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Höhen, Inkreis und Umkreis von Dreiecken

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Inhalt

  • Dreiecke
  • Die Höhen in einem Dreieck
  • Der Umkreis eines Dreiecks
  • Der Inkreis eines Dreiecks
  • Dreiecke

    Ein Dreieck ist eine ebene Figur.

    • Ein Dreieck hat drei Ecken. Diese werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben $A$, $B$ und $C$ bezeichnet.
    • Gegenüber jeder der Ecken liegt eine Seite. Diese werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ bezeichnet.
    • Die drei Winkel eines Dreiecks sind zu erkennen an den griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha) für a, $\beta$ (beta) für b und $\gamma$ (gamma) für $c$.

    1103_gleichschenkliges_Dreieck.jpg

    Die Höhen in einem Dreieck

    Die Höhe eines Dreicks erhältst du, indem du von einem Punkt das Lot auf die gegenüberliegende Seite fällst. Hier siehst du das obige Dreieck mit der Höhe $h_c$.

    3015_Dreieck_Höhe_1.jpg

    Die Höhe $h_c$ steht senkrecht oder orthogonal zu der gegenüberliegenden Seite $c$.

    Wenn du das Dreieck drehst, erhältst du eine weitere Höhe, und bei nochmaliger Drehung noch eine. Insgesamt hat ein Dreieck drei Höhen. Diese Höhen müssen nicht innerhalb des Dreiecks liegen, das tun sie nur, wenn alle drei Winkel spitze Winkel sind. Die drei Höhen, diese sind in dem Bild orange eingezeichnet, schneiden sich in einem Punkt.

    3015_Dreieck_Höhe_2.jpg

    Höhen in rechtwinkligen Dreiecken

    3015_rechtwinkliges_Dreieck.jpg

    Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Den rechten Winkel von $90^\circ$ erkennst du an dem Punkt. Gegenüber von dem rechten Winkel befindet sich die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse $c$. Die beiden übrigen Seiten $a$ und $b$ liegen an dem rechten Winkel an. Dies sind die Katheten.

    Die eine Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ist $h_c$. Die beiden anderen Höhen sind die Katheten selbst. So ist $a$ die Höhe zu $b$ und umgekehrt.

    Der Umkreis eines Dreiecks

    Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, auf welchem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen. Wie kannst du diesen Umkreis konstruieren? Um den Umkreis zu konstruieren, braucht man die Mittelsenkrechten des Dreiecks.

    Konstruktion der Mittelsenkrechten

    Zu jeder Seite eines Dreiecks gibt es eine Mittelsenkrechte: Diese verläuft durch den Mittelpunkt dieser Seite und steht orthogonal zu dieser Seite. Die Mittelsenkrechte kannst du so konstruieren, am Beispiel der Mittelsenkrechten zu der Seite $c$:

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_1.jpg

    • Zunächst zeichnest du um die beiden Punkte $A$ und $B$ jeweils einen Kreis mit dem gleichen Radius. Dieser Radius muss größer sein als die Hälfte der Länge der Seite $c$ und kleiner als die Länge selbst.

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_2.jpg

    • Diese beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Wenn du diese Punkte miteinander verbindest, erhältst du die Mittelsenkrechte. Jeder Punkt auf dieser Mittelsenkrechte hat sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand.

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_3.jpg

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_4.jpg

    • Ebenso kannst du die beiden anderen Mittelsenkrechten konstruieren. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt.

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_5.jpg

    • Dieser Punkt hat zu jedem der drei Eckpunkte des Dreiecks den gleichen Abstand. Somit ist dieser Schnittpunkt der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius des Umkreises ist der Abstand dieses Mittelpunktes zu irgendeinem der Eckpunkte des Dreiecks.

    3015_Dreieck_Mittelsenkrechte_6.jpg

    Der Inkreis eines Dreiecks

    Der Inkreis eines Kreises ist der Kreis, der innerhalb des Kreises liegt und jede Seite des Dreiecks berührt.

    Der Mittelpunkt des Inkreises

    Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende. Was ist eine Winkelhalbierende?

    3015_Winkelhalbierende_4.jpg

    Hier siehst du die Winkelhalbierende zu dem Winkel $\alpha$. Wenn du eine Winkelhalbierende konstruieren möchtest, gehst du wie folgt vor:

    • Zeichne einen Kreis, dessen Radius kleiner ist als die kürzere der beiden Seiten $b$ und $c$, um den Punkt $A$.
    • Dieser Kreis schneidet die beiden Seiten $b$ und $c$ jeweils in einem Punkt.
    • Verbinde die beiden Punkte miteinander und bestimme den Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Punkten.
    • Zuletzt verbindest du den Punkt $A$ mit diesem Mittelpunkt.
    • Fertig ist die Winkelhalbierende.

    Jeder Punkt auf dieser Winkelhalbierenden hat zu den beiden Seiten $b$ und $c$ den gleichen Abstand.

    Ebenso kannst du die beiden anderen Winkelhalbierenden konstruieren. Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Inkreises.

    3015_Winkelhalbierende_6.jpg

    Der Radius des Inkreises

    Der Radius des Inkreises ist der kürzeste Abstand des Mittelpunktes des Inkreises zu einer beliebigen Seite des Dreiecks.