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Grundlagen zu Potenzen

Potenz, Exponent, Hochzahl, Basis, hoch 0, negativer Exponent, Zehnerpotenzen, wissenschaftliche Schreibweise

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine Potenz?

Anstatt die gleiche Zahl mehrfach zu addieren, kannst du diese Zahl auch mit einem Faktor multiplizieren. Du kannst also abkürzend schreiben:

$\underbrace{5+5+5+5}_{4-\text{mal}}=4\cdot 5$.

Ebenso kannst du Produkte vereinfachen, in denen der gleiche Faktor vorkommt:

$\underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}_{4-\text{mal}}=5^4$.

Der Term $5^4$ wird als Potenz bezeichnet. Du sagst: „Fünf hoch vier.“

Also ist die Potenzschreibweise eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

Beispiele

  • $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{3-\text{mal}}=2^3$
  • $\underbrace{3\cdot 3}_{2-\text{mal}}=3^2$
  • $\underbrace{16\cdot 16\cdot \dots \cdot 16}_{7-\text{mal}}=16^7$

Eigenschaften und Bezeichnungen

Wir können einige Eigenschaften von Potenzen feststellen:

  • Der Faktor, der mehrmals auftaucht, steht in der Potenz unten. Dies ist die Basis.
  • Die Häufigkeit, mit welcher dieser Faktor auftritt, steht in der Potenz oben. Dies ist der Exponent.

Hier siehst du die Bezeichnungen für eine allgemeine Potenz $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$ im Überblick:

962_Potenzen_Bezeichnungen.jpg

Dabei ist $a\in \mathbb{R}$ und $n\in \mathbb{N}$. $a$ ist also eine beliebige Zahl, der Exponent $n$ ist in der Regel eine natürliche Zahl $1, 2, 3, 4, ...$

Potenzen berechnen

  • $5^3=5\cdot 5\cdot 5=25 \cdot 5 = 125$
  • $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=9 \cdot 9=81$
  • $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=4 \cdot 8=32$

Der Exponent $1$

$a^1$ bedeutet, dass der Faktor $a$ in einem Produkt einmal vorkommt. Also ist $a^1=a$ für jede Basis $a\in\mathbb{R}$.

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind Zahlen, die sich als Quadrat, also als eine Potenz mit dem Exponenten $2$, schreiben lassen.

$\begin{array}{cccc} 1^2 =1&4^2=16&7^2=49 &10^2=100\\ 2^2=4&5^2=25&8^2=64 &~\\ 3^2=9 &6^2=36 &9^2=81&~ \end{array}$

Wir können zwischen zwei Formulierungen wählen: „... hoch zwei“ oder „... zum Quadrat“.

Kubikzahlen

Kubikzahlen sind Zahlen, die sich als Potenz mit dem Exponenten $3$ ausdrücken lassen:

$\begin{array}{cccc} 1^3&=&1&~&4^3&=&64&~&7^3&=&343&~&10^3&=&1000\\ 2^3&=&8&~&5^3&=&125&~&8^3&=&512&~&~&~&~\\ 3^3&=&27 &~&6^3&=&216&~&9^3&=&729&~&~&~&~ \end{array}$

Zweierpotenzen

Zweierpotenzen sind Potenzen mit der $2$ als Basis.

$\begin{array}{cccc} 2^1=2&2^4=16&2^7=128&2^{10}=1024\\ 2^2=4&2^5=32&2^8=256&~\\ 2^3=8 &2^6=64&2^9=512&~ \end{array}$

Zehnerpotenzen

Im Alltag nutzen wir das Zehnersystem, welches auf den Zehnerpotenzen basiert. Dies sind Potenzen mit der $10$ als Basis.

$\begin{array}{cccc} 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100&~&10^5&=&100000&~\\ 10^3&=&1000 &~&10^6&=&1000000&~ \end{array}$

Zehnerpotenzen lassen sich recht leicht berechnen: $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen.

Zahlen als Potenzen schreiben

Wie kannst du umgekehrt Zahlen als Potenzen schreiben?

Schaue dir dies an dem Beispiel $243$ an. Diese Zahl ist mehrfach durch $3$ teilbar.

$\begin{array}{rcl} 243&=&3\cdot 81\\ &=&3\cdot 3\cdot 27\\ &=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 9\\ &=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\ &=&3^5 \end{array} $

Potenzieren von Summen und Differenzen

Beim Potenzieren von Summen oder Differenzen gehst du wie folgt vor.

$\begin{array}{rcl} (2x+3)^2&=&(2x+3)\cdot (2x+3)\\ &=&(2x)\cdot (2x)+(2x)\cdot 3+3\cdot (2x)+3\cdot 3\\ &=&4x^2+6x+6x+9\\ &=&4x^2+12x+9 \end{array}$

Ebenso kannst du auch Differenzen potenzieren.

$\begin{array}{rcl} (4-y)^2&=&(4-y)\cdot (4-y)\\ &=&4\cdot 4-4\cdot y-y\cdot 4+y\cdot y\\ &=&16-4y-4y+y^2\\ &=&16-8y+y^2 \end{array}$

Eine Verallgemeinerung davon sind die binomischen Formeln,

  • die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
  • die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Beachte unbedingt, dass du nicht einfach die einzelnen Summanden quadrieren kannst.