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Negative Zahlen oder Null als Exponent 04:15 min

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Transkript Negative Zahlen oder Null als Exponent

Im Land der zwei Königreiche spielen sich die Könige Karl der Vierte und Frederick der minus Dritte sehr gerne Streiche. König Karl hat ein Paket von seinem Widersacher bekommen. Ist es ein Geschenk oder ein Streich? Es ist ein Gemälde. Potzblitz, welch Frechheit! Und dennoch: Um den Frieden zu wahren, muss Karl das Gemälde an einer auffälligen Stelle aufhängen. Eine verfahrene Situation. Darum ruft er nach Oswald, seinem Hofmathemagier. Oswald hat die Lösung. Er wird das Gemälde schrumpfen. Aus seiner Trickkiste wählt er einen geheimnisvollen Trank und lässt die Magie ihre Arbeit tun. Oh je! Der Schrumpftrank hat nur in einer Dimension gewirkt. Sieh dir den Schlamassel an. Aber Oswald erkennt seinen Fehler und kramt einen neuen Trank hervor; dieses Mal will er das Gemälde proportional um den Faktor 10^-5 schrumpfen. 10^-5!? Ein negativer Exponent kann verwirren. Aber das kriegen wir hin. Unsere Potenz lautet 10^-5. Das können wir als Bruch schreiben. In den Nenner schreibst du die Potenz, allerdings hoch dem Betrag des Exponenten, also 105. Und was kommt in den Zähler? 1. Vereinfache den Bruch. Siehst du, was passiert, wenn du eine Potenz mit positivem Exponenten im Nenner eines Bruches hast? Der Wert des Bruches wird immer kleiner. 10^-5 ist gleich 1/100.000. Oswald ist offenbar auf der richtigen Fährte. Schau dir dieses Beispiel an: 2^-4. Um das in Form eines Bruches zu schreiben, setzt du 24 in den Nenner und 1 in den Zähler. Dann vereinfachst du. 2^-4 ist gleich 1/16. Und was, wenn die Basis eine Variable ist? Du kannst x^-4 als Bruch schreiben, indem du x4, also x mal x mal x mal x, in den Nenner schreibst und 1 in den Zähler. Vereinfacht ergibt das dann 1/x4. Hier die Regel für Potenzen mit negativen Exponenten: x^-a = 1/xa. Nicht vergessen: x darf nicht 0 sein. Aber wieso funktioniert das so? Schauen wir uns dazu eine andere Regel an. Sie lautet: Jede Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt 1. Zum Beispiel 10 = 1. 20 = 1 und 30 = 1, und so weiter. Die Regel lautet: Jede Potenz mit der Basis x und dem Exponenten 0 ergibt 1 unter der Bedingung, dass x ungleich 0 ist. Zurück zum Beispiel: 2^-4 ist als Bruch ½4. Und das ist das Gleiche wie 20 durch 24. Das kann man umformen zu 20-4, was 2^-4 ergibt. Und damit sind wir wieder da angekommen, wo wir angefangen haben. So kann man das viel einfacher verstehen. König Karl hat das Gemälde aufhängen lassen. Aber wo ist es denn? Ah, da. Dank Oswald muss der König keinen Gedanken mehr daran verschwenden und kann sich stattdessen eine neue Gemeinheit für König Frederick ausdenken.

4 Kommentare
  1. Danke für das tolle Video!

    Von Petra K., vor etwa 2 Monaten
  2. cool

    Von Sybillewiedemann, vor 10 Monaten
  3. Super Video und echt gut erklärt :-)

    Von Jonas Nelly b., vor etwa einem Jahr
  4. Gut erklärt

    Von Endhero75, vor mehr als einem Jahr

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Potenzen mit negativen Exponenten (1 Videos)

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Negative Zahlen oder Null als Exponent Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Negative Zahlen oder Null als Exponent kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du Potenzen mit negativen Exponenten ausrechnen kannst.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel zu Potenzen mit negativen Exponenten an:

    • $10^{-5} = \frac {1}{10^5} = \frac {1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$
    Die Potenz mit negativem Exponenten wandert also als Potenz mit positivem Exponenten in den Nenner eines Bruches mit $1$ im Zähler. Dann kannst du den Nenner einfach ausrechnen, indem du die Regeln zum Berechnen von Potenzen benutzt.

    Denk immer daran: Durch $0$ kann man nicht teilen – da gibt es also kein definiertes Ergebnis!

    Lösung

    Generell solltest du, um Lückentexte auszufüllen, dir immer erst einmal den Text ganz durchlesen. Meistens findest du dann schon Lücken, die du direkt ausfüllen kannst.

    Ein positiver Exponent bei einer Potenz gibt an, wie oft du die Basis der Potenz mit sich selbst multiplizieren musst.

    Bei negativen Exponenten musst du zunächst die Basis hoch den positiven Exponenten in den Nenner eines Bruches schreiben, der eine $1$ im Zähler hat.

    Beispielsweise kannst du für $2^{-4}$ also erst den Bruch $\dfrac 1 {2^4}$ aufstellen. Anschließend rechnest du den Nenner wie gewohnt aus:

    $\dfrac 1 {2^4} = \dfrac 1 {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac 1 {16}$

    Genauso gehst du bei $10^{-5}$ vor.

    Allgemein musst du besonders darauf achten, dass die Basis bei negativen Exponenten niemals $0$ sein darf, da du sonst ja durch $0$ teilen würdest – und das ist undefiniert, man kann dafür keinen sinnvollen Wert angeben.

    Wenn aber $x \neq 0$ ist, kannst du $x^{-a}$ für eine positive Zahl $a$ ausrechnen (achte auf das Minus vor dem $a$, dadurch ist der Exponent negativ!):

    $x^{-a} = \dfrac 1 {x^a}$.

  • Bestimme die jeweiligen Potenzwerte.

    Tipps

    Es gilt $x\neq 0$, weil die Division durch $0$ nicht definiert ist.

    Allgemein gilt:

    $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

    Dabei ist $a\neq 0$.

    Jede Potenz mit einer Basis ungleich $0$ und einem Exponenten gleich $0$ hat den Potenzwert $1$.

    Lösung

    Die Potenz $a^n$ mit $n>0$ ist die abkürzende Schreibweise für die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst. Dabei ist der Faktor $a$ die Basis der Potenz und $n>0$ der Exponent. Es gilt also:

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$

    Was ist aber nun, wenn $n=0$ ist?

    Jede Potenz mit einer Basis ungleich Null, also $a\neq 0$ und einem Exponenten gleich Null, also $n=0$ hat den Potenzwert $1$. Es gilt also:

    $a^0=1$ mit $a\neq 0$

    Ist der Exponent negativ, also $-n<0$ und die Basis $a\neq 0$, so gilt:

    $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

    Der Potenzwert ist also ein Bruch mit $1$ im Zähler und der Potenz mit positivem Exponenten im Nenner. Demnach erhalten wir für die gegebenen Potenzen folgende Potenzwerte:

    $2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{16}$

    $x^{-4}=\frac{1}{x^4}=\frac{1}{x\cdot x\cdot x\cdot x}=\frac{1}{x^4}$

    $10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}=\frac{1}{100000}$

    $x^{0}=1$

  • Ermittle die größte Potenz.

    Tipps

    Zum Beispiel ist $2^{-1} = \frac 1 2$.

    Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner besitzt.

    Als Regel könntest du dir also merken: Bei gleicher (positiver) Basis ist die Potenz umso kleiner, je weiter links auf dem Zahlenstrahl der Exponent steht.

    Umgekehrt ist bei gleichem negativen Exponenten die Potenz umso kleiner, je weiter rechts auf dem Zahlenstrahl die Basis steht.

    Lösung

    Als erstes solltest du die Potenzen alle in Brüche umwandeln.

    Dabei musst du immer daran denken, dass $x^{-a} = \frac 1 {x^a}$ ist, wenn $x$ eine beliebige Zahl außer der $0$ ist. Also stehen in der ersten Zeile:

    • $2^{-1} = \frac 1 2$
    • $2^0 = 1$
    • $2^2 = 4$
    Die bringst du jetzt in die richtige Reihenfolge:

    $\frac 1 2~<~1~<~4$

    Genauso gehst du in der zweiten Zeile vor. Hier brauchst du außerdem noch, dass $x^0 = 1$ gilt, solange $x$ nicht $0$ ist. In der Zeile stehen folgende Potenzen:

    • $3^{-2} = \frac 1 {3^2} = \frac 1 9$
    • $3^{-1} = \frac 1 {3^1} = \frac 1 3$
    • $3^0 = 1$
    • $3^1 = 3$
    Somit folgt:

    $3^{-2} < 3^{-1} < 3^0 < 3^1$

    Es war also in diesen beiden Zeilen immer die Reihenfolge der Potenzen die gleiche wie die aufsteigende Reihenfolge der Exponenten!

    Das kannst du dir merken! Bei gleicher (positiver) Basis ist die Potenz umso kleiner, je kleiner der Exponent ist – also, je weiter links er auf der Zahlengeraden steht.

    In der dritten und letzten Zeile tauchen jetzt auch Potenzen mit verschiedener Basis auf. Darauf musst du also achten!

    Die Potenzen dort sind:

    • $3^{-1} = \frac 1 3$
    • $2^{-1} = \frac 1 2$
    • $2^0 = 1$
    • $3^1 = 3$
    Weil $\frac 1 3$ kleiner ist als $\frac 1 2$, lautet die richtige Reihenfolge:

    $3^{-1} < 2^{-1} < 2^0 < 3^1$

    Es gilt also: Bei gleichem negativen Exponenten ist diejenige Potenz kleiner, deren Basis weiter rechts auf dem Zahlenstrahl steht; also, wo die Basis größer ist.

  • Bestimme die Exponenten.

    Tipps

    Wandle die Potenzen in Brüche um.

    Zu jedem Bruch gehört ein Bild, das passend geschrumpft wurde.

    Ist ein Bild nur noch halb so groß wie das Original, wurde es mit dem Faktor $2^{-1} = \frac 1 2$ geschrumpft.

    Lösung

    Zunächst solltest du jede Potenz in einen Bruch umwandeln.

    Dazu benutzen wir folgende Regeln:

    $~a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ mit $a\neq 0$ und $n>0$

    Damit erhalten wir folgende Brüche:

    $2^{-1} = \frac 1 2~$ Wir suchen ein Bild, das auf die Hälfte der Ursprungsgröße geschrumpft wurde.

    $4^0 = 1~$ Das zugehörige Bild hat immer noch die Originalgröße.

    $3^{-2} = \frac 1 {3^2} = \frac 1 9~$ Hier brauchen wir also ein Bild, das auf ein Neuntel geschrumpft wurde.

    $2^{-3} = \frac 1 {2^3} = \frac 1 8~$ Wir brauchen ein Bild, das auf ein Achtel seiner Ausgangsgröße geschrumpft ist.

    $4^{-1} = \frac 1 4~$ Das Bild entspricht also einem Viertel der Originalgröße.

  • Benenne die Glieder des jeweiligen Terms.

    Tipps

    Die Hochzahl bei einer Potenz nennt man Exponent.

    Wenn der Exponent kleiner ist als $0$, ist er negativ.

    Was in einer Potenz unten steht, ist die Basis.

    Potenzen mit negativen Exponenten rechnet man aus, indem man $1$ durch die Potenz mit positivem Exponenten teilt.

    Lösung

    Die Basis einer Potenz ist diejenige Zahl, die hoch den Exponenten genommen wird.

    Hier ist die Basis $2$.

    Der Exponent ist bei uns $-4$. Das ist kleiner als $0$ und damit negativ!

    Die Regel zum Berechnen von Potenzen mit negativen Exponenten lautet:

    Eine Potenz mit negativem Exponenten rechnet man aus, indem man $1$ durch die Potenz mit positivem Exponenten teilt.

    Und das ist hier $\dfrac 1 {2^4}$.

  • Erschließe die Regel zum Rechnen mit ganzzahligen Exponenten.

    Tipps

    Bei Potenzen mit positiven Exponenten entspricht eine Summe im Exponenten dem Produkt der Potenzen:

    $x^{a+b} = x^a \cdot x^b$.

    Und $x^0=1$ gilt für alle $x$ außer der $0$. Diese Regeln zusammen können so auf ganze Zahlen als Exponenten erweitert werden, dass sie zusammen immer noch funktionieren.

    Lösung

    Du kannst den Lückentext wie folgt vervollständigen:

    „Du weißt, dass eine Potenz mit negativem Exponenten ausgerechnet wird, indem du $1$ durch die Potenz mit dem Betrag des Exponenten teilst, als Gleichung:

    $x^{-a} =\dfrac 1 {x^a}$, solange $x \neq 0$ und $a \gt 0$.

    Der Begriff Betrag ist dabei nicht ganz richtig und wir wollen die Regel auch auf Fälle erweitern, bei denen der Exponent ein beliebiges Vorzeichen haben kann.

    Wir überlegen uns daher gemeinsam, wie du $x^{-n}$ ausrechnest, wenn $n \lt 0$ gilt, also $n$ eine negative Zahl ist.“

    • Möchten wir eine Potenz mit negativem Exponenten, wie beispielsweise $2^-2$ berechnen, so teilen wir $1$ durch die Potenz mit dem Betrag des Exponenten, also $\dfrac 1{2^2}$. Wie können wir aber eine allgemeingültige Definition für die Potenz $x^{-a}$ mit $a\in \mathbb{R}$ formulieren?
    „Um unsere Überlegung anstellen zu können, brauchen wir, dass $x^0 =1$ für alle Zahlen $x$ außer der $0$ gilt.

    Jetzt rechnen wir an einem Beispiel:

    $2^{-2} = \dfrac 1 {2^2}$“.

    • Merke dir: Jede Zahl außer der Null mit dem Exponenten $0$ ergibt $1$.
    „Wenn du jetzt $2^{-2}$ mit $2^1$ multiplizierst, findest du als Ergebnis: $~2^{-2} \cdot 2^1 =\dfrac{1}{2^2}\cdot 2=\dfrac{2}{2\cdot 2}= \dfrac 1 2$.

    Es ist also: $~2^{-2} \cdot 2^1 =2^{-1}$.

    Demnach lautet offenbar eine Rechenregel:

    $x^{-a} \cdot x^b = x^{-a +b}$ für Zahlen $x\neq 0$ und $a,b \geq 0$.“

    • Bei Potenzen mit positiven Exponenten entspricht eine Summe im Exponenten dem Produkt der Potenzen: $~x^{a+b} = x^a \cdot x^b$
    „Damit kannst du dir jetzt überlegen, was $x^{-n}$ ist, wenn $n \lt 0$ gilt. Da $x^0=1$ für alle $x$ außer Null gilt, folgt:

    $x^{-n} \cdot x^{n} =1$.

    Teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch $x^n$, so erhalten wir:

    $x^{-n} = \dfrac 1 {x^n}$.

    Die allgemeine Regel für beliebige ganzzahlige Exponenten $a \in \mathbb Z$ und der Basis $x\neq 0$ lautet also:

    $x^{-a} = \dfrac 1 {x^a}$.

    Durch eine Potenz zu teilen ist das Gleiche, wie mit der Potenz zu multiplizieren und in ihrem Exponenten das Vorzeichen zu wechseln.