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Teilbarkeit und Mengen

Was sind Mengen? Du lernst Zahlen und Zahlenmengen kennen oder Teilermengen und Vielfachenmengen.

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Was ist eine Menge?

Eine Menge ist eine Auflistung von Elementen. Zum Beispiel ist $M=\{1;~2;~3\}$ eine Menge. In dieser Menge befinden sich die Elemente $1$, $2$ und $3$. Man kann dann auch sagen, dass $1$ (ebenso wie $2$ und $3$) in der Menge $M$ liegt oder ein Element dieser Menge ist. Mathematisch drückst du das so aus:

$1\in M$.

Gelesen wird dies als „$1$ ist Element der Menge $M$“. Vielleicht kennst du bereits die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}=\{1;~2;~3;~;4;~...\}$. Auch dies ist eine Menge.

Vielfache und Teiler

Zu natürlichen Zahlen kannst du deren Vielfache und Teiler untersuchen.

Vielfache

Du kannst die Malfolge einer beliebigen natürlichen Zahl aufschreiben. Zum Beispiel ist $3\in\mathbb{N}$ eine solche natürliche Zahl. Deren Malfolge lautet

  • $1\cdot 3=3$
  • $2\cdot 3=6$
  • $3\cdot 3=9$
  • ...

Das jeweilige Ergebnis wird auch Vielfaches von $3$ genannt. Die Vielfachen der Zahl $3$ (wie auch die jeder anderen Zahl) kannst du zu als Menge ausdrücken. Dies ist die sogenannte Vielfachenmenge. Diese schreibst du so:

$V_{3}=\{3;~6;~9;~12;~15;~...\}$

Teiler

Beliebige Vielfache einer Zahl besitzen mindestens zwei gemeinsamen Teiler. Dies ist die $1$ und die Zahl, deren Vielfache du betrachtest. So lässt sich beispielsweise jede der Zahlen $V_{3}=\{3;~6;~9;~12;~15;~...\}$ durch $1$ und $3$ teilen.

Generell kannst du dir für jede beliebige natürliche Zahl die Menge der Teiler angucken. Zum Beispiel besitzt die Zahl $12$ die Teiler $1, 2, 3 , 4 , 6$ und $12$. Mathematisch drückst du Teilbarkeit so aus:

$4\mid 12$.

Dies liest du als „$4$ teilt $12$“.

Die Menge der Zahlen, die eine andere Zahl teilt, wird Teilermenge genannt. Für $12$ erhältst du:

$T_{12}=\{1;~2;~3;~4;~6;~12\}$.

Übrigens:

  • Die Zahl $1$ und die Zahl, deren Teilbarkeit du betrachtest, kommt in jeder Teilermenge vor.
  • Du kannst jede Zahl als Produkt von Teilern dieser Zahl schreiben. Beispielsweise gilt $2\cdot 6 = 12$ oder $3 \cdot 4 = 12$.

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält:

  1. Die Zahl $1$.
  2. Die Zahl, deren Teilbarkeit du gerade betrachtest.

Jede Primzahl ist also nur durch die $1$ und sich selbst teilbar. Eine Möglichkeit Primzahlen zu finden ist das sogenannte Sieb des Eratosthenes.

Hier siehst du die ersten Elemente der Menge der Primzahlen $\mathbb{P}=\{2;~3;~5;~7;~11;~13;~...\}$.

Fällt dir etwas auf?

  • Die $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler, nämlich sich selbst, hat.
  • Die $2$ ist die kleinste Primzahl und tatsächlich auch die einzige gerade Primzahl.
  • Jede gerade Zahl, die größer als $2$ ist, ist durch $2$ teilbar und kann deshalb keine Primzahl sein.

Eine besondere Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt von deren Teilern ist die Primfaktorzerlegung: Alle Faktoren in diesem Produkt sind Primzahlen. Die Primfaktorzerlegung von $12$ ist beispielsweise $12=2\cdot 2\cdot 3$.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

Mit Hilfe von Vielfachen, Teilern und Primzahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler bestimmen.

Diese benötigst du zum Beispiel, wenn du Brüche kürzen und erweitern möchtest.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches - kgV

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei (oder mehreren) natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die beide (oder alle) Zahlen als Teiler besitzt. Für das kleinste gemeinsame Vielfache ist die Abkürzung kgV gebräuchlich.

Größter gemeinsamer Teiler - ggT

Der größte gemeinsame Teiler von zwei (oder mehreren) natürlichen Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die Teiler von beiden (oder allen) dieser Zahlen ist. Als Abkürzung wird ggT verwendet.

Sowohl kgV als auch ggT lassen sich mithilfe der Primfaktorzerlegung ermitteln.