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Stammfunktion – Definition

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Stammfunktion – Definition
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Beschreibung Stammfunktion – Definition

Inhalt

Was ist eine Stammfunktion?

In Mathe hast du bestimmt schon die Ableitung einer Funktion kennengelernt. In diesem Video erklären wir dir, was die Stammfunktion einer Funktion ist. Berechnest du die Ableitung, so ist eine Funktion $f$ gegeben und ihre Ableitung gesucht. Bei der Frage nach einer Stammfunktion ist es umgekehrt: Die Ableitung ist gegeben und die Funktion ist gesucht. Die Ableitung einer Funktion $f$ bezeichnen wir mit $f^{\prime}$. Für die Stammfunktion einer Funktion $f$ verwendet man üblicherweise den Buchstaben $F$.

Stammfunktion – Definition

Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion $f$ ist eine Funktion $F$, deren Ableitung die Funktion $f$ ist. Als Formel können wir das so schreiben:

$F'(x) = f(x)$

Bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion $f$ gibt es nur eine richtige Lösung – vorausgesetzt, die Funktion $f$ ist differenzierbar. Bei der Bestimmung einer Stammfunktion $F$ gibt es nie nur eine richtige Lösung: Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$, so ist auch $F(x)+c$ eine Stammfunktion von $f$. Hierbei ist $c \in \mathbb R$ eine konstante reelle Zahl. Dass das so ist, können wir direkt nachrechnen. Berechnen wir die Ableitung der Funktion $F(x)+c$, so erhalten wir:

$(F(x) + c)^{\prime} = F^{\prime}(x) + c^{\prime} = F^{\prime}(x) +0 = F^{\prime}(x) = f(x)$

Denn die Ableitung einer konstanten Zahl ist stets null: $c^{\prime} = 0$


Graphische Darstellung der Ableitungsfunktion

Im Koordinatensystem kannst du die Ableitung einer Funktion $f$ als Funktionsgraph darstellen. Dazu liest du an jedem Punkt $x$ den Wert der Steigung von $f$ ab und trägst diesen Wert als Funktionswert der Ableitung $f^\prime(x)$ ein. An jeder Stelle $x$, an der die Funktion $f$ ansteigt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ positiv. An Stellen, an denen $f$ eine horizontale Tangente hat, hat $f^{\prime}$ eine Nullstelle. Und an allen Stellen $x$, an denen $f(x)$ abfällt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ negativ. Zeichnen wir zu dem Funktionsgraphen von $f(x)$ noch die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)+2$ und $f(x)-3$, so finden wir bei allen drei Funktionen dieselbe Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$. Denn die Funktionen $f(x)$ sowie $f(x)+2$ und $f(x)-3$ unterscheiden sich nur durch die Addition konstanter reeller Zahlen. Alle diese Funktionen sind Stammfunktionen der Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$.

Graphische Darstellung der Stammfunktionen

Zu einer gegebenen Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$ zu zeichnen, ist schwieriger. Dazu musst du an jeder Stelle $x$ den Funktionswert $F(x)$ so einzeichnen, dass die Steigung des Funktionsgraphen von $F$ an der Stelle $x$ genau dem Funktionswert $f(x)$ entspricht. Du kannst dich aber an den Nullstellen der Funktion $f$ orientieren: Ist $f(x) =0$, so hat jede Stammfunktion an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente. Ist die Funktion $f$ links der Nullstelle positiv, so steigt jede Stammfunktion $F$ dort an. Ist $f$ rechts der Nullstelle negativ, so fällt jede Stammfunktion dort ab. Ändert sich die Funktion $f$ kaum noch, so ist auch jede Stammfunktion fast konstant. Auf diese Weise kannst du Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Funktion $f$ zeichnen.

Stammfunktionen

Hast du eine Stammfunktion $F(x)$ gefunden, so sind auch die Funktion $F(x)+2$ und die Funktion $F(x)-3$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$. Die Stammfunktion $F(x)$ ist also nicht eindeutig bestimmt durch die Funktion $f(x)$ – jede konstante Verschiebung in $y$-Richtung des Funktionsgraphen einer Stammfunktion $F$ ergibt eine neue Stammfunktion.

Eine vergleichbare Beobachtung kennst du bestimmt aus dem Alltag: Wenn du einen Berg hinaufsteigst, kannst du die Steigung direkt spüren – aber nicht die genaue Höhe. Ob du zwei Meter höher oder drei Meter tiefer bist, kannst du nicht unmittelbar feststellen. Die tatsächliche Höhe hängt auch davon ab, wo der Nullpunkt der Höhenskala liegt – die Steigung hängt davon nicht ab, sondern lässt sich unmittelbar beobachten. Die Steigung entspricht in diesem Beispiel der vorgegebenen Funktion $f(x)$, die tatsächliche Höhe, auf einer geeigneten Skala gemessen, ist eine Stammfunktion $F(x)$.

Wozu braucht man Stammfunktionen?

Die wichtigste Anwendung von Stammfunktionen wird im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formuliert: Das bestimmte Integral einer Funktion $f$ ist die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion $F$ an den Integralgrenzen:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Zur Berechnung von Stammfunktionen gibt es verschiedene Regeln – analog zu den Ableitungsregeln für Funktionen. Diese Regeln werden dir in anderen Videos erklärt.

Das Video zu Stammfunktionen

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was eine Stammfunktion ist. Du erfährst, wie die Stammfunktion mit der Ableitung zusammenhängt und wie verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion aussehen. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt.

Transkript Stammfunktion – Definition

Hallo! Es geht um Stammfunktionen und da müssen wir natürlich als erstes Mal wissen, was ist überhaupt eine Stammfunktion und deshalb kommt hier die Definition. Wir haben eine Funktion f(x). Das ist zunächst mal irgendeine Funktion. Nebenbei bemerkt, für die Leute, die die Materie kennen, das muss hier jetzt keine integrierbare Funktion sein oder so was. Das ist jetzt wirklich irgendeine beliebige Funktion hier in dieser Definition von Stammfunktionen. Also, eine Stammfunktion, die gleich hier erscheinen wird, dieser Funktion f(x) ist eine Funktion, deren Ableitung f(x) ist. Die Frage ist: Warum habe ich jetzt hier keine Funktion hingeschrieben? Es gibt ein Formulierungsproblem dabei, und zwar werden Stammfunktionen normalerweise so geschrieben, also F(x). So werden Stammfunktionen geschrieben, und damit man die beiden jetzt auch in der Formulierung unterscheiden kann, nennt sich diese Funktion klein f von x und diese Funktion groß F von x. Da wir das jetzt wissen, kann ich also den Satz noch mal richtig formulieren. Eine Stammfunktion einer Funktion klein f(x), ist eine Funktion F(x), deren Ableitung gleich f(x) ist. Ja, das ist die Definition. Jetzt siehst du, dass ich hier noch einen Platz gelassen habe. Warum habe ich das gemacht? Weil es nämlich zu jeder Funktion klein f(x) mehrere Stammfunktionen gibt, vorausgesetzt, das muss man jetzt dazu sagen, es gibt überhaupt eine. Also, wenn es eine Funktion groß F(x) gibt, die Stammfunktion von klein f(x) ist, dann gibt es auch gleich mehrere Funktionen, deren Ableitung gleich klein f(x) ist, nämlich alle Funktionen der Form (F(x) + C). Das ist jetzt hier ein großes C, manchmal wird das C auch kleingeschrieben oder es steht da ein k, also das steht für irgendeine Zahl. C Element R, irgendeine Zahl, völlig egal. Wie kann man das verstehen? Nun, wenn wir jetzt hier diese Funktion (F(x) + C) ableiten, dann gehen wir nach Summenregel vor. Wir leiten F(x) ab, das ist f(x), das wissen wir schon laut Voraussetzung und wir leiten dann auch noch C ab. C ist abgeleitet gleich 0, eine konstante Funktion, nicht wahr, hat die Ableitung 0 und dann könnte ich hier jetzt noch + 0 dazuschreiben. Das lässt man aber normalerweise weg und ja, wegen der Ableitungsregeln ist also jede Funktion der Form (F(x) + C) eine Stammfunktion von klein f(x), falls die Ableitung von groß F(x) klein f(x) ist. Kurz zur Veranschaulichung dieser verschiedenen Funktionen: Ich nehme mal hier ein Koordinatensystem und bastel mir irgendeine Funktion da rein. Die soll zum Beispiel so ungefähr verlaufen und dann habe ich hier unten die Ableitung der Funktion und da kann ich von der Ableitung sprechen, denn diese Funktion hat eine einzige Ableitung oder eine einzige Ableitungsfunktion genauer gesagt. Üblicherweise sagt man ja Ableitung. Wie sieht die ungefähr aus? Hier steigt die Funktion bis hier, ja? Da ist die Ableitung 0, die Funktion steigt, das heißt, die Ableitung ist positiv. Die Ableitung geht gegen 0, und zwar hier, wo die Funktion nicht mehr steigt und hier fällt die Funktion, hier fällt sie am stärksten und da fällt sie nicht mehr so stark. So, da ist sie fast 0. Die Ableitung ist fast 0 und hier fällt sie noch immer ein bisschen. So, das ist also die Ableitung dieser Funktion mal eben grafisch hier hingeschludert. Und jetzt wissen wir aber auch, wenn wir eine andere Funktion hier reinzeichnen, nämlich diese hier, so ungefähr, dann hat diese Funktion hier die gleiche Ableitung und ich kann noch eine da drübersetzen. Diese Funktion hat ebenfalls diese Ableitung hier. Ja, es ist nicht ganz genau geworden, man muss das hier ein bisschen schmaler machen. Also, alle diese Funktionen haben diese Ableitung, und wenn wir jetzt einfach sagen, das ist hier unser klein f(x) und wir suchen also zu diesem klein f(x) eine Funktion groß F(x), dann finden wir immer gleich mehrere, nämlich hier (F(x) + C). Ja, jetzt könnte ich hier dran schreiben (F(x) + C1), + C2 + C3, aber ich glaube es ist klar geworden. Es gibt mehrere Funktionen, deren Ableitungen gleich f(x) sind. Anderes Beispiel noch, vielleicht kennst du es aus dem Alltag, wenn du mal einen Berg hinaufläufst, dann kannst du unmittelbar feststellen, wie stark die Steigung ist. Das merkst du ja, wenn du läufst, aber du kannst nicht unmittelbar feststellen, wie hoch du bist, ja? Und das ist bei den Stammfunktionen genau so. Wenn wir diese Funktion kennen, dann wissen wir auch genau, welche Steigung diese Stammfunktionen jeweils haben. Wir wissen aber nicht in welcher Höhe sie sich befinden. Das ist jetzt nicht ganz mathematisch exakt, aber zur Vorstellung, glaub ich, ist das irgendwie ganz nett. Warum beschäftigt man sich überhaupt mit Stammfunktionen? Da gibt es mehrere Gründe. Ein ganz gewichtiger Grund ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Der lautet ja so, wir möchten das bestimmte Integral bilden in den Grenzen von a bis b, und zwar das Integral der Funktion f(x). Und dieses Integral können wir einfach bestimmen, indem wir erst die obere Grenze b in eine Stammfunktion von f(x) einsetzen und dann die gleiche Stammfunktion noch mal hinschreiben und a einsetzen und diesen Funktionswert F(a) von dem Funktionswert F(b) abziehen. Das heißt also ein zentraler Punkt der Integralrechnung ist das Finden von Stammfunktionen. Wenn man nämlich zu f(x) eine Stammfunktion gefunden hat, dann kann man lauter bestimmte Integrale berechnen und noch viel mehr damit machen. Deshalb ist das ein Thema unter anderem und deshalb wird das in der Schule gemacht. Und nur zum Ausblick, wie es weitergeht: Du musst demnächst nicht die Stammfunktion erraten, sondern da gibt es Regeln für. Da sind so ein paar davon und das zeige ich dann in den nächsten Filmen, wie man damit umgeht. Viel Spaß! Bis bald! Tschüss!  

Stammfunktion – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stammfunktion – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was man unter einer Stammfunktion versteht.

    Tipps

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$. Dies ist die Konstantenregel der Differentiation.

    Merke Dir: Um nachzuweisen, ob eine Funktion Stammfunktion ist, musst du diese ableiten.

    Zum Beispiel ist $2x$ eine Stammfunktion von $2$.

    Lösung

    Was ist eine Stammfunktion?

    Gegeben ist eine Funktion $f(x)$.

    Eine Stammfunktion dieser Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung die Funktion $f(x)$ ist.

    Stammfunktionen werden normalerweise mit dem entsprechenden Großbuchstaben geschrieben und somit gilt

    $F'(x)=f(x)$.

    Wenn eine Funktion $f(x)$ integrierbar ist, also eine Stammfunktion hat, dann hat sie gleich unendlich viele Stammfunktionen:

    $(F(x)+C)'=f(x)$,

    da die Ableitung der Konstanten $C$ $C'=0$ ist.

    Diese Konstante wird als Integrationskonstante bezeichnet.

  • Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wieder.

    Tipps

    Das Bestimmen einer Stammfunktion bezeichnet man auch als Integrieren.

    $\int\limits_a^bf(x)~dx$ wird als das bestimmte Integral von $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$ bezeichnet.

    Beachte unbedingt die Reihenfolge der Differenz.

    Es wird vom Funktionswert der Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze der Funktionswert an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.

    Lösung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^bf(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Man kann also sehen, dass man zur Anwendung dieses Satzes eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ bestimmen muss.

    Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung können zum Beispiel Flächeninhalte berechnet werden.

  • Prüfe, welche der angegebenen Funktionen Stammfunktion einer gegebenen Funktion sind.

    Tipps

    Beachte, dass es zu einer Funktion mehrere Stammfunktionen geben kann.

    Es muss gelten

    $(F(x)+C)'=f(x)$.

    Für die Integrationskonstante kann man jeden beliebigen Wert einsetzen.

    Leite die jeweilige vorgeschlagene Stammfunktion ab.

    Lösung

    Es geht in dieser Aufgabe nicht darum zu den beiden Funktionen

    • $f(x)=x$ sowie
    • $g(x)=x^2$
    Stammfunktionen zu finden, sondern zu überprüfen, ob gegebene Funktionen Stammfunktionen sind. Hierfür kann man die vorgeschlagenen Stammfunktionen ableiten:
    • $(2x)'=2$ - das ist weder $x$ noch $x^2$
    • $(0,5x^2-4)'=0,5\cdot 2x=x$
    • $\left(\frac12x^2+3\right)=\frac12\cdot 2x=x$
    • $\left(\frac13x^3+2\right)=\frac13\cdot 3x^2=x^2$
    • $\left(\frac12x^3-3\right)=\frac12\cdot 3x^2=\frac32 x^2$, dies ist weder $x$ noch $x^2$
    • $\left(\frac13x^3+C\right)=\frac13\cdot 3x^2=x^2$

  • Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf die gegebene Funktion an.

    Tipps

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^bf(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Es gilt $(F(x)+C)'=f(x)$.

    Beachte die Reihenfolge bei der Differenzbildung beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    Lösung

    Man muss zu der gegebenen Funktion $f(x)=2x$ zunächst eine Stammfunktion kennen (oder aber diese herleiten, wenn man die entsprechenden Regeln kennt). Diese ist in Abituraufgaben für den Grundkurs in einigen Bundesländern oft gegeben und es wird nur der Nachweis verlangt, dass dies wirklich eine Stammfunktion ist.

    Es gilt $(x^2-2)'=(x^2)'-2'=2x$ $\surd$.

    Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden, mit $F(x)=x^2-2$

    $\int\limits_2^4(2x)~dx=(4^2-2)-(2^2-2)=14-2=12$.

  • Beschreibe, wofür man eine Stammfunktion benötigt.

    Tipps

    Du kannst überprüfen, ob eine gegebene Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist, indem du ableitest.

    Es gibt Regeln, um Stammfunktionen zu bestimmen. Diese sind jedoch nicht die Begründung für Stammfunktionen.

    Es ist nur eine Antwort richtig.

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^bf(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Lösung

    Man kann sich, wenn man sich die Definition einer Stammfunktion anschaut, durchaus fragen, wofür man diese überhaupt benötigt.

    Was hat man davon zu einer Funktion $f(x)$ eine Funktion $F(x)$ zu kennen, für die gilt

    $(F(x)+C)'=f(x)$?

    Schließlich und endlich benötigt man Stammfunktionen zur Flächenberechnung und hierfür verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^bf(x)~dx=F(b)-F(a)$.

  • Berechne das bestimmte Integral.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^bf(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Gegebenenfalls kannst du eine Stammfunktion auch durch Raten oder Vermuten ermitteln. Du musst dann durch Ableiten nachweisen, dass die gefundene Funktion tatsächliche eine Stammfunktion ist.

    Eine mögliche Stammfunktion ist

    $F(x)=\frac12x^4$.

    Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl.

    Lösung

    Um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anzuwenden, benötigt man eine Stammfunktion zu der gegebenen Funktion $f(x)=2x^3$.

    Um durch Ableiten auf $x^3$ zu kommen, muss der Exponent $4$ sein. Nun könnte man durch Probieren und Überlegen zu einer Stammfunktion kommen. Eine mögliche ist

    $F(x)=\frac12x^4$.

    Dass dies tatsächlich eine Stammfunktion ist, kann man durch Ableiten nachweisen.

    Es ist

    $\int\limits_2^4(2x^3)~dx=\left(\frac124^4\right)-\left(\frac122^4\right)$.

    Die Klammern sind hier nur der Anschaulichkeit halber gesetzt, sie sind nicht nötig.

    Zu der Integrationskonstanten, welche hier nicht auftaucht: Dies fällt durch das Bilden der Differenz heraus.

    Nun kann noch weiter gerechnet werden:

    $\int\limits_2^4(2x^3)~dx=\frac12256-\frac1216=128-8=120$.

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