Trigonometrie – Anwendungsaufgaben
Mit Hilfe der Trigonometrie kannst du oftmals Probleme aus dem Alltag lösen.
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Sinus, Cosinus und Tangens
In rechtwinkligen Dreiecken haben die Seiten folgende Bezeichnungen:
Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Aus dem Einheitskreis können drei trigonometrische Formeln abgeleitet werden.
$\begin{array}{lllcllr} \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &&& \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &&& \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \end{array}$
Diese werden in Sachzusammenhängen eingesetzt, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.
Anwendungsaufgaben
Beispiel 1: Freiheitsstatue
Die Höhe $h$ der Freiheitsstatue soll bestimmt werden, wenn der Sichttwinkel $\alpha = 10,5^\circ$ und der Abstand zum Ufer $a = 500\ \text{m}$ bekannt sind.
Es geht hier also um eine Höhenmessung aus der Entfernung. Da die Hypotenuse unbekannt und auch nicht von Belang ist, wird mit dem Tangens gerechnet:
$\begin{array}{llll} \tan(10,5^\circ) &=& \frac{h}{500\ \text{m}} & \vert \cdot 500\ \text{m}\\ 92,67\ \text{m} &=& h & \end{array}$
Beispiel 2: Turm
Auch hier soll eine Höhe bestimmt werden. Die Turmhöhe kann aber erst berechnet werden, wenn man zunächst Länge $a$ über die Tangensformel bestimmt:
$\begin{array}{llll} \tan(32^\circ) &=& \frac{a}{50\ \text{m}} &\vert \cdot 50\ \text{m} \\ 31,24\ \text{m} &=& a &\\ \end{array}$
Schließlich berechnet sich die gesuchte Turmhöhe wie folgt:
$h = 31,24\ \text{m} + 1,80\ \text{m} = 33,04\ \text{m}$
Beispiel 3: Höhe im gleichseitigen Dreieck
Die Dreieckshöhe $g$ kann mit allen drei Formeln bestimmt werden, da sowohl alle Winkel ($\alpha=60^\circ $) als auch alle Seiten ($a$) bekannt sind.
Hier soll gezeigt werden, dass mit allen drei Formeln gerechnet werden kann und diese dasselbe Ergebnis für $g$ liefern:
$\begin{array}{llll} \sin(60^\circ) &=& \frac{g}{a} & \\ 0,866 &=& \frac{g}{a} & \vert \cdot a\\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$
$\begin{array}{llll} \cos(30^\circ) &=& \frac{g}{a} & \\ 0,866 &=& \frac{g}{a} & \vert \cdot a \\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$
$\begin{array}{llll} \tan(60^\circ) &=& \frac{g}{\frac{a}{2}} & \\ 1,73 &=& g\cdot \frac{2}{a} & \vert \cdot a \\ 1,73\cdot a &=& 2g & \vert : 2 \\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$
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