend sein soll, dann muss f´(x) echt größer 0 sein. Und weiter gilt f ist monoton fallend auf dem Teilintervall [c;d] von [a;b] genau dann, wenn f´(x) <= 0 auf dem ganzem Intervall [c;d] ist. So kann man sich das vorstellen. Und die Funktion ist streng monoton fallend, wenn f´(x) < 0 ist. Also die Monotonie einer einer Funktion hängt direkt vom Vorzeichenverhalten der Ableitung ab. Rechnen wir mal ein Beispiel: Für diese ganzrationale Funktion soll man die Monotonieintervalle bestimmen. Die Ableitung ist 3x²-6x-9. Da kann ich die 3 ja noch ausklammern und dann untersuchen wir das Vorzeichenverhalten der Ableitung. Als Erstes bestimmt man die Nullstellen. Die sind hier -1 und 3. So und unsere Ableitung ist eine quadratische Funktion. Die Nullstellen kennen wir schon und nur an diesen Stellen wechselt sie ihr Vorzeichen. Weil so eine Parabel ist erst positiv, dann nullstellig, dann negativ, dann nullstellig und wird dann wieder positiv oder umgekehrt. Und deswegen setzen wir jetzt mal 0 in die Ableitung ein, denn die liegt ja zwischen -1 und 3 und da kommt -3 raus. Das heißt, in dem ganzem Bereich zwischen -1 und 3 hat die Ableitung negative Werte. Ja, und in dem restlichem Bereich muss ja dann positiv sein. Also links von der linken Nullstelle und rechts von der rechten Nullstelle. So und jetzt machen wir noch mal kurz eine Skizze. Das sind die beiden Nullstellen und in dem Bereich zwischen den Nullstellen ist sie fallend und außerhalb davon ist sie steigend. Also sieht sie so aus. Und noch ein Beispiel: Die Funktion lnx:x soll auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden. Definitionsbereich sind nur die positiven, reellen Zahlen und da ist die Funktion auch stetig und differenzierbar. Die Ableitung ist (1-ln(x))/x² und von der untersuchen wir wieder das Vorzeichenverhalten. Dazu bestimmen wir zuerst wieder die Nullstellen der Ableitung. Wir dürfen mit x² multiplizieren, weil x positiv sein muss und da ergibt sich ln(x)=1, also x= die eulersche Zahl e. Wir haben also nur eine Nullstelle, also nur zwei verschiedene Vorzeichenbereiche und welcher wo liegt, kriegen wir durch Einsetzen raus. Ich nehme jetzt hier mal die 1. f´(1)=1 und das ist positiv. Also ist zwischen 0 und e der positive Bereich. f´(x)=0 gilt für x=e und der negative Bereich ist bei x größer als e. So, wenn hier e ist, muss der Graph also ungefähr so aussehen. So, jetzt haben wir also ein relativ einfaches Mittel kennengelernt, die Monotonieintervalle einer differenzierbaren Funktion zu bestimme. Und damit machen wir Schluss.