Anteil, Bruchteil, Ganzes
"Anteile leicht verständlich gemacht!" Erfahre, wie Anteile als Teil des Ganzen dargestellt und berechnet werden. Du lernst alles über Zähler, Nenner und den Bruchstrich und wie sie zusammenhängen. Klingt spannend? Vertiefe dein Wissen mit unseren spannenden Übungen und Arbeitsblättern!
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Grundlagen zum Thema Anteil, Bruchteil, Ganzes
Was sind Anteile?
Ein Anteil ist per Definition immer ein festgelegter Teil von einer bestimmten Menge. Wenn es zum Beispiel an deiner Schule $47$ Lehrkräfte gibt und davon $15$ Mathematik unterrichten, dann ist der Anteil der Mathelehrkräfte an deiner Schule $15$ von $47$ Lehrkräften.
Im Folgenden schauen wir uns genauer an, wie wir solche Anteile mathematisch darstellen und wie wir mit ihnen rechnen können.
Wie können wir Anteile eines Ganzen darstellen?
Ein Anteil verbindet immer zwei Zahlen, den Bruchteil und das Ganze. Als mathematische Darstellung verwenden wir dafür Brüche. Ein Bruch besteht aus den Bestandteilen:
- Zähler: zählt die Teile
- Bruchstrich: steht für geteilt
- Nenner: benennt die Art der Teile
In unserem Beispiel mit den Mathelehrkräften können wir den Anteil also als $\frac{15}{47}$ schreiben. Jede Lehrkraft an der Schule ist ein Teil. Das bedeutet, im Ganzen sind es $47$ Teile, das ist die Zahl im Nenner. Die Anzahl der Mathelehrkräfte $15$, der Bruchteil. steht im Zähler.
Den Bruch, der nun entsteht, können wir eventuell noch kürzen.
Anteile als Bruch ausdrücken – Beispiele
Anteil | Bruch |
---|---|
zwei von fünf Kindern | $\dfrac{2}{5}$ der Kinder |
einer von zehn Briefen | $\dfrac{1}{10}$ der Briefe |
$20$ von $23$ Ländern | $\dfrac{20}{23}$ der Länder |
drei von vier Keksen | $\dfrac{3}{4}$ der Kekse |
$579$ von $1005$ Hasen | $\dfrac{579}{1005}$ der Hasen |
Was ist ein Bruchteil? – Definition
Ein Bruchteil bezeichnet einen bestimmten Teil vom Ganzen. Zusammen mit dem Ganzen können wir Bruchteil geteilt durch Ganzes als Anteil darstellen.
Wie berechnet man den Anteil von einem Bruch?
Wenn wir einen Anteil als Bruch kennen und wissen wollen, welcher Anzahl dieser Anteil entspricht, dann können wir diese berechnen. Dazu multiplizieren wir den Anteil als Bruch mit der Anzahl der Teile, die zusammen das Ganze ergeben.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
In einer Kekspackung sind insgesamt $60$ Kekse.
Wenn Tom $\frac{1}{3}$ der Kekse isst, dann sind das $\frac{1}{3} \cdot 60$ Kekse. Gekürzt erhalten wir $\frac{60}{3} = \frac{20}{1} = 20$ Kekse.
Lina hat schon $\frac{3}{5}$ ihrer Packung verputzt. Das sind $\frac{3}{5} \cdot 60$ Kekse. Wir können wieder kürzen und erhalten $\frac{3 \cdot 60}{5} = \frac{3 \cdot 12}{1} = \frac{36}{1} = 36$ Kekse.
Anteil, Bruchteil, Ganzes – Zusammenfassung
Wir haben gelernt, was Anteile sind, und wie du sie als Bruch darstellen kannst. Dazu schreibst du die Gesamtzahl der Teile in den Nenner und die Anzahl der Teile, die deinen Anteil bilden, in den Zähler. Zwischen Zähler und Nenner steht der Bruchstrich.
Bei gegebenem Anteil kannst du die Anzahl der Teile, die den Anteil bilden, berechnen. Dazu multiplizierst du den Bruch mit der Gesamtzahl der Teile.
Nach dieser Einführung in die Bestandteile eines Bruchs kannst du hier auf dieser Seite Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Anteil, Bruchteil, Ganzes finden, um dein neu erworbenes Wissen zu testen. Viel Spaß!
Transkript Anteil, Bruchteil, Ganzes
Es ist Halloween, die Nacht der Nächte. Für einen Geist wie Buuhgo ist dies die Nacht, um unbemerkt von Haus zu Haus zu ziehen und Leute zu erschrecken. Um seinen Erfolg zu beobachten, muss Buuhgo sich mit Anteil, Bruchteil und Ganzem auskennen. In diesem Video lernst du, wie du einen Anteil vom Ganzen als Bruch darstellen kannst. In der ersten Straße standen 7 Häuser. Schauen wir uns doch einmal an, bei wie vielen Häusern Buuhgo die Menschen erschrecken konnte. Bei 3 von 7 Häusern konnte er den Menschen tatsächlich Angst einjagen. 7 stellt hier das Ganze dar, da dies die Gesamtzahl der Häuser ist. Betrachten wir die 3 Häuser, so schauen wir uns einen Anteil an, da dies nur ein Teil der Häuser ist. Zur Beschreibung von Anteilen können wir Brüche verwenden. Wir können den Anteil also so schreiben. Man sagt: Drei Siebtel. Dann nennen wir den Anteil auch Bruchteil. Wie du siehst, besteht ein Bruch aus drei Komponenten. Die obere Zahl eines Bruchs, also hier die 3, nennen wir Zähler. Der Zähler zählt die Teile, die wir betrachten. Die untere Zahl des Bruchs ist der Nenner. Der Nenner benennt die Art eines Anteils. Da wir hier 7 Häuser haben, auf die wir uns insgesamt beziehen, ist der Nenner also 7. In der Mitte des Bruchs steht der Bruchstrich, der einem geteilt-Zeichen entspricht. Buuhgo ist schon bei der nächsten Straße angekommen, in der insgesamt 15 Häuser stehen. Wie wir sehen, hat er es dort geschafft, die Menschen in 11 von 15 Häusern zu erschrecken. Insgesamt gab es hier 15 Häuser, dies ist also das Ganze und auch der Nenner in dem Bruch, mit dem wir den Anteil beschreiben können. Da Buuhgo die Menschen in 11 Häusern erschrecken konnte, dies also die Teile sind, die wir zählen, ist der Zähler in diesem Bruch 11. Andersherum können wir die 4 der 15 Häuser, in denen Buuhgo niemanden erschrecken konnte, mit dem Bruch Vier Fünfzehntel darstellen. Da wir hier nur die beiden Möglichkeiten, also erschrecken und nicht erschrecken hatten, ergeben der Zähler 11 und der Zähler 4 wieder das Ganze, also die 15 Häuser. In der nächsten Straße, die Buuhgo besucht, steht ihm eine ganz besondere Herausforderung bevor. Hier befinden sich nämlich 5 Hochhäuser und er würde gerne in jedes Stockwerk gehen. Jedes der Hochhäuser ist in vier Stockwerke aufgeteilt. Insgesamt gibt es also 5 mal 4 und das sind 20 Stockwerke. Betrachten wir fünf der Stockwerke, könnten wir sie durch den Bruch Fünf Zwanzigstel beschreiben. Für jedes einzelne Hochhaus entspricht ein Stockwerk dem Bruch ein Viertel. Betrachten wir also die einzelnen Stockwerke bezogen auf ein einzelnes Hochhaus als Art unserer Teile, können wir 5 Stockwerke in mehreren Hochhäusern auch durch den Bruch Fünf Viertel beschreiben. Es ist also immer wichtig darauf zu achten, was man als Bezugsgröße in den Nenner des Bruchs setzt. Hier steht der Nenner Viertel dann nicht für die Gesamtzahl, sondern für die Art des Anteils, also die Stockwerke. Während Buuhgo weiterzieht, fassen wir zusammen. Zur Beschreibung von Anteilen können wir Brüche verwenden. Als Bruch nennen wir den Anteil auch Bruchteil. Ein Bruch besteht aus drei Komponenten. Die obere Zahl eines Bruchs nennen wir Zähler. Der Zähler zählt die Teile, die wir beschreiben. Die untere Zahl des Bruchs ist der Nenner. Der Nenner benennt die Art eines Anteils. Erschreckt Buuhgo wohl immernoch? Da ist er wohl nicht der einzige, der rumgeistert.
Anteil, Bruchteil, Ganzes Übung
-
Benenne die Bestandteile eines Bruchs und ihre Bedeutung.
TippsÜber dem Bruchstrich steht die Anzahl der Teile.
Unter dem Bruchstrich steht, wie viele Teile ein Ganzes hat.
LösungEin Anteil verbindet immer zwei Zahlen, den Bruchteil und das Ganze. Als mathematische Darstellung verwenden wir dafür Brüche. Ein Bruch besteht aus den Bestandteilen:
- Zähler: zählt die Teile
- Bruchstrich: steht für geteilt
- Nenner: benennt die Art der Teile
-
Ergänze die Brüche.
TippsSind bei einem achteckigen STOP-Schild sieben Ecken rostig, so haben die rostigen Ecken einen Bruchteil von $\frac{7}{8}$.
Zähle die relevanten Anteile und das zugehörige Ganze. Bei dem zugehörigen Bruch steht die Zahl der Anteile über dem Bruchstrich.
LösungDu kannst jeweils den passenden Bruch finden, indem du die relevanten Teile zählst und das zugehörige Ganze, auf das sich die Teile beziehen. Die Zahl der Teile schreibst du über den Bruchstrich, die Zahl des Ganzen unter den Bruchstrich. So entsprechen elf von fünfzehn Häusern mit schreckhaften Bewohnern dem Bruchteil $\frac{11}{15}$. Die Zahl der Anteile ist $11$ und sie bezieht sich auf das Ganze der $15$ Häuser. Hierbei muss aber die Zahl des Anteils nicht kleiner als die Zahl des Ganzen sein: Bezieht man fünf Stockwerke verschiedener Häuser auf das Ganze der vier Stockwerke eines Hauses, so erhält man den Bruchteil $\frac{5}{4}$.
Auf diese Weise findest du folgende Zuordnungen:
- Elf von fünfzehn Häusern, in denen Buuhgo die Bewohner erschreckt, entsprechen einem Bruchteil von ... $\frac{11}{15}$.
- Erschreckt Buuhgo die Bewohner dreier Häuser in einer Straße mit nur sieben Häusern, so beträgt der Bruchteil ... $\frac{3}{7}$.
- Fünf Stockwerke in fünf vierstöckigen Hochhäusern entsprechen einem Stockwerk-Bruchteil von ... $\frac{5}{20}$.
- Einem Stockwerk eines vierstöckigen Hauses entspricht der Stockwerk-Bruchteil $\frac{1}{4}$.
- Fünf Stockwerke in mehreren Hochhäusern, bezogen auf alle Stockwerke eines vierstöckigen Hochhauses, entsprechen dem Bruchteil ... $\frac{5}{4}$.
-
Ordne die passenden Brüche zu.
TippsZähle die Lücken der gleichartigen Sachen. Die Zahl der Lücken ist jeweils der Zähler des Bruches.
Der Nenner ist die Gesamtzahl, auf die sich die Einzelstücke beziehen. Sie ist hier immer durch die Gebinde (wie Eierkarton oder Stiftschachtel) gegeben.
Tante Ernas Hühner haben vierzehn Eier gelegt. Bezogen auf einen $10$-er Eierkarton beträgt der Bruchteil $\frac{14}{10}$.
LösungIn dieser Aufgabe ist jeweils der Bruchteil der fehlenden Stücke zu bestimmen. Das Ganze ist durch das jeweilige Gebinde vorgegeben. Der zugehörige Bruch hat daher im Zähler stets die Zahl der Lücken, im Nenner die Gesamtzahl der Plätze des jeweiligen Gebindes. So erhältst du folgende Zuordnungen:
Torte: Von ursprünglich $12$ Stücken fehlen bereits $4$. Dies entspricht dem Bruchteil $\frac{4}{12}$.
Pralinen: Von den $25$ Pralinen aus der Schachtel hat ein jemand bereits $7$ genascht. Der fehlende Bruchteil ist also $\frac{7}{25}$.
Sprudel: In dem Sprudelkasten fehlen $5$ Flaschen. Der Kasten hat drei Reihen mit Platz für jeweils vier Flaschen. In einem vollen Kasten wären daher $4 \cdot 3 = 12$ Flaschen. Der Bruchteil der fehlenden Flaschen ist also $\frac{5}{12}$.
Farbenkasten: Aus dem Farbenkasten hat jemand gerade drei Buntstifte zum Malen entnommen. Es sind noch neun Buntstifte darin. Das Ganze des Kastens besteht demnach aus $12$ Stiften, die $3$ fehlenden machen den Bruchteil $\frac{3}{12}$ aus.
Eierkarton: In dem $10$-er Eierkarton liegen sieben Eier. Es fehlen demnach $10-7=3$ Eier. Diese bestimmen den Bruchteil $\frac{3}{10}$.
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Ordne jeder Beschreibung den passenden Bruch zu.
TippsBestimme zu jedem Obst das Ganze, auf das sich Buuhgos Beute bezieht.
Hat Buuhgo von sieben Melonen sechs zurückgelassen, so ist seine Beute der Bruchteil $\frac{1}{7}$, denn eine der sieben Melonen hat er mitgenommen oder aufgegessen.
LösungZu Buuhgos Naschzug kannst du jeweils den Anteil an dem Ganzen bestimmen. So findest du den passenden Bruch. Der Zähler des Bruches ist die Zahl der Anteile, der Nenner die Zahl des Ganzen, auf das sich diese Anteile beziehen:
- Von $12~\text{kg}$ Pflaumen nascht Buuhgo $2~\text{kg}$. Diese $2~\text{kg}$ bestimmen den Anteil und beziehen sich auf das Ganze der $12~\text{kg}$ Pflaumen in der Obstkammer. Der Bruchteil ist also $\frac{2}{12}$.
- Von den grünen Äpfeln liegen in der Obstkammer nur $13$. Sie bestimmen die Gesamtheit oder das Ganze, auf das sich Buuhgos Anteil bezieht. Zwei Äpfel hat er stibitzt, dies entspricht dem Bruchteil $\frac{2}{13}$.
- Buuhgo entwendet noch $3$ Kisten Blaubeeren und lässt $7$ zurück. Das Ganze besteht also aus $3+7=10$ Kisten Blaubeeren. Der Bruchteil von Buuhgos Blaubeerbeute ist $\frac{3}{10}$.
- Von $11$ Beuteln mit Birnen lässt Buuhgo nur $4$ Beutel in der Obstkammer zurück. Seine Beute beträgt also $11-4 =7$ Beutel Birnen. Dies entspricht dem Bruchteil $\frac{7}{11}$.
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Definiere die Begriffe.
TippsDer Zähler eines Bruches ist eine der beiden Zahlen, aus denen der Bruch besteht.
Um einen Kuchen gerecht aufzuteilen, kannst du den jedem Geburtstagsgast zustehenden Bruchteil ausrechnen.
Der Bruchstrich dient zum Teilen.
LösungEinen Anteil an einem Ganzen kannst du als Bruch schreiben. Die Zahl über dem Bruchstrich zählt die Teile, die Zahl unter dem Bruchstrich nennt die Art der Teile. Die Bestimmung des Anteils eines Ganzen entspricht einer Division, dabei wird die Zahl der Teile durch die Zahl des Ganzen dividiert. Als Bruch geschrieben, nennt man den Anteil eines Ganzen auch Bruchteil.
Aus diesen Überlegungen findest du folgende korrekte Sätze:
- Der Zähler eines Bruches ... steht über dem Bruchstrich.
- Der Nenner eines Bruches ... benennt die Art der Anteile, die der Bruch beschreibt.
- Ein Bruchteil ... ist ein Anteil bezogen auf ein Ganzes, als Bruch geschrieben.
- Der Bruchstrich ... entspricht einem Geteilt-Zeichen.
-
Analysiere die Aussagen.
TippsFür eine große Biskuit-Torte brauchst du $12$ Eier. Bestimme Anteil und Bruchteil, bezogen auf eine $10$-er-Eierschachtel.
LösungEin Bruchteil beschreibt einen Anteil, bezogen auf ein Ganzes. Mit dem Anteil ist nicht notwendig eine Teilmenge des Ganzen gemeint, sondern eine Zahl von Teilen der Art, die durch das Ganze festgelegt sind. Man sagt auch: Der Zähler des Bruchteils zählt die Teile oder Anteile, der Nenner nennt die Art der Teile bzw. das Ganze, auf das sich die Teile beziehen.
Folgende Aussagen sind richtig:
- „Der Zähler eines Bruches entspricht dem Dividenden einer Division, der Nenner dem Divisor.“ Der Bruchstrich entspricht einem Geteilt-Zeichen. Der Zähler entspricht dabei dem Dividenden, der Nenner dem Divisor.
- „$\frac{14}{12}$ von einem Kasten mit zwölf Saftflaschen sind zwei Flaschen mehr als ein voller Kasten.“ Ist der Zähler eines Bruches größer als der Nenner, so ist der mit dem Bruch beschriebene Anteil größer als das Ganze. Der Zähler entspricht dem Anteil, der auf den Nenner als das Ganze bezogen wird. Die $12$ im Nenner beschreibt einen vollen Kasten Saft. Die $14$ im Zähler zählt den Anteil: $14$ Flaschen. Das sind $2$ Flaschen mehr als $12$, also zwei Flaschen mehr als in einem vollen Kasten.
- „Bezieht man denselben Anteil auf ein anderes Ganzes, so ändert sich der Bruch.“ Drei von vier Äpfeln machen einen Bruchteil von $\frac{3}{4}$ aus. Nimmt man noch drei Birnen hinzu, so machen die ursprünglichen drei Äpfel einen Bruchteil von $\frac{3}{7}$ des Obstes aus.
- „Bei einem Bruchteil ist das Ganze stets größer als der Anteil.“ Wenn Buuhgo fünf Stockwerke verschiedener Häuser auf das Ganze der vier Stockwerke eines Hauses bezieht, so ist der zugehörige Bruch $\frac{5}{4}$. Hier ist der Anteil $5$ größer als das zugehörige Ganze $4$. Mit Anteil ist daher nicht eine Teilmenge des Ganzen gemeint, sondern die Zahl der Teile, bezogen auf die Zahl der Teile eines Ganzen.
- „Zur Beschreibung eines Anteils, bezogen auf ein Ganzes, ist es egal, welche der beiden Zahlen man auf den Bruchstrich schreibt.“ Auf dem Bruchstrich steht immer die Anzahl der Teile. Man sagt auch: Der Zähler (also die Zahl auf dem Bruchstrich) zählt die Teile, der Nenner benennt die Art der Teile, die ein Ganzes ausmachen.
- „Drei von vier Äpfeln machen denselben Bruchteil aus wie sechs von acht Äpfeln.“ Verdoppelt man den Anteil und das Ganze, auf das er sich bezieht, so ändert sich der Bruch. Das Ergebnis der Division, das durch den Bruch beschrieben wird, bleibt aber dasselbe. Denn drei von vier Äpfeln machen den Bruchteil $\frac{3}{4}$ aus, sechs von acht Äpfeln dagegen den Bruchteil $\frac{6}{8}$. Die ungekürzten Brüche $\frac{3}{4}$ und $\frac{6}{8}$ sind verschieden. Die zugehörige Division $3:4$ liefert aber dasselbe Ergebnis wie $6:8$.
Was sind Brüche?
Anteil, Bruchteil, Ganzes
Brüche und Anteile – Einführung
Brüche und Anteile – Beispiele
Mit Anteil, Bruchteil und Ganzem rechnen – Überblick
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