Flächeninhalt und Umfang von speziellen Vierecken und Vielecken

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Anwendung Flächeninhalt und Umfang eines Drachenvierecks
• Die Raute: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt
  • Eigenschaften Raute
  • Der Umfang einer Raute
  • Der Flächeninhalt einer Raute
• Das Drachenviereck: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt
  • Eigenschaften Drachenviereck
  • Umfang eines Drachenvierecks
  • Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks
• Anwendungsbeispiel Flächeninhalt Drachenviereck
• Was ist ein Trapez?
  • Vierecke, die auch ein Trapez sind.
  • Eigenschaften der Innenwinkel
  • Spezielle Trapeze
• Der Umfang eines Trapezes
  • Beispiel
• Die Fläche eines Trapezes
  • Herleitung der Flächenformel
  • Beispiel
• Fünfecke
• Der Umfang eines Fünfecks
• Der Flächeninhalt eines Fünfecks
  • Die Heronsformel
  • Allgemeine Fünfecke
  • Beispiel
  • Regelmäßige Fünfecke

Anwendung Flächeninhalt und Umfang eines Drachenvierecks

Es ist Herbst und du möchtest dir einen Drachen bauen. Im Wald findest du zwei Stöcke. Du möchtest wissen, wie viel Material du zum Basteln benötigst. Du willst also den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks berechnen. Um dies berechen zu können, musst du wissen, ob du den Flächeninhalt eins Drachenviereck oder einer Raute bestimmen musst.

Die Raute und das Drachenviereck sind ebene Figuren mit vier Ecken, also Vierecke. Sie haben vier Seiten und vier Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel beträgt wie bei allen Vierecken $360^\circ$.

Im Haus der Vierecke findest du verschiedenen Vierecksarten nach ihren Eigenschaften sortiert.

Die Raute: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt

Die Raute (auch Rhombus genannt), kannst du direkt links unter dem Quadrat erkennen.

Eigenschaften Raute

• In einer Raute und einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
• In einer Raute sind nicht, wie in einem Quadrat, alle Winkel gleich groß.
• Die gegenüberliegenden Winkel bei einer Raute sind gleich groß. Die benachbarten Winkel ergänzen einander auf $180^\circ$.
• Die Diagonalen $e$ und $f$ in einer Raute schneiden sich genau in der Mitte der Raute in einem rechten Winkel ($90^\circ$). Die Diagonalen halbieren damit einander.
• Jeder Innenwinkel wird durch eine Diagonale halbiert.
• Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen auf denen die beiden Diagonalen liegen.
• Die einander gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander. Die Raute ist also auch ein Parallelogramm.

Der Umfang einer Raute

Zur Berechnung des Umfang und des Flächeninhalts einer Raute werden die Eigenschaften von Vierecken genutzt.

Für den Umfang einer Raute addierst du wie bei jedem Viereck die Längen aller vier Seiten. Bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang mit Seitenlänge $a$. Es gilt für den Umfang einer Raute folgende Formel :

$u=a+a+a+a=4a$.

Dieselbe Formel gilt auch für den Umfang eines Quadrats.

Der Flächeninhalt einer Raute

Der Flächeninhalt einer Raute kann über zwei Formeln bestimmt werden. Die erste Gleichung entspricht der Flächeninhaltsformel des Parallelograms mit der Seitenlänge $a$ und der zugehörigen Höhe $h_ {a}$.

$A=a \cdot h_ {a}=\frac{e\cdot f}2$

Die zweite Gleichung ergibt sich aus der Überlegung, dass eine Raute sich in zwei gleiche, kongruente gleichschenklige Dreiecke aufteilen lässt.Der Flächeninhalt einer Raute entspricht der Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke.

Das Drachenviereck: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt

Bei einem Drachenviereck (auch Deltoid genannt) sind paarweise zwei einander anliegende Seiten gleich lang und die Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel zueinander.

Das Drachenviereck findest du in dem Haus der Vierecke in der Reihe mit den grünen Figuren, unterhalb der Raute und des Rechtecks, ganz links.

Eigenschaften Drachenviereck

• Die Diagonalen schneiden sich in einem rechten Winkel.
• Die paarweise aneinanderliegende Seiten sind gleich lang.

• Ein Drachenviereck hat nur eine Symmetrieachse. Auf dieser liegt in dem dargestellten Drachenviereck die Diagonale $f$. Bei der Raute sind beide Diagonalen Symmetrieachsen.

• Eine Raute ist auch ein Drachenviereck.

• Ein Drachenviereck muss keine Raute sein.

Umfang eines Drachenvierecks

In einem Drachenviereck sind jeweils zwei Seiten gleich lang. Der Umfang eines Drachenvierecks mit Seitenlängen $a$ und $b$ ist gegeben mit:

$u=a+a+b+b=2(a+b)$.

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Das Drachenviereck besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken. Damit ist der Flächeninhalt des Drachenvierecks die Summe der Flächeninhalte der beiden gleichschenkligen Dreiecke.

Der Flächeninhalt jedes der beiden Dreiecke berechnet sich als Produkt von Grundseite und Höhe dividiert durch $2$.

Die Höhe des oberen Dreiecks $A_{\Delta_o}$ sei $h$, dann beträgt zugehörige Flächeninhalt:

$A_{\Delta_o}=\frac{e\cdot h}2$.

Die Höhe des unteren Dreiecks $A_{\Delta_u}$ beträgt $f-h$ und der zugehörige Flächeninhalt ist:

$A_{\Delta_u}=\frac{e\cdot (f-h)}2$.

Addierst du nun die beiden Flächeninhalte, so erhältst du den Flächeninhalt des Drachenvierecks:

$A=A_{\Delta_o}+ A_{\Delta_u}=\frac{e\cdot h}2+\frac{e\cdot (f-h)}2=\frac{e\cdot h+e\cdot (f-h)}{2}=\frac{e\cdot f}2$.

Der Flächeninhalt $A$ eines Drachenvierecks ist also gegeben durch

$A=\frac{e\cdot f}2$.

Anwendungsbeispiel Flächeninhalt Drachenviereck

Du möchtest mit deinen gefunden Stöcken und Stoff einen Drachen basteln.

Der längere Stock $f$ ist doppelt so lang wie der kürzere Stock $e$ mit $40~ \text{cm}$. Damit gilt $f=2\cdot e$. Wie viel Stoff benötigst du für deinen Drachen?

Wir verwenden die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks. Die Stöcke $e$ und $f$ entsprechen den Diagonalen des Drachenvierecks.

$A=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{e\cdot 2\cdot e}{2}=e^2=40 ~\text{cm}^{2}=1600~\text{cm}^2$.

Um deinen Drachen zu basteln benötigst du $1600~\text{cm}^2$ Stoff.

Was ist ein Trapez?

Ein Trapez ist eine ebene Figur. Es hat vier Ecken, ist also ein Viereck, und hat auch vier Seiten und vier Winkel.

Was ist das Besondere an einem Trapez? Ein Trapez ist ein Viereck, in welchem mindestens zwei Seiten parallel zueinander sind.

Du kannst hier ein allgemeines Trapez sehen mit den entsprechenden Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel.

Die Strecke $h$ bezeichnet die Höhe des Trapezes. Dies ist der Abstand der beiden parallelen Seiten, hier $a$ und $c$, zueinander. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite $a$.

Vierecke, die auch ein Trapez sind.

Welche Vierecke kennst du, die auch (mindestens) zwei zueinander parallele Seiten haben und somit besondere Trapeze sind?

• Beim Rechteck sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel, alle Winkel sind rechte Winkel.
• Das Quadrat ist ein Rechteck, in welchem alle Seiten gleich lang sind.
• Beim Parallelogramm sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel, aber die Winkel müssen nicht rechte Winkel sein.
• Die Raute (oder auch der Rhombus) ist ein Parallelogramm, in welchem alle Seiten gleich lang sind.

Den Zusammenhang zwischen den Vierecken kannst du in dem Haus der Vierecke sehen.

Eigenschaften der Innenwinkel

• Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt $360^\circ$. Dies gilt natürlich auch für das Trapez.
• Die Summe zweier benachbarter Winkel, die an den nicht parallelen Seiten anliegen, ist immer $180^\circ$, also

$\quad~~~\alpha+\delta=\beta+\gamma=180^\circ$

.

Spezielle Trapeze

• Es gibt Trapeze, bei welchen die Seiten $b$ und $d$ gleich lang sind. Solche Trapeze werden als gleichschenklige Trapeze oder symmetrische Trapeze bezeichnet.
• Wenn einer der Winkel ein rechter Winkel ist, dann spricht man von einem rechtwinkligen Trapez. Übrigens: Wegen der Eigenschaft, dass die Summe der benachbarten Winkel $180^\circ$ beträgt, ist auch der benachbarte Winkel ein rechter Winkel.

Der Umfang eines Trapezes

Für den Umfang eines Trapezes addierst du die Längen aller vier Seiten:

$\quad~~~U=a+b+c+d$

Beispiel

Herr Gockel möchte um sein Grundstück einen Zaun bauen. Das Grundstück hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seitenlängen $a=40~m$, $b=d=10~m$ und $c=24~m$. Wie lang ist der Zaun insgesamt?

Er muss die einzelnen Längen addieren: $40~m+2\cdot 10~m+24~m=84~m$.

Der Zaun hat also insgesamt eine Länge von $84~m$.

Die Fläche eines Trapezes

Hier siehst du die Größen in einem Trapez, welche du für die Flächenberechnung benötigst:

.

Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gegeben durch

$\quad~~~A=\frac{a+c}2\cdot h$.

.

Diese Formel findest du auch oft so

$\quad~~~A=m\cdot h$,

, wobei

$\quad~~~m=\frac{a+c}2$

die Länge der Strecke ist, welche sich genau in der Mitte zwischen den beiden parallelen Seiten befindet.

Herleitung der Flächenformel

Um diese Formel für den Flächeninhalt herzuleiten, schaue dir dieses Bild an:

.

• Stell dir vor, du würdest bei einem Trapez das Dreieck unten links ausschneiden. Dieses Dreieck fügst du, wie in dem Bild zu sehen, oben links an das Trapez an.
• Das machst du genauso mit dem Dreieck unten rechts.
• Du erhältst dann ein flächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen $m$ und $h$.
• Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist $A_{\text{Rechteck}}=m\cdot h$.

Da $m=\frac{a+c}2$ gilt, ist damit die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes mit $A=\frac{a+c}2\cdot h$ nachgewiesen.

Beispiel

Herr Gockel weiß, dass sein Grundstück den Flächeninhalt $A=192~m^2$ hat. Das Grundstück hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Eine der beiden parallelen Seiten ist $a=40~m$ und die Höhe des Trapez beträgt $h=6~m$. Er möchte an die beiden parallelen Seiten eine Hecke pflanzen. Wie lang wird diese Hecke?

Herr Gockel kennt also bereits eine der beiden parallelen Seiten. Er muss nun noch die fehlende Größe herleiten. Er verwendet hierfür die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes

$\quad~~~A=\frac{a+c}2\cdot h$

und setzt dort die bereits bekannten Größen ein

$\quad~~~192~m^2=\frac{40~m+c}2\cdot 6~m$.

.

Diese Gleichung formt er nach $c$ um.

$\begin{array}{rclll} 192~m^2&=&\frac{40~m+c}{2} \cdot 6~m&&\\ \\ 192~m^2&=&(40~m+c)\cdot 3~m&|&:(3~m)\\ \\ 64~m&=&40~m+c&|&-40~m\\ \\ 24~m&=&c&&\\ \\ \end{array}$

Die Gesamtlänge der Hecke beträgt dann also $40~m+24~m=64~m$.

Fünfecke

Fünfecke haben fünf Ecken. Hier siehst du ein allgemeines Fünfeck. Die Ecken sind entgegen dem Uhrzeigersinn mit $A$ bis $E$, die Seiten mit den entsprechenden Kleinbuchstaben $a$ bis $e$ beschriftet.

Übrigens: In jedem Fünfeck gilt, dass die Summe der fünf Innenwinkel $540^\circ$ beträgt.

Der Umfang eines Fünfecks

Der Umfang eines Fünfecks ist, wie bei jedem Vieleck, die Summe der Seitenlängen:

$u=a+b+c+d+e$

Ganz so einfach ist der Flächeninhalt nicht zu berechnen.

Der Flächeninhalt eines Fünfecks

Zunächst einmal lernst du, wie du ganz allgemein den Flächeninhalt eines Fünfecks berechnen kannst. Schließlich lernst du noch den Spezialfall eines regelmäßigen Fünfecks kennen.

Die Heronsformel

Mithilfe der Heronsformel kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausschließlich mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnen.

Zunächst wird die Länge $s$ wie folgt definiert: $s=\frac{a+b+c}2$.

Damit lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt berechnen:

$A_\triangle=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

Allgemeine Fünfecke

Wenn du die Punkte $A$ und $D$ sowie $B$ und $D$ miteinander verbindest, kannst du das Fünfeck in drei Dreiecke aufteilen. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist gerade die Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke.

Jeden dieser Flächeninhalte kannst du mithilfe der Heronsformel berechnen.

Beispiel

Nun kannst du an dem folgenden Beispiel diese Formel üben.

Für den Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2)$ sowie $Q(q_1|q_2)$ kannst du die folgende Formel verwenden:

$d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$

Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks $\triangle{ADE}$ mit den Punkten $A(-3|2)$, $D(4|4)$ und $E(0|5)$:

• $\overline{AE}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$
• $\overline{AD}=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$
• $\overline{DE}=\sqrt{(-4)^2+1^2}=\sqrt{17}$

Nun kann es losgehen:

• $s=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{53}+\sqrt{17}}2$
• $A_1=7,5$

Ebenso kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke $\triangle{ABD}$ sowie $\triangle{BCD}$ berechnen:

• $\triangle{ABD}$: $A_2=12,5$
• $\triangle{BCD}$: $A_3=7,5$

Zuletzt addierst du diese Flächeninhalte zu $A=A_1+A_2+A_3=27,5$.

Regelmäßige Fünfecke

Bei einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang.

Der Umfang ist gegeben durch $u=5a$.

Wenn du jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt des Fünfecks verbindest, erhältst du fünf gleichschenklige und kongruente Dreiecke. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist somit das Fünffache eines solchen Dreiecks. Du erhältst also folgende Formel für den Flächeninhalt:

$A=\sqrt{25+10\cdot\sqrt5}\cdot\frac{a^2}4\approx1,7205\cdot a^2$