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Die Autor*innen
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Steve Taube
Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen

Wie bestimmt man die Intervalle, in denen eine bestimmte Funktion monoton fallend beziehungsweise steigend ist? Hast du vielleicht eine Idee? In diesem Video werde ich dir das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen vorstellen. Dieses gibt genaue Auskunft darüber, wann eine differenzierbare Funktion monoton steigend und wann sie fallend ist. Damit du auch dieses Thema verstehst, werde ich dir zuerst das Monotoniekriterium ausführlich vorstellen. Anschließend werden wir dessen Anwendung an zwei Beispielen üben. Schau also genau hin und versuche dich dann auch selbst!

Transkript Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen

In diesem Video geht es um das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen. Nehmen wir uns mal die Graphen einer Funktion, die stetig und differenzierbar ist. Der Graph hat also keine Lücken und keine Ecken und unterteilen dann die x-Achse mal nach den Monotoniebereichen der Funktion. Also nach monoton wachsend und monoton fallend. So und jetzt schauen wir uns mal an, wie die Tangenten in den verschiedenen Bereichen aussehen. Lege ich hier die Tangente an, dann zeigt die nach oben, und wenn ich in den Bereich von monoton fallend gehe, dann zeigt die Tangente nach unten und im letztem Bereich, egal ob weiter vorn oder hinten, da zeigen die Tangenten wieder nach oben. Nach oben heißt dabei, dass die Steigung der Tangente > 0 ist, und nach unten heißt, dass die Steigung der Tangente < 0 ist. Das wissen wir von Geraden. Und die Steigung der Tangente in einem Punkt ist ja genau die erste Ableitung an dem Punkt. Und da kommt jetzt die Verknüpfung zwischen Ableitung und Monotonie. Sei die Funktion f also stetig auf dem abgeschlossenem Intervall [a;b], und differenzierbar auf dem offenem Intervall [a;b], dann gilt: (Schnell noch eine Skizze) f ist monoton wachsend auf dem Teilintervall [c;d] von [a;b] genau dann, wenn f´(x) >= 0 auf dem ganzem Intervall [c;d]. So, wenn das also c ist, und das d, bedeutet monoton wachsend, dass die Ableitung immer >= 0 ist. So wie wir uns das eben auch überlegt haben. Und wenn die Funktion streng monoton wachsend sein soll, dann muss f´(x) echt größer 0 sein. Und weiter gilt f ist monoton fallend auf dem Teilintervall [c;d] von [a;b] genau dann, wenn f´(x) <= 0 auf dem ganzem Intervall [c;d] ist. So kann man sich das vorstellen. Und die Funktion ist streng monoton fallend, wenn f´(x) < 0 ist. Also die Monotonie einer einer Funktion hängt direkt vom Vorzeichenverhalten der Ableitung ab. Rechnen wir mal ein Beispiel: Für diese ganzrationale Funktion soll man die Monotonieintervalle bestimmen. Die Ableitung ist 3x²-6x-9. Da kann ich die 3 ja noch ausklammern und dann untersuchen wir das Vorzeichenverhalten der Ableitung. Als Erstes bestimmt man die Nullstellen. Die sind hier -1 und 3. So und unsere Ableitung ist eine quadratische Funktion. Die Nullstellen kennen wir schon und nur an diesen Stellen wechselt sie ihr Vorzeichen. Weil so eine Parabel ist erst positiv, dann nullstellig, dann negativ, dann nullstellig und wird dann wieder positiv oder umgekehrt. Und deswegen setzen wir jetzt mal 0 in die Ableitung ein, denn die liegt ja zwischen -1 und 3 und da kommt -3 raus. Das heißt, in dem ganzem Bereich zwischen -1 und 3 hat die Ableitung negative Werte. Ja, und in dem restlichem Bereich muss ja dann positiv sein. Also links von der linken Nullstelle und rechts von der rechten Nullstelle. So und jetzt machen wir noch mal kurz eine Skizze. Das sind die beiden Nullstellen und in dem Bereich zwischen den Nullstellen ist sie fallend und außerhalb davon ist sie steigend. Also sieht sie so aus. Und noch ein Beispiel: Die Funktion lnx:x soll auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden. Definitionsbereich sind nur die positiven, reellen Zahlen und da ist die Funktion auch stetig und differenzierbar. Die Ableitung ist (1-ln(x))/x² und von der untersuchen wir wieder das Vorzeichenverhalten. Dazu bestimmen wir zuerst wieder die Nullstellen der Ableitung. Wir dürfen mit x² multiplizieren, weil x positiv sein muss und da ergibt sich ln(x)=1, also x= die eulersche Zahl e. Wir haben also nur eine Nullstelle, also nur zwei verschiedene Vorzeichenbereiche und welcher wo liegt, kriegen wir durch Einsetzen raus. Ich nehme jetzt hier mal die 1. f´(1)=1 und das ist positiv. Also ist zwischen 0 und e der positive Bereich. f´(x)=0 gilt für x=e und der negative Bereich ist bei x größer als e. So, wenn hier e ist, muss der Graph also ungefähr so aussehen. So, jetzt haben wir also ein relativ einfaches Mittel kennengelernt, die Monotonieintervalle einer differenzierbaren Funktion zu bestimme. Und damit machen wir Schluss.

7 Kommentare
7 Kommentare
  1. Hallo Juergen,
    ich verstehe die Frage nicht ganz.
    Wenn die Funktion differenzierbar ist und die Ableitung an einer Stelle x0 einen Vorzeichenwechsel hat, dann ist es sicher, dass sich dort ein lokales Extremum befindet. Umgekehrt wenn die differenzierbare Funktion ein lokales Extremum hat, dann muss ihre Ableitung einen Vorzeichenwechsel haben. Ich bin mir nicht sicher, wo deine Zweifel sind. Meinst du vielleicht Sattelpunkte? Das sind ja keine Extrempunkte. Vielleicht kannst du nochmal genauer sagen, was du meinst.
    Viele Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  2. Wenn man die Art des Extremums kennt, heißt dass doch nicht sofort dass ein eindeutiger Vorzeichenwechsel stattfinden muss. Weil es gibt ja solche Funktionen, was bedeuted das aber für das Steigungsverhalten einer Funktion ?

    Von Amend Juergen, vor fast 5 Jahren
  3. Hallo Rpinilla99,
    man untersucht ja, in welchen Bereichen die Ableitung positiv ist und in welchen sie negativ ist. Genau an den "Übergangsstellen" ist sie Null. Es reicht also, diese Übergangsstellen zu finden oder anders gesagt, die Nullstellen der Ableitung. Die Ableitung aus deiner Frage ist 3. Grades, d.h. man kann die Nullstellen erstmal nicht mit der pq-Formel finden. Man muss zuerst x ausklammern:
    f'(x) = x^3-x^2-2x = x (x^2-x-2). Das setzen wir gleich 0. Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. D.h. entweder wenn x = 0 ist oder wenn die Klammer = 0 ist. Damit haben wir die erste Nullstelle, nämlich x = 0. Die 2. und 3. erhalten wir, indem wir die pq-Formel auf den Term in der Klammer anwenden. Das ergibt -1 und 2 als weitere Nullstellen der Ableitung. Die drei Nullstellen definieren nun 4 Bereiche, in denen die Monotonie bestimmt werden muss: links von -1: setze z.B. -2 in f'(x) ein. f'(-2) = -8 also ist f (x) monoton fallend für alle x < -2. Der Bereich zwischen -1 und 0: f'(-0,5) = 5/8. Also ist f monoton steigend im Intervall (-1;0). Der Bereich zwischen 0 und 2... Den Rest schaffst du allein.

    Viel Erfolg.

    Von Steve Taube, vor mehr als 6 Jahren
  4. Hallo Tutor,
    Ich würde gern wissen, wie mann die Monotonie bei einer Ableitung mit drei x bestimmen kann.
    Beispiel: f'(x)=x^3-x^2-2x
    Es ist von der Karte #36, aber ich habe die Erklärung von dieser nicht verstanden.
    Danke!

    Von Rpinilla99, vor mehr als 6 Jahren
  5. Hallo Diana,
    zuerst zur Ableitung der Funktion mit ln(x). Ich habe dies nicht genau erläutert, weil es ja in dem Video nicht um die Ableitungsregeln geht. Wenn du Ableitungen übern möchtest, dann schaue dir die entsprechenden Videos an. Du musst die Quotientenregel anwenden:
    f(x) = ln(x) / x = u(x) / v(x), also u(x) = ln(x) und v(x) = x
    f'(x) = [u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)]/v²(x)
    = [1/x * x - ln(x)*1]/x² = [1-ln(x)]/x²

    Nun zu den Nullstellen:
    Auch hier habe ich vorausgesetzt, dass man schon Nullstellen bestimmen kann und dies selber nachvollziehen kann. Ich erkläre es dir aber nochmal:
    Die 3 ist zwar eine Nullstelle, aber dies gilt auf KEINEN FALL, weil die 3 ausgeklammert wurde. Eine ausgeklammerte Zahl sagt nichts über Nullstellen aus. x1 = 0 ist auch falsch.
    [Was du vielleicht meinst: Wenn man x ausklammern könnte, dann WÄRE 0 eine Nullstelle, aber das kann man hier nicht.]
    Um die Nullstellen von 3(x²-2x-3) zu bestimmen, muss man nur die Nullstellen von x²-2x-3 bestimmen, denn die 3 kann nicht 0 werden. x²-2x-3 = 0 löst man mit der pq-Formel: p = -2, q = -3.
    x1,2 = -(-2/2) +- Wurzel(1² - (-3)) = 1 +- Wurzel(4)= 1 +- 2.
    Also x1 = -1, x2 = 3.
    Da also 0 gar keine Nullstelle ist, musst du sie auch nicht berücksichtigen. Zur Probe kannst du auch 0 in die Funktion einsetzen, um zu sehen, dass dies keine Nullstelle ist.
    Viel Spaß und Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor fast 9 Jahren
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